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1、t第一章随机事件及概率1.3条件概率（续）0四川3衣丫学学卩元内容复习僚件概率公式山謂P2.乘法公式= P(A)P(liA)P(ABC) = P(A)P(ttA)P(CAH).利用乘法公式可计算多个事件同时发生的概率.0三、全概率公式与贝叶斯公式前面我们讨论了直接利用概率可加性及乘法公式计算一些简单事件的概率。但是，对于 有些复杂事件经常要把它先分解为一些互不相 容的较简单事件的和，通过分别计算这些较简 单事件的概率，再利用概率的可加性，来计算 这个复杂事件的概率。先看一个例子:引例:有三个箱子，分别编号为1,23. 1号箱装有1个红球 4个白球2号箱装有2红3白球，3号箱装有3红球.某 人从
2、三箱中任取一箱，从中任意摸出一球，求取得红球 的概率.解 记久=球取自i号箱,1=1,23；B =取得红球合 丄Z丄其中令、A2. 两两互斥发生总是伴随着A” A2, A3之一同时发生，B= A B+A,A/、AyB 两两互斥由有限可加性得到P(B)=P(AB)+P(A2B)+P(A3B)戋鬻蠶 吨阪)P AJ+P(%)P(別 A2)+P(A,)P(B| A3) 公式得111218= -x- + -x-+-xl=J 5 )15p(b)= p(ajp(b| AJ将此例中所用的方法推广到一般的情形，就得到在概率计算中常用的全概率公式.T全概率公式1 样本空间的划分定义 设Q为试验E的样本空间，显2
3、,心为 E的一组事件，若(i) BiBj=0、i Hj, i,j =人2,;(ii) U2UU“=Q 则称，尤为样本空间。的一个划分. 也称讯片心为一个完备事件组.全概率公式定理1.1设试验E的样本空间为为E的事件, 几2,，叭为Q的一个划分，且P(BJO(i = 12,加,则P(4) = P(A0i)/(垢)+ P(纠 2)卩(2)+ PG4 Bn)P(Bn)证明 A = An = An(IU2U-UBzf)=abiuab2u-uabm 由 BjBj =0= (ABj)(ABj) = 0= P(A) = P(ABt) + P(AB2) + -+P(AB) =P( A|B, )P(Bt) +
4、P(AB2)P(B2) + +P(ABn).说明全概率公式的主要用处在于它可以将一个复杂事件的概率计算问题分解为若干个简单事件的概率计算问题，最后应用概率的可加性求出最终结果.PC4d)=P(耳)PC4 1$)2(A) = P(A|B JP(B|) + P(4|B JP(B J + + P(A|B )P(B J我们还可以从另一个角度去理解 全概率公式.某一事件”的发生有各种可能的原因，如果人是由原因弘（上12/）所引起，则A发生的概率是每一原因都可能导跖发生，故4发 生的概率是各原因引起4发生概率的总和, 即全概率公式.n,_l-全概率公式.P(A) = P(A|BJP(即+ P(A|B2)F
5、(BJ+ P(A|B)P(B”)应用的关键在于：找出导致“结果4”发生的各个“原因矿（构成完备事件组） 并计算出P（Q）和P（4|角）。U113卫如11例I有一批同一型号的产品，已知其中由一厂生产的占30%,二厂生产的占50%,三厂生 产的占20%,又知这三个厂的产品次品率分别 为2% , 1%, 1%,问从这批产品中任取一件 是次品的概率是多少？解设事件A为“任取一件为次品事件血为“任取一件为?厂的产品T = 1,2,3.BIUB2Ufi3=n,BfBj =0, ij = 1,2,3.即b“b2,为一个完备事件组 由全概率公式得P(A) = P(ABt yPiB.)+P(AB2)P(B2H
6、P(AB3)P(B3).P(BJ = 03, P(BJ) = 05, P(J = 02,P(AB) = 0.02, P(AB2) = 0.01, P(ABJ = 0.01, 故 P(A) = )P(BX)+P(AB2)P(B2)+P(AB3)P(B3)=0.02 x 0.3 + 0.01 x 0.5 + 0.01 x 0.2 = 0.013.i*例212个乒乓球都是新球，每次比赛时取出3个用完放回，求第三次比赛时取出的3个都是新球 的概率。分析：第一次取出的3个一定是新球，用完后变成旧 球，即9新3旧。第二次取出的3个可能情况有4种：0 个、1个.2个、3个新球，其概率可以计算。第三次 取出的
7、结果与第二次取得的新球个数有关，所以是“已知原因求结果”，用全概率公式计算。设4 =第二次比赛时抽得个新球,1=0,1,23.二第三次取得3个新球p（）= p（4）p（iaj；=0(4)= ?-,心0,1,2,3c3P(B 14)=春= 0,1,2,3 P(B) = P(A, )P(B IA,.)= f 筲i-0i01212 0.146注意：当公式中“原因”事件的概率和条件概率 没直接给出时，先确定计算“框架”,再用其它 公式计算出有关概率，代入。贝叶斯公式看一个例子:某人从任一箱中任意摸出一球，发现是红球求该球 是取自1号箱的概率.或者问:该球取自哪号箱的可能性 最大？这一类问题是“已知结果
8、求原因” 在实际中 更为常见，它所求的是条件概率，是已知某结果 发生条件下，探求各原因发生可能性大小1红4白运用全概率公式计算P（-P（B）p（Ak）P（B Ak） 一某人从任一箱中任意摸出一球, 发现是红球，求该球是取自1号 箱的概率.记球取自i号箱）,1|山吻1 P（A）定理12设试验E的糕|茶空 爲,乞为G的一个划分，且 （i = l,2,/）,则证明称此为贝叶斯公式. 由全概率公式P述P（A風）P（巧）P闯山丫旳“匚 （巧） /贝叶斯公式在实际中有很多应用.它可以帮助人们确定某结果（事件A）发生的最可能原因.呻（也叫）， 心冋）w如、例4某一地区患有癌症的人占0.005,患者对一种试
9、验反应是阳性的概率为（）95,正常人对这种试验反 应是阳性的概率为004,现抽査了一个人，试验反 应是阳性，问此人是癌症患者的概率有多大？解:设0=（抽査的人患有癌症,则C表示“抽查的人不患癌症”P(A IC)=0.95, /MIC)=0.04心试验结果是阳性,已知 P(C)=0.005( c )=0.995,求 P(CIA).由贝叶斯公式，可得P(CA) =P(C)P(AC)P(C)P(AIC) + P(C)P(AlC)代入数据计算得 P(C I 4)= 0.1066现在来分析一下结果的意义.1.这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有无意义?2.检出阳性是否一定患有癌症？。1.这种试验对于诊断
10、一个人是否患有癌症有意义.如果不做试验抽査一人，他是患者的概率P( 0=0.005患者阳性反应的概率是095,若试验后得阳性反应 则根据试验得来的信息，此人是患者的概率为P(C I A)= 0.10662.检出阳性是否一定患有癌症？试验结果为阳性，此人确患癌症的概率为P（C I 4）=0.1066即使检出阳性，尚可不必过早下结论有癌症，这 种可能性只有10.66% （平均来说，1（X）0个人中大约 只有107人确患癌症），此时医生常要通过再试验来 确认.在贝叶斯公式中，PSJ和PC4,W）分别称为原因 的先验概率和后验概率.P（A,）（匸1,2,M）是在没有进一步信息（不知道事 件是否发生）的
11、情况下，人们对诸事件发生可能 性大小的认识.当有了新的信息（知道发生），人们对诸事件发 生可能性大小P（A I 3）有了新的估计.I 条件概率吧F四、小结乘法公式P(AB) = P(BA)P(A) 全概率公式P(A) = P(AQ)P(BJ + P(A 同)P(2)+P(川贝叶斯公式P(%)P(也)阿)2.p(ABj)P(BJP(AR.)P(B)P(BA)= _9丿、I 、I上上；全概率公式和贝叶斯公式的应用 如果把样本空间的一个划分“I，B”、叽看作是 导致事件A发生的各种原因，且已知客个原因发生的 概率和各个原因导致A发生的概率，求可以用全 概率公式.P(A) = P(A|BJP(Q)+P
12、(A BJP(BJ+P(A全概率公式已知原因，求结果 如果把样本空间的一个划分 1，,，看作是 导致事件A发生的各种原因，如果A发生了，求/(yl4) 可以用贝叶斯公式。25练一练商店论箱出售玻璃杯，每箱10只，其中每箱 含0,1,2只次品的概率分别为0. 8, 0. 1, 0. 1 某顾客选中一箱，从中任选4只检查，结果 都是好的，便买下了这一箱。问这一箱含有 一个次品的概率是多少？第一章随机辛件及概率匸14事件的独立性忖四川才 学学卩一般来说，对于事件概率P(与 条件概率P(BIA)是两个不同的概念。一般来 说，P(B#P(B|A),即事件A的发生对事件B的 发生有影响。若事件A的发生对事
13、件B的发生 没有影响，则有P(BIA)=P(B)1.4.1事件的相互独立性1 引例盒中有5个球(3绿2红),每次取出一个有放回地取两次记A=第一次抽取取到绿球：=第二次抽取取到绿球则有它表示4的发生并不影响发生的可能性大小P(冏A) = P()O P(AB)=P(A)P(B)2淀义设A,*是两事件，如果满足等式P(AB)P(A)P(B)则称事件A.B相互独立，简称儿B独立.说明事件A与事件相互独立，是指事件A的发生与事件发生的概率无关.定理一设A, 是两事件，且P(A)0.则相 互独立的充分必要条件是丄-【虫如gj、上M例1从一副不含大小王的扑克牌中任取一张，记A=抽到K, 时抽到的牌是黑色的问事件4、是否独立？ 解：由于 P(A)=4/52=1713, P()=26/52=l/2P(AB)=2/52=l/26 可见，P(AB)=P(A)P(B) 说明事件八独立.1心 4 73前面我们是根据两事件独立的定义作出结论的，也可以通过计算条件概率去做:从一副不含大小王的扑克牌中任取一张，记4=抽到K, =抽到的牌是黑色的
