缓和曲线计算公式的推导对于搞公路铁路工程的人来说,缓和曲线并不陌生,它是在直 线和圆曲线之间的一段过渡曲线,其目的是使曲线的曲率半径连续 变化,从而使车辆的向心加速度变化连续,降低旅客由车辆转弯引 起的不适感缓和曲线类型有回旋线、三次抛物线、Bloss曲线、 正弦一波型、半波正弦型等曲线而在我国回旋线被广泛采用,故 本文详细介绍回旋线作为缓和曲线的计算方法,顺便讲一点有趣的 历史一、回旋线的定义回旋线(clo thoid)又称为欧拉螺旋"-I T.A fl D& 111线(Euler spiral)、羊角螺旋(Cornu spirals),菲涅尔螺旋(Fresnel spirals)、辐射螺旋线 “(Radiation helix),它被定义为:-D3线上任意点的曲率半径与该点到坐标 原点的曲线长成反比的曲线二、 为什么需要缓和曲线回旋线最重要的性质一曲率随弧长线性变化回旋线的曲率是随弧长线性变化的,这也是它能作为缓和曲线 的原因,下面将给出证明三、 预备一些数学背景知识1、任意曲线的弧长微分公式推导如图所示,笛卡尔坐标系下,在曲 线上任取一段弧微元ds,当ds足够小 时,可认为弧线和弦线相等,则有:s = ^(x )2 + (y )2而y = y x,则有:S = ^(x )2 + (yr x )2=Ji + (丁/)2兀特别的,当曲线为参数方程形式时X = f(t)y = g(t)S = Jfr2(t) + gr2(t)t2、任意曲线的曲率公式曲线的曲率(curva ture )是单位 切向量对于弧长的旋转速度,也就是 弧的切线偏转角与该弧长之比的绝对 值,通过微分来定义,曲率表明曲线 某一点附近的弯曲程度。
其表达式 为:式中:k表示曲率,e表示曲线在该点处切线与兀轴夹角的变化 微元,也等于曲线在该点处的偏转角微元,S表示曲线的长度变化 微元,加绝对值是为了保证曲率是正值 下面将给出曲率求解过程:设曲线的方程为y = f(x),且具有二阶导数,则曲线在点M处的切线斜率为:则0)d sec2 0 dBd6 dx dx即理= y〃 = y〃dx 1tan 2 0 iy f2又ds = ―(yf)2 dx,故y = f(x)在点M处的曲率为:dddsyff dx=1 卯J1 yf2 dx= y〃3(1 yf2)2这就是曲率方程的一般形式,特别地,当曲线为参数方程形式 时x = f(t)y = g(t)ff(t)gff(t) - gf(t)fff(t)3(ff2(t) gf2(t))^三、回旋线方程的推导我们从回旋线的定义可以得到它的重要性质,即曲线上任意点的曲率半径与该点到坐标原点的曲线长成反比式中:p为曲线上一点的曲率半径;2为曲线上一点距坐标原点的曲线长我们不妨设这个比例系数为C即pl = C对于任意曲线我们可以列出以下微分方程:dl = p • dB1)dx = dl • cosB2)dy = dl • sinp3)式中:d2为曲线上任意一点附近的弧微分dp为曲线上任意一点的切向量偏转角的微分P为曲线上任意一点的切线与兀轴正方向的夹角在这里,只要我们以pl = C代入(1),就可以让回旋线独有的性质与一般曲线的性质得到综合。
即c1Il = c.B在这里,只要我们对两边同时积分,就可以将8、I转化为B、/,从而建立起0、I的直接关系,当把这个关系应用到(2) (3)时,方程的数量将会减少,这才是我们的目的即122=C^12B = 2在这里,我们对sinp, cosB应用泰勒展开:X = I • cosB=(1舞+A斛J将8 =匕代入上式得:2C=(1-1=(1+ 2414 181-8C2 + 384C4 _ 46080C6 + …同理,可得y = I • sinp114/ 22 26 Z10=(2^2 — 48^3 + 3840C5 — 6451206? + …dZ对dx, dy的泰勒展开式两边同时进行积分得:112r 18X = f dx = f (-匝 + 384C4 46080C6+ …)dl15 19 1131砖+ 3456T4— 599040C6 +…同理可得:r r 门2 16 ll0 ll4 \y = fdy = f (眈—48^2 + 3840C4 — 64512067 + …丿“13 17 1ll 115 — + — + …6C 336C2 42240C4 9676800C7这里有一个问题,不知各位发现没有?在(2)(3)式得出后,为什么不直接对两边进行积分,而是先进行泰勒展开,使之成多项式相加的形式,再进行积分,这样岂不是多此一举?不妨让我们直接对(2)(3)式进行积分,看看会有什么结果,究竟哪一种更为简单。
dx = dZ • cos〃对等号两边同时进行积分f dx = f dZ • cos〃将将8 =匕代入上式得:2C% = f coslid/2C用换元法进行积分,令上=兰,则4)将(5)代入(4)得:C cX = J cost2 dt T同理,你也将得到C r y = ” sint2 dt值得注意的是,积分式前面的系数彳恰好是曲率半径P计算到 这一步,我们遇到了困难,因为f cost2 dt, f Sint2 dt的结果根本不 是初等函数,它们就是所谓的菲涅尔积分(Fresnel integral),这 也是回旋线被称为菲涅尔积分曲线的原因,事实上,菲涅尔积分的形 式才是回旋线真正严密的表达式关于这个积分函数的解法,不是 本篇文章的主题,感兴趣的同学可以下来自己了解一下,我们这里 给出这个函数,菲涅尔积分函数有两种,分别定义为:% 尹 X4n1C(x) = f cost2 dt =〉(-1)n _i 丿 J Z/ 丿 2n! (4n1)0 0如图所示,C(x)(橘黄色),S(x)(蓝色)都是奇函数,它们的函数值会收敛于土匸这个函数的积分上限是一个变量,因此很8难求解这也就是我们在(2)(3)式先进行泰勒展开,后积分的原因,这样将巧妙地避开十分复杂的菲涅尔函数。
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