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1、重视和发掘课本习题的潜作用潮安区东凤中学成洁荣数学摘要：高中数学新教材上的习题都是经过专家精心构思，反复斟酌，其中很多题目能给我们留下广阔的探索空间。课本习题是教学过程中不可跳跃的一个环节，具有很多潜在的功能。在近几年的高考中，数学试题呈现基础化趋势，一些试题“源于课本，而高于课本”。这无疑提示了一种教学导向，就是要狠抓课本，深入研究课本，挖掘隐藏在课本中数学思想和潜在价值，培养学生的数学思维品质。数学离不开问题，数学能力的培养则是通过解决一个又一个的数学问题才得以实现的。在平时教学中，若能在习题的基础上“解题发挥”，对教材习题由表及里深入挖掘，有利于培养学生思维的深刻性，灵活性；而对习题的拓
2、展应用，则能够培养学生思维的广阔性，敏捷性，逐步提高学生的数学能力。重视和发掘课本习题的潜作用课本习题是帮助学生巩固与深化所学知识，提高分析与解决问题的能力，培养思维的活跃性、广阔性和独创性的重要途径。因此，高中数学新教材上的习题都是经过专家精心构思，反复斟酌。但在实际教学中，很多教师和学生都认为课后习题比较简单，没必要花费过多的时间和精力在习题上。其实不然，课本习题具有很多潜在的功能，是教学过程中不可跳跃的一个环节。在近几年的高考中，数学试题呈现基础化趋势，一些试题“源于课本，而高于课本”。这无疑提示了一种教学导向，就是要狠抓课本，深入研究课本，挖掘隐藏在课本中数学思想和潜在价值，培养学生的
3、数学思维品质。从教几年来，一直有高三学子请教了我同种类型的问题，就是关于形如的化简，这需要构造辅助角来实现。在课本中，没有专门的章节介绍辅助角公式，更没有一道例题来阐明。这就要求我们教师认真钻研课本习题，充分发掘习题的作用与魅力。这题型追溯于普通高中课程标准实验教科书数学必修课后习题6的化简。包括了如下4个小题：这道题出现在学习了两角和与差的正弦、余弦、正切公式的背景下。显然，这道题只需要用到正弦或者是余弦公式，即根据心理学中的首因效应，最先输入的信息对客体以后的认知产生的影响最大。在教学中，我们要把握好“首因效应”，充分运用它，一开始就把学生教会了，让学生夯实基础并且有成就感。在这一节课中，
4、我是这样引导学生的：首先，我们观察两角和与差的公式中，涉及到两个角。而本题中，只有角，因此我们需要构造一个辅助角，形成公式中所需要的条件，将式子化为只含有一个函数名的形式。对于我们能否找到一个角，使？“能!”学生胸有成竹地回答，“这个角是。”于是，原式对于同样地，我们能否找到一个角，使？“能，”学生有些迟疑了，“这个角是？”我见大伙说不出口，便提示了下，我们学习过的同角三角函数的基本关系是？“。”“是啊，大家算下，明显不满足同角三角函数的基本关系，这样的是不存在的。难道就没有办法解决吗？关键是将的系数之和化为1。我们如果把等式两边同时除以4，得到。这就意味着我们能找到角，使得，即。因此，我们需
5、要在式先提取公因式2，就能将的系数之和化为1，然后再作辅助角。”经过我的引导，学生能在课本上写出如下：原式=。“同学们，从以上两个小题中，你能否概括出这一类题型的特征？”经过一番讨论后，学生把它归纳为形如。如何化简呢？我们不妨计算一下与的系数之和。如果=1，那么我们可以直接找到辅助角，其中。如果，那么把等式=两边同时除以，即，再把左边式子变形，可得到。因此，我们先提取公因式，再作辅助角，其中此时，同学们脸上露出欣喜之情，纷纷动手尝试，最后得出:=其中，这就是辅助角公式，它是从课后习题总结出来的。当然，在一些教学参考书中，也提供了此公式，但仅仅是公式，没有过程，没有说明为什么要提取公因式。我在上
6、课的过程中恰恰说明了这一点，这对于学生来说，在理解之后能够加强记忆与运用。辅助角公式还有另外一种形式，即=，其中，由于学生对正弦型函数的性质更为熟悉，同时避免相近内容的互相干扰，我要求学生掌握第一种形式的辅助角公式。这时，同学们利用公式，快速准确地给出小题的结果。在这一节课中，他们体验了从特殊到一般的，再从一般到特殊的思维过程，为以后合情推理与演绎推理的学习垫下基础。当同学们陶醉在获得新知时，我马上“借题发挥”.问:现在大家能否求出函数最大值吗？有学生脱口而出，“2！”“那什么时候取得最大值2？”“当时取得。”“问题是能否同时等于1?”同学们意识到不可能的，因为。此时有同学灵机一动，“是！因为
7、=。”大伙都投去赞许眼光。有人说，三角函数中挥之不去的是辅助角公式。可见，这一公式的重要性，其主要作用可归纳为：求周期；求最大值与最小值；求单调区间；求值域；求角的取值范围；作出图像。下面试举例子说明其应用。例1.（必修课本复习参考题9.)已知函数 求它的递减区间； 求它的最大值与最小值。解： 由 得 因此，函数的递减区间为 . 它的最大值是，最小值是。例2.（必修课本复习参考题10.)已知函数 求的最小正周期； 当时，求的最小值以及取得最小值时的集合。 解： 的最小正周期为. 此时,即 取得最小值时的集合为例3.（必修课本复习参考题11.)已知函数 求的最小正周期和最大值; 画出函数在区间上
8、的图像. 解: 因此，的最小正周期为，和最大值为; 列表如下： 故函数在区间上的图像如下：上面，我仅仅列举了应用辅助角公式解决课本的相关习题。在近几年高考试卷中，也多次出现了通过对型式子的化简来求三角函数的有关性质的试题。如(2013.山东.文科.18）设函数（0）且 图像的对称中心到最近的对称轴的距离为.求的值;求在区间上的最大值与最小值.又如(2013天津.理科.15）已知函数求的最小正周期;求在区间上的最大值与最小值.再如(2013.陕西.文科.16）已知向量,设函数.求的最小正周期;求在区间上的最大值与最小值.在这里，恕不一一列举与解答。由此可见,课本习题是专家学者为我们留下的宝贵财富,其中很多题目能给我们留下广阔的探索空间。数学问题有如浩瀚的海洋，无穷无尽，但万变不离其宗。如果我们能在平时的学习中，重视和发挥习题的潜作用，善于总结归纳，就能够以不变应万变，能够避免“题海战术”，能够在惜时如金的考试中发挥自如，同时对于我们数学能力的发展大有裨益。潮安区东凤中学 成洁荣 女 1985.10 中学数学二级教师 潮州市潮安区东凤中学 515634 13829000507
