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1、1. 函数 y=f(x),定义域1,+e), f(l)=e,单调递增且 f(x+y)=f(x)f(y),求 f(x).2. 一台计算机装置示意图如下图，J1,J2表示数据入口，C是计算结果的出口。计算规则: 当JI、J2分别输入1时，输出结果为1； 若J1输入数值不变，J2输入数值增大1,输出结果比原来增大2； 若J2输入1，J1输入自然数增大1,则输出结果为原来的2倍。输出结果是多少？3.求方程式w!=x!+y!+z!的所有正整数解.4.设点P,M分别是正方形ABCD边DC,BC 上, PM与以A为圆心、AB为半径的圆相切。 线段PA与MA分别交对角线BD为Q,N。证明：P、Q、N、M、C五
2、点共圆。5.数列a , a =丄,an 1 2 n2n - 3求证：当n 1时,a 0,求g （x）和定义域。2.令f (x, y) = J1 + x2 + y2, a 0, b 0,且a + b = 1. 求证：f (ax + bx , ay + by ) a(x , y ) + b(x , y )1 2 1 2 1 1 2 23. 一个投资者有200 万的资金，有以下3 个投资项目： 建造摩天大楼，利润为4x-2（万元，x为投资额）（x95万元）11 拍电影，利润为7 x2- x+2（万元，x为投资额）（x50万元）16 5 投资房地产，利润为3x+1（万元，x为投资额）（x 100万元）
3、 试确定投资方案。兀2兀114.设 a = sin 2, b = sin 2,求证：(一 +)(a + b) n 恒为正整数。55a nbn5.P1、P2为抛物线上任意两点，过两点的切线交点为Q,求证：QF|2 = |pF|pF|+ + a x mnmn求ZBAC的值。(D 已知：Oal,xO,且x 丰 1.求证：a(x-l)xa-1.求以遇普,co碍,C。晋为根的三次方程式。(3) 已知a ,a，a 是(1+ x + x2 + + xm)n = a + a x + a 12mn012展开式的系数，求证：1a + 2a + + mna = mn(1+ m) n12mn 2设AD,BE,CF是厶
4、ABC的内角平分线，如果ZEDF=90求所有满足 sinx+cosy=f(x)+f(y)+g(x)-g(y)的函数 f(x)及 g(x).1.n位自然数k,这个数四舍五入精确到十位数，再将所得的数四舍五入精确到百位数, 经过(n-1)次四舍五入后，得到kO。求证：k0 0)上由左到由的极值以此为y ,y，,y , e x12n试求Z ynn=13函数y=f(x),x g R,满足f(xy) = f(X)f(y) x+y是否存在x g R,使得f(x)丰0?4.设Z1,Z2,Zn为复数，满足I Z1 + Z2 +Zn 1= 1.求证：在上述“个复数中，必存在若干复数，它们的和的模不小于15.椭圆
5、兰+兰=1(a b 0)的内接三角形中，求面积最大值。 a2 b21已知线段AB长度为3,两端均在抛物线x = y 2上，试求AB的中点M到y轴的最短距离。2. 已知等差数列a 的首项为a,公差为b,等比数列b 的首项为b, nn公比为a,其中a,b均为正整数，且a b a b d(u, v)5.求证：(C1)2 + 2( C2)2 + n(C n)2 = (2 n - 1)Cn-1nnn2n-21已知数列a 、b 满足a=_a - 2b ,且b = 6a + 6b ,nnn+1nnn+1nn又a = 2, b = 4,求a , b。11n n42.已知f (x) = 5( x -1)若 f(
6、5) x) = f (f (f (f (f (x) = n.n是正整数，求x的最小值。3已知卩为厶ABC内一点，BC=a,CA=b,AB=c, P到三边BC,CA,AB的距离分别为d ,d ,d ,S表示123 ABC 的面积，求证-+ + (a + b + C)2d d d2S1234在x轴上方作圆与x轴相切，切点为A(m3,0),分别从点(-3,0), C(3,0)作该圆的切线BP和CP, 并相交于P.设点C在ZBPC的角平分线上的投影为Q.求P、Q的轨迹方程。5. 找出所有满足tanAtanBtanC 0),方程/(x) = x的两根x ,x满足1210 x x .12 a(D 当 X
7、G (O,X )，求证：x (x) x ；11(2)设函数f (x)的图像关于x = x对称，求证：x 住0 0 23.求函数f (x) = ；x4 一 3x2 一 6x + 13 一 /x4 一 x2 +1 的最大值。4设A=1,2,3,4,5,6,有多少种不同的方法，把A表示成Al、A2、A3、An的并集，且 Al、A2、A3、An为A的非空子集且相互间交集为空。5.某次运动会连续开了 n天，一共颁发m枚奖章。第一天发出奖章一枚加余下（m-1）枚的 1/7,第二天颁发2枚加上余下的1/7,依次类推，最后在第n天颁发n枚恰好发完所有奖章。 问这次运动会一共开了几天？LA、B为边长为1的正五边
8、形边上的点，证明：线段AB最长为容.2.找出一个根为33 + J2的整系数多项式。3.已知对任意x均有acosx+bcos2x2-l恒成立，求w=a+b的最大值。4.已知矩形ABCD的长、宽分别为a、b,现在把矩形对折，使矩形的顶点BD重合，求折痕长。5. 一个班级学生正好排成一个方阵，从每列中身高最矮的学生挑出最高的 A, 从每行中最高 的学生挑出最矮的B,试比较A、B的身高。测试一答案与提示：1. 提示：两边取对数，ln(f(x+y)=ln(f(x)+ln(f(y),由柯西准则 lnf(x)=x, f(x)=eAx.2. 提示:f(1,1)=1, f(m,n+1)=f(m,n)+2,f(m
9、+1,1)=2f(m,1). F(m,n)=f(m,1)+2(n-1)=2A(m-1)+2(n-1)3. 令x y z,则w! 3z!,(z+1)! 3z!x=2,y=2,z=2,w=3.4提示：解析法设点P位(p,1),求出其他五点的坐标，根据三角形CPM可以确定圆的方程。 也可以用平面几何的方法。5.提示：用数学归纳法证明廿1 -2-1-4 5智或运用放缩法工a Ekknk=1 k=1迟 a + 2( n - 3)akn -1k=1艺 a + 2(n - 1)akn -1k=1测试二答案与提示：1.略2.提示：空间向量OP=aOA+bOB, IOP| Wa|OA|+b|OB|,或两边平方运
10、用柯西不等式。3. 参考：这是个动态规划问题，可将方案(2)放在第一段，(200， x ),1s,x):s=200- xs =s -x23112 1 2xs)=3 s+1.322(s1)=max(4 x -2+ f23(s -x )12第二段( s , x )(方案 1),第三段12第三段最大收入 f (s )=max(3 x +1,第二段最大累计收入(从后往前) f2=max( x +3 s -2, x 150, x =95)=3 s +931 1 2 111总收入 f(200)=max( x 2-丄 x +2+ f (200-x )16 15 121=max( x 2 -3.2 x +69
11、3,5 x 50) x =25.6 取最大值16 1 1 1 1测试三答案与提示：(1).f (x) = a (x -1) - xa +1, f(x) = a(l x-1),当 x 1时，f (x)增，f(x)f(l)=O(2) 提示：三个角度满足，cos30=-0.5，展开即可。(3) 提示：展开式两边求导即可。(4) 提示：用希腊字母 a，卩，0，& 表示ZADE, ZADF, ZEDC, ZFDB, a + 卩=90。AD =_ABn同理A ACP，可得a =9DC BC sin a DB BC sin 8AD = si(S =A=EAB CsinDC = A = Ec -BCn As
12、i n.2Z A=120。(5) 提示：令 x=y,可求出 f(x). g(x)-(sinx-cosx)/2 是常数。测试四答案与提示：1.提示：设k第一位数字为a,则kOW (a+l)10(n-l).当 k三a4444445 时，kO/kW (a+l)10(n-l)/ a4444445当 kWa4444-444 时，kOWk2. 答案：e 4) “v2( e “ +1)3不存在，提示：令 y=1,xf(x)=f(1),可得 f(1)=0,f(x)=0.Zk=x + iy ,1 二工 I Zk I 0kk =1k =1k =1I +XI y I+ XI x I +X I y I kkk 兀 0x 0y 0,贝f(x)x4.(1)10；(
