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1、等腰三角形三线合一专题训练姓名例1:如图，四边形 ABCD中，AB / DC , BE、CE分别平分/ ABC、Z BCD，且点E在AD上。 求证：BC=AB+DC 。CE BE。变 1:如图，AB / CD, Z A = 90, AB = 2, BC = 3, CD = 1, E 是 AD 边中点。求证:变2：如图，四边形 ABC D中，AD/ BC, E是CD上一点，且 AE、BE分别平分/ BAD、Z ABC.(1) 求证：AE BE;(2)求证：E 是 CD 的中点； (3)求证：AD+BC=AB.变3: ABC是等腰直角三角形,/ BAC=90,AB=AC.假设D为BC的中点，过D作
2、DM DN分别交AB、AC 于 M、N ,求证：(1) DM = DN。BDCM、N。问DM和DN有何数量关系。(1)：如图,AB=AC , E为AB上一点，F是AC延长线上一点，且 BE=CF , EF交BC于点D .求证：DE=DF .A：如图，AB=AC , E为AB上一点，F是AC延长线上一点，且， EF交BC于点D,且D为EF的中点. 求证：BE=CF .利用面积法证明线段之间的和差关系1、如图，在 ABC中，AB=AC P为底边 BC上的一点，PEUAB丁 D, PEAC丁 E, ?CFL AB丁 F,那么PD+P由 CF相等吗？变1:假设P点在直线BC上运动，其他条件不变，那么P
3、D、PE与CF的关系乂怎样，请你作图，证明1、等腰三角形的两边长分别为 4、9,那么它的周长为A 17 B 22 C 17 或 22 D 13根据等腰三角形的性质寻求规律例1.在 ABC中，AB=AC Z 1=1 / ABC Z 2= 1 / ACB BD与CE相交于点 0,如图，/ BOC勺大小22与Z A的大小有什么关系？1 假设 Z 1=1 /ABC z/ 2=1 z 45012题图.( )13、如图是一个等边三角形木框，甲虫 P在边框AC上端点A C除外，设 甲虫P到另外两边距离之和为 d,等边三角形ABC的高为h, 那么d与h的大小关系是【解题方法指导】例1.，如图， AB = AC
4、 = CD,求证：/ B = 2Z D例2.，如图， ABC是等边三角形,AD/BC , AD BD , BC = 6,求 AD 的长。【考点指要】等腰三角形、等边三角形及含30。角的直角三角形是应用非常广泛的图形，因此，在中考试题中经常以证明题或计算题频频出现， 而且经常把它们结合在一道题中加以应用，虽然题目的难度不是很大，但也要善于分析，找出图形中有关的性质。【典型例题分析】例1. 2005年苏州如图，等腰三角形 ABC的顶角为120 ,腰长为10,那么底边上的高 AD =D例2.，如图， ABC中，/ C= 90 , AB的垂直平分线交 AB于E,交AC于D , AD = 8, Z A
5、=30 ,求CD的长。例3.，如图， ABC是等边三角形，E是AB上一点，D是AC上一点，且 AE = CD ,又BD与CE交于点F,试求/ BFE的度数。.合测试】1, ，如图， AB = AC, ZABD=Z ACD ,求证：DB = DC2, ，如图， D、E是BC上两点，AB = AC , AD = AE,求证：BD = CE3. ，如图， ABC 中，DE/BC , AB = AC ,求证：AD = AE4. ，如图， ABC中，AB = AC , D是AB上一点，E是AC延长线上一点， DE交BC于F, 又 BD = CE,求证：DF = EFA5. ，如图，D是BC上一点， AB
6、C、 BDE都是等边三角形，求证： AD = CE6. ，如图， ABC中，/ B = 90 , AC的垂直平分线交 AC于D,交BC于E,又Z C= 15EC = 10,求AB的长。例6、如图11，在 ABC中，Z A = 90 , AB = AC , D为BC边中点，E、F分别 在AB、AC上，且 DE DF,求证：AE + AF是一个定值.证明：连接AD,. AB = AC , D 为 BC 中点， AD BC ,/ BAC = 90, AB = AC, .B = Z C = 45,Z BAD = 45, Z CAD = 45, . AD = BD = CD,/ EDF = 90 ,/
7、EDA + / ADF = 90 ,又由 AD BC 得Z BDE + / ADE = 90 ,.二 / BDE = / ADF ,在 BDE 和 ADF 中，Z B = Z DAF , BD = AD, Z BDE = Z ADF ,.二 BDE ADF , BE = AF , AE + AF = AE + BE = AB 定值.思考：四边形 AEDF的面积是否也是定值呢？为什么？图11例4、如图9,AD 为 ABC的高，E为AC上一点,BE交AD于F,且有 BF = AC , FD = CD ,你认为 BE与AC之间有怎样的位置关系 ？你能证明它吗？证明：线段BE AC,理由如下：. . AD BC,ADB=Z ADC = 90, .Z FBD +/ BFD = 90 ,在 Rt BDF 和 Rt ADC 中，BF = AC , FD = CD, Rt BDF 丝 Rt ADC ,Z BFD=Z C, ZFBD+Z C = 90,.Z BEC = 180 - (Z FBD +/ C) = 180 90 = 90 ,即 BE AC.例 5、如图 10，在 ABC 中，/ ACB = 90, AC = BC , M 是 AB 上一点，求证：AM 2 BM 2
