有理数混合运算简便算法与技巧

有理数的计算方法与技巧有理数运算是代数入门的重点，又是难点，是中学数学中一切运算的基础，怎样突 破这一难点，除了要正确理解概念和掌握运算法则外，还必须熟练有理数运算的一些技 巧和方法，一定要正确运用有理数的运算法则和运算律，从而使复杂问题变得较简单 一、四个原则：① 整体性原则： 乘除混合运算统一化乘，统一进行约分；加减混合运算按正负 数分类，分别统一计算，或把带分数的整数、分数部分拆开，分别统一计算② 简明性原则：计算时尽量使步骤简明，能够一步计算出来的就同时算出来；运算 中尽量运用简便方法，如五个运算律的运用③ 口算原则：在每一步的计算中，都尽量运用口算，口算是提高运算率的重要方法 之一，习惯于口算，有助于培养反应能力和自信心④ 分段同时性原则： 对一个算式，一般可以将它分成若干小段，同时分别进行运 算二、运算技巧① 归类组合：运用交换律、结合律归类加减，将同类数(如正数或负数)归类计算， 如整数与整数结合、如分数与分数结合、同分母与同分母结合等例：计算：一(0.5) — ( — 31) + 2.75- (71)4 2解法一 ：一(0.5) — ( — 31) + 2.75—(71)4 2=( — 0.5 + 2.75) + (31 —71)4 2=2.25 — 414=—2解法二：一(0.5) — ( — 31) + 2.75—(71)4 2r + 3 4+ 4 2=(3 + 2 — 7 ) + ( — 0.5 + 1 + 0.75 — - ) = — 24 2评析：解法一是小数与小数相结合，解法二整数与整数结合，这样解决了既含分数 又含小数的有理数加减运算问题．同学们遇到类似问题时，应学会灵活选择解题方法．② 凑整：将相加可得整数的数凑整，将相加得零的数(如互为相反数)相消。

将相加可得整数的数放在一起进行运算(其中包括互为相反数相加)，可以降低解题难度，提高解题效率．例:计算：-1--2- + 4--5- +1--386 3 5 3 6分析：本题六个数中有两个是同分母的分数，有两个互为相反数，有两个相加和为 整数，故可用“凑整”法 - 2 - 4解：原式=(-4 - 1-) + (-2 --5-) + (4 - - 3.8)6 6 3 3 5=—8 +1=—7例：计算：19＋299＋3999＋49999解：19＋299＋3999＋49999 =20—1＋300—1＋4000—1＋50000—1= (20＋300＋4000＋50000)—4= 54320—4= 54316．③ 分解：将一个数分解成几个数和的形式，或分解为它的因数相乘的形式例：计算：-2- + 5--4- + 34 2 3 6解：原式=(_2+5 -4+3)+卜 4+2 - 3+6,(3 6— + I 12 124 2)—+ — 12 12 丿=2 + — = 2 —12 12例：计算： 2008x 200920092009 — 2009x 200820082008 解：原式二 2008 x 2009 X100010001 — 2009 x 2008 x 100010001例：计算2005X 匹-1001X型2004 1002解：2005X 2003 - 1001 x 10012004 1002=(2004+1) X 2003 -(1002-1) X2004 1002=(2003-1001) + (2003 + 型1)2004 1002= 10032004评析：对于这些题目结构复杂，长度较大的数，用常规的方法不易解决．解这类问题要根据题目的结构特点，找出拆项规律，灵活巧妙地把问题解决．④ 约简：将互为倒数的数或有倍数关系的数约简。

例：计算：(—2.5 )x 6 x(—0.125 )x 1.25』0.6 x 21 x 1 x 11 ] I 2 8 4 丿(-2.5 )x 6 x(—0.125)x1.25解：原式 = 5_1——1 1 = 20.6 x 2-x - x1_⑤ 倒序相加：利用运算律，改变运算顺序，简化计算例计算瘾+丄+丄24005+2003 200320032+ +2003 2003「…*爲，把等式右边倒序排列，得2003人 4005-20034004+ + •…+ +2003 200312003将两式相加,2 A 二（扁3 2003+聾）+…+ （叱+丄）2003 2003 2003 2003即 2A = 2 x 4005，所以 A=4005所以原式=4005⑥裂项相消法:凡是带有省略号的分数加减运算，可以用这种方法 “11 1例："1如 41 (弘一甲丈(丸斗1)解：应用关系式原式313J ■*■忡［鶴1 十一 I 一 ———1—+・・・十7来进行“拆项” 1 广1 _ 1 “3戶-2 知+1」11]3^~2 站十11--4丿1-14 4 ―丄]张十1」⑦正逆用运算律：正难则反，逆用运算定律以简化计算。

引十1乘法分配律a(b+c)二ab+ac在运算中可简化计算.而反过来，ab+ac二a(b+c)同样成立,有时逆用也可使运算简便在处理有理数的数字运算中，若能根据题目所显示的结构、关系特征，对此加以灵 活变形，便可巧妙地逆用分配律，使解题简洁明快．例：计算：17.48X37+174.8X1.9 + 8.74X88.解: 17.48X37+174.8X1.9 + 8.74X88 =17.48X37+ (17.48X10) X 1.9+17.48X44=17.48X37+17.48X19+17.48X44= 17.48X(37+19+44)= 1748. 评析：很明显，灵活变形，逆用分配律，减少了运算量，提高了解题效率.⑧变序 在有理数的运算中，适当改变运算顺序，有时可以减少运算量，在具体运算过程中， 技巧是恰到好处地运用交换率、结合律和分配律等运算律简化运算.例：计算：(-12.5)x(+31)xf—4]x(—0.1)I 5丿( 4 、解:原式二-12.5x —x0.1 x31I 5 丿=—lx 31 二—315 1 2 7例：计算：[4A + (- 1)] + [(— 2)+6-]12 7 7 125 1 2 7解：[4 ? + (- 1)] + [(-2 )+6 7 ]12 7 7 125 1 2 7=4? + (- 1) + (- 2 )+6 上12 7 7 125 7 2 1=[4? +6 上]+[(-2) + (-1)]12 12 7 7= 11+(— 3)7=10 4评析：在运算前，首先观察、分析参与运算的数的特征、排列顺序等，适当交换一下各数的位置，达到简化运算、快速解题的目的．同步练习题1：1. 计算：1 + 2 - 3 - 4 + 5 + 6 - 7 - 8 + 9 -10 -11 -12+・・・+1997 +1998 -1999 - 2000 + 20012. 已知0为数轴的原点，A、B两点对应的数分别为1、2,设P为AB的中点，P为AP1 2 1 的中点，…，P为P的中点，求P, P，P,…，P所对应的各数之和。

100 99 1 2 3 1001 2 4 1 13. 计算：—1— — 2- + 4--5- +1--3.86 3 5 3 6（分析：本题六个数中有两个是同分母的分数，有两个互为相反数，有两个相加和 为整数，故可用“凑整”法4. 求和1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 58 59( + +——. .■+ + ) + ( + +—+・.■+ + ) + (— + + — +・.■+ + )+・.■+( + )2 (3 分4析：由5加9法6交0换律3和结4合律5 将分母59相同60的数结4 合4相加6，可改59变原60式繁难的59计 60 算)5.计算：2005 x ( + + + —+ + )1 x 2 2 x 3 3 x 4 2003 x 2004 2004 x 2005同步练习题2：1.计算：2 + 22 + 23 +••• + 28592. 计算：-1 1 1 \< 1111 \< 1 1 1 1 \< 1 1 1 \1 + — + — + —x—+ — + — + ——x—+ — + —11 13 17丿(11 13 17 19 丿(11 13 17 19 丿(11 13 17丿3•计算:199919982199919972 +199919992 —24•计算:1 2 3 4005+ + + …+2003 2003 2003 2003同步练习题1参考答案:1.解法1 ：原式=(1 + 2 — 3 — 4) + (5 + 6 — 7 — 8) + (9 + 10 — 22 — 12)+•••+ + (1997 + 1998 — 1999 — 2000) + 2002 解法2：—4) X500 — 2001= —2000 + 2000原式(2-3-4 + 5) + (6-7 一呂+9) +…+ — — + 2001)2.设目对应的数为a.(1 9 J 100)，则a + a +• • •+a1 2 100+•••+ 1 +=1+2，，=】，2，…100—| + 101 —200100 丿121001 1 2 1 43. 解：原式二〔-0 6 5 5 □=-8 + 14. 解：原式1 21 玖 41 259 3、 」2 3 59= + (卄 +卄 +^一)+•••+( + + +•••+ —2 23 2^ 24 42 4 60 60 60 60=丄(1 + 2 + 3+-+59)25.=解:原式 + 59 )X592003 2004 '2004 喘)]2 2 1111 1 二 2005x[(1 — -) + (- — -) + (- — -) + ••• + ( 2 2 3 3 4=2005 x (1 - -^)200520042005=2005x=2004同步练习题 2参考答案：1.解：设a = 2 + 22 + 23 +•••+ 2859 ( 1) 贝Ua = 2 + 22 + 23 +••• + 2860 (2) 贝 y (2) — (1)得：a = 2860 — 2艮卩 2 + 22 + 23 + + 2859 = 2860 — 2含整体思想)2.解：令3.4.1 1 1 1 1 1 1a = — + + , b = + + + -,13 17 11 13 17 19b — (1 + b) a = b — a =-1911贝原式= (1+ a)解：令二a,则原式=a2_ 1(a — 1) 2 + (a +1) 2 一2 21 2 3 4005解：设A= 2003 * 2003 * 2003十…十2003 '把等式右边倒序排列’得a = 4005+4004+...+丄+丄2。