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1、2010年普通高等学校夏季招生考试数学文史类(全国卷)数学（文史类）第卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1(文)cos300等于()AB C.D.答案：Ccos300cos(300360)cos(60)cos602(文)设全集U1,2,3,4,5，集合M1,4，N1,3,5，则N(M)等于()A1,3 B1,5 C3,5 D4,5答案：CM2,3,5，N(M)1,3,52,3,53,53若变量x， y满足约束条件则zx2y的最大值为()A4 B3 C2 D1答案：B线性约束条件对应的平面区域如图所示，由zx2y得y，当直线y在
2、y轴上的截距最小时，z取得最大值，由图知，当直线通过点A时，在y轴上的截距最小，由，解得A(1，1)所以zmax12(1)3.4已知各项均为正数的等比数列an中，a1a2a35，a7a8a910，则a4a5a6等于()A5 B7 C6 D4答案：A数列an为等比数列，由a1a2a35得5，由a7a8a910得10，所以50，即(a2a8)350，即50，所以5 (an0)所以a4a5a65.5(文)(1x)4(1)3的展开式中x2的系数是()A6 B3 C0 D3答案：A(1x)4(1)3的展开式中x2项为 (x)1 ()2 (x)26x2，其系数为6.6(文)直三棱柱ABCA1B1C1中，若
3、BAC90，ABACAA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于()A30 B45 C60 D90答案：C不妨设ABACAA11，建立空间直角坐标系如图所示，则B(0，1,0)，A1(0,0,1)，A(0,0,0)，C1(1,0,1)，(0,1,1)，(1,0,1)cos，60.异面直线BA1与AC1所成的角为60.7(文)已知函数f(x)|lgx|.若ab，且f(a)f(b)，则ab的取值范围是()A(1，) B1，)C(2，) D2，)答案：C函数f(x)|lgx|的图象如图所示，由图象知a，b一个大于1，一个小于1，不妨设a1,0b1.f(a)f(b)，f(a)|lga|lgaf(b)|
4、lgb|lgblg.a.abb22.8(文)已知F1、F2为双曲线C：x2y21的左、右焦点，点P在C上，F1PF260，则|PF1|PF2|等于()A2 B4 C6 D8答案：B在PF1F2中，|F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos60(|PF1|PF2|)2|PF1|PF2|，即(2)222|PF1|PF2|，解得|PF1|PF2|4.9正方体ABCDA1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为()A. B. C. D.答案：D不妨设正方体的棱长为1，如图建立空间直角坐标系，则D(0,0,0)，B(1,1,0)，B1(1,1,1)平面ACD1的法向量为
5、(1,1,1)，又(0,0,1)，cos，.BB1与平面ACD1所成角的余弦值为.10设alog32，bln2，c5，则()Aabc BbcaCcab Dcba答案：Clog32ln2，要比较log32与5，只需比较log23与log22，只需比较3与2，22243，log325.cab.11已知圆O的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为两切点，那么的最小值为()A4B3C42 D32答案：D如图，设APO，|2cos2|2(12sin2)(|OP|21)(12)|OP|2323，当且仅当|OP|2，即|OP|时，“”成立12已知在半径为2的球面上有A、B、C、D四点，若ABCD2，
6、则四面体ABCD的体积的最大值为()A. B. C2 D.答案：B不妨取ABCD，过CD作平面PCD，使AB平面PCD，交AB于P.设点P到CD的距离为h，则有V四面体ABCD22hh.当直径通过AB与CD的中点时，hmax22.故Vmax第卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中横线上13(文)不等式0的解集是_答案：x|2x1，或x2解析：不等式0可化为(x2)(x23x2)0，即(x2)(x1)(x2)0，解得2x1，或x2.原不等式的解集为x|2x1，或x214(文)已知为第二象限的角，sin，则tan2_.答案：解析：为第二象限角，sin，cos.tan.ta
7、n2.15(文)某学校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有_种(用数字作答)答案：30解析：分两类：选A类选修课2门，B类选修课1门，有12(种)；选A类选修课1门，B类选修课2门，有CC3618(种)共有121830(种)16已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于点D，且2，则C的离心率为_答案：解析：如图，设椭圆的标准方程为1(ab0)不妨设B为上顶点，F为右焦点，设D(x，y)由2，得(c，b)2(xc，y)，即，解得，D(，)由D在椭圆上得：1，e.三、解答题：本大题共6小题，共70分解答
8、应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（10分）(文)记等差数列an的前n项和为Sn，设S312，且2a1，a2，a31成等比数列，求Sn.答案：解：设数列an的公差为d.依题设有即解得a11，d3或a18，d4.因此Snn(3n1)或Sn2n(5n)18 （12分）已知ABC的内角A，B及其对边a，b满足abacotAbcotB，求内角C.答案：解：由abacotAbcotB及正弦定理得sinAsinBcosAcosB，sinAcosAcosBsinB，从而sinAcoscosAsincosBsinsinBcos，sin(A)sin(B)又0AB，故AB，AB.所以C.19 （12分）投到某
9、杂志的稿件，先由两位初审专家进行评审若能通过两位初审专家的评审，则予以录用；若两位初审专家都未予通过，则不予录用；若恰能通过一位初审专家的评审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录用设稿件能通过各初审专家评审的概率均为0.5，复审的稿件能通过评审的概率为0.3.各专家独立评审(1)求投到该杂志的1篇稿件被录用的概率；(2)求投到该杂志的4篇稿件中，至少有2篇被录用的概率答案：解：(1)记A表示事件：稿件能通过两位初审专家的评审；B表示事件：稿件恰能通过一位初审专家的评审；C表示事件：稿件能通过复审专家的评审；D表示事件：稿件被录用则DABC，P(A)0.50
10、.50.25，P(B)20.50.50.5，P(C)0.3，P(D)P(ABC)P(A)P(BC)P(A)P(B)P(C)0.250.50.30.40.(2)记A0表示事件：4篇稿件中没有1篇被录用；A1表示事件：4篇稿件中恰有1篇被录用；A2表示事件：4篇稿件中至少有2篇被录用A0A1.P(A0)(10.4)40.129 6，P(A1)0.4(10.4)30.345 6，P()P(A0A1)P(A0)P(A1)0.129 60.345 60.475 2，P(A2)1P()10.475 20.524 8.20 （12分）如图，四棱锥SABCD中，SD底面ABCD，ABDC，ADDC，ABAD1
11、，DCSD2，E为棱SB上的一点，平面EDC平面SBC.(1)证明SE2EB；(2)求二面角ADEC的大小答案：解法一：(1)连结BD，取DC的中点G，连结BG，由此知DGGCBG1，即DBC为直角三角形，故BCBD.又SD平面ABCD，故BCSD，所以BC平面BDS，BCDE.作BKEC，K为垂足因平面EDC平面SBC，故BK平面EDC，BKDE.DE与平面SBC内的两条相交直线BK、BC都垂直，DE平面SBC，DEEC，DESB.SB，DE，EB，SESBEB，所以SE2EB.(2)由SA，AB1，SE2EB，ABSA，知AE1，又AD1，故ADE为等腰三角形取ED中点F，连结AF，则AF
12、DE，AF.连结FG，则FGEC，FGDE.所以AFG是二面角ADEC的平面角连结AG，AG，FG，cosAFG.所以二面角ADEC的大小为120.解法二：以D为坐标原点，射线DA为x轴正半轴，建立如图所示的直角坐标系Dxyz.设A(1,0,0)，则B(1,1,0)，C(0,2,0)，S(0,0,2)(1)(0,2，2)，(1,1,0)设平面SBC的法向量为n(a，b，c)，由n，n得n0，n0.故2b2c0，ab0.令a1，则b1，c1，n(1,1,1)又设 (0)，则E(，)(，)，(0,2,0)设平面CDE的法向量m(x，y，z)，由m，m，得m0，m0.故0,2y0.令x2，则m(2,0，)由平面DEC平面SBC得mn，mn0，20，2.故SE2EB.(2)由(1)知E(，)，取DE中点F，则F(，)，(，)，故0，由此得FADE.又(，)，故0，由此得ECDE，向量与的夹角等于二面角ADEC的平面角于是cos，所以二面角ADEC的大小为12021（12分）(文)已知函数f(x)3ax42(3a1)x24x.(1)当a时，求f(x)的极值；(2)若f(x)在(1,1)上是增函数，求a的取值范
