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1、A题人口增长模型摘要人口的增长是当前世界上引起普遍关注的问题，作为世界上人口最多的国家，我国的人口问题是十分突出的，由于人口基数大，尽管我国已经实行了20多年的计划生育政策，人口的增长依然很快，巨大的人口压力给我国的社会、政治、经济、医疗、就业等带来了一系列的问题。因此，研究和解决人口问题在我国显得尤为重要。我们经常在报刊上看见关于人口增长的预报，说到本世纪末，或到下世纪中叶，全世界（或某地区）的人口将达到多少亿。你可能注意到不同报刊对同一时间人口的预报在数字上长有较大的区别，这显然是由于用了不同的人口模型计算的结果。人类社会进入20世纪以来，在科学技术和生产力飞速发展的同时，世界人口也以空前
2、的规模增长。人口每增加十亿的时间，由一百年缩短为十二三年我们赖以生存的地球，已经携带着它的60亿子民踏入21世纪.长期以来，人类的繁殖一直在自发地进行着，只是由于人口数量的迅速膨胀和环境质量的急剧恶化，人们才猛然醒悟，开始研究人类和自然的关系、人口数量的变化规律，以及如何进行人口控制等问题。本文建立两个模型：（1）中国人口的指数增长模型，并用该模型进行预测，与实际人口数据进行比较。（2）中国人口的Logistic模型，并用该模型进行预测，与实际人口数据进行比较。而且利用MATLAB图形，标出中国人口的实际统计数据，并画出两种模型的预测曲线和两种预测模型的误差比较图，并分别标出其误差。关键词：指
3、数增长模型Logistic模型MATLAB软件人口增长预测问题的重述下表列出了中国19821998年的人口统计数据，取1982年为起始年（t=0），人口自然增长率14%以36亿作为我国的人口容纳量，试建立一个较好的数学模型并给出相应的算法和程序，并与实际人口相比较。时间（年）198219831984198519861987人口（万人）101654103008104357105851107507109300时间（年）198819891990199119921993人口（万人）111026112704114333115823117171118517时间（年）19941995199619971998
4、人口（万人）119850121121122389123626124810二、问题分析从图中我们可以看到人口数在19821998年是呈增长趋势的，而且我们很容易发现上述图表和我们学过指数函数的图表有很大的相似性，所以我们很自然想到建立指数模型，但是指数模型有个不妥之处就是没有考虑社会因素的，即资源的有限性，也就是人口不可能无限制的增长，所以有必要改进模型，这里我们假设人口增长率随人口增加而呈线性递减，从而建立起比较优越阻滞增长模型三、符号定义与说明符号定义及说明t表示年份（选定初始年份的t=0）r表示人口增长率x表示人口数量这里只给出主要符号的意义，其他符号将在文中给出，在此不再一一赘述四、模型
5、的建立及求解4.1人口指数增长模型模型假设：（1）假设不存在某抽样年龄段出现0死亡概率；（2）假设人口平稳增长，无大型自然灾害，战争等因素的影响；（3）假设境内外迁移率对我国未来人口影响不计；（4）人口的净增长率（即出生率减去死亡率）为常数；（5）时刻t的人口函数是连续可微的。模型的建立及求解记时刻t的人口为x(t)，当考察一个国家或一个很大地区的人口时，x(t)是很大的整数。为了利用微积分这一数学工具，将x(t)视为连续、可微函数。记初始时刻(t=0)的人口为&，人口增长率为r，r是单位时间内x(t)的增量与x(t)的比例系数。根据r是常数的基本假设，t到t+,：t时间内人口的增量为xt：-
6、t：;-xt=rxtt(1)于是x(t)满足如下的微分方程：dxrxdt(2)x(0)由这个线性常系数微分方程容易解出x(t)=Xoe(3)表明人口将按指数规律无限增长(r0)。r将t以年为单位离散化，(3)式表明，人口以e为公比的等比数列增长。因为这时r表示年增长率，通常r(6)P(t)=Po这是一个伯努利方程的初值问题，其解为P(t)=P1在这个模型中，我们考虑了资源量对人口增长率的阻滞作用，因而称为阻滞增长模型（或Logistic模型）。其图形如图2所示。4预测人口增长曲线实际人口数/-/预测人口增长曲线与实际人口数比较3.532.521.55x10年份图2阻滞增长模型模型预测人口增长曲
7、线与实际人口数比较模型检验从图2可以看出，人口总数具有如下规律：人口数的初始值P0:P时，人口曲线（虚线）单调递增，与实际人口增长曲线（实线）相吻合，也叫符合实际人口增长情况；当t：，人口数趋于极限值P。人口实际增长的真实值与阻滞增长模型预测值之间比较如表二所示:表二预测出的人口数与实际人口数相差比较年份实际人口阻滞增长模型（万人）（万人）误差1982101654101654019831030081026783301984104357103709648198510585110474611051986107507105789171819871093001068372463198811102610
8、7892313419891127041089533751199011433311002043131991115823111092473119921171711121705001199311851711325452631994119850114344550419951211211154395682199612238911654058491997123626117646598019981248101187576053从表二结合图2可知虽然，在短期几年内阻滞增长模型预测出的人口数与实际人口数相差比较大，但在长期预测中还是相当吻合的。424模型讨论阻滞增长模型在某种程度上较好地反映了人口的增长规律，特
9、别是在预测现代社会人口发展趋势有较高的科学性。因为现代社会人口已经达到一定的饱和程度，社会因素对人口的发展产生了很大的影响，比如粮食资源，水资源，环境问题已经对人类的可持续发展构成了约束作用。因此，作为中长期预测，阻滞增长模型比马尔萨斯（指数）模型要合理一些。五、结果分析阻滞增长模型从一定程度上克服了指数增长模型的不足，可以被用来做相对较长时期的人口预测，而指数增长模型在做人口的短期预测时因为其形式的相对简单性也常被采用。不论是指数增长模型曲线，还是阻滞增长模型曲线，它们有一个共同的特点，即均为单调曲线。但我们可以从一些有关我国人口预测的资料发现这样的预测结果：在直到2030年这一段时期内，我国的人口一直将保持增加的
