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1、、直接法题型:例1已知直角坐标系中，点Q （2, 0）,圆C的方程为x2 +y2 =1，动点M到圆C的切线长与MQ的比等于常数 心 0），求动点M的轨迹。解：设MN切圆C于N，贝U MNM0 2 - ON2。设 M (x, y),则x2 y2 -1(x -2)2y2化简得2 - 1)(x2 y2) - 4，2x(14，2) = 0(1)当怎=1时，方程为x = 5，表示一条直线。40、2 _ 2当=1时，方程化为 （x）2 y212 3 2表示一个圆。线PM、PN （ M、N分别为切点），使得九2_1（九2 _ 1）2变式：如图，圆O1与圆。2的半径都是1，O1O2 =4，过动点P分别作圆。1
2、、圆。2的切说明：求轨迹方程一般只要求出方程即可,求轨迹却不仅要求出方程而且要说明轨迹是什么。PM =吋2PN 试建立适当的坐标系，并求动点P的轨迹方程.解：以O1O2的中点0为原点，O1O2所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系,M则 O1(-2,O),O2(2,O)N由已知PM =$2PN可得:PM 2二 2PN00因为两圆的半径均为 1,所以PO12 -1 = 2(PO22 -1)设 P(x, y)，则(x 2)2 -1=2(x -2)2 y2 -1，即(x-6)2 y2 =33所以所求轨迹方程为：(x-6)2，y2=33 (或x2 y2-12x 3=0)1练习：（待定系数法题型）在 PM
3、N中，tan .PMN,tan/MNP=2，且 PMN的2面积为1，建立适当的坐标系，求以 M，N为焦点，且过点 P的椭圆方程。二、定义法题型：例2 如图，某建筑工地要挖一个横截面为半圆的柱形土坑，挖出的土只能沿AP BP运到P处，其中AP=100m BP=150m / APB=60,问怎能样运才能最省工? 解：半圆上的点可分为三类：一是沿 AP到P较近，二是沿BP到P较近，三 是沿AP或BP一样近。其中第三类的点位于前两类的分界线上，设M为分界0线上的任一点，则有MA + AP = MB + BP，即MA MB =|PB PA =50兰AB =50j7，故M在以A, B为焦点的双曲线的右支上
4、。建立如图直角坐标系，得边界的方程为2x6252y3750= 1(x .25),故运土时为了省工，在双曲线弧左侧的土沿 AP运到P处，右侧的土沿 BP运到P处，在曲线上面的土两边都可运。 说明：利用双曲线的定义可直接写出双曲线方程。练习： 已知圆O的方程为x2+y2=100,点A的坐标为(-6，0)，M为圆O上任一点，AM的垂 直平分线交OM于点P,求点P的方程。解：由中垂线知， PA = PM 故PA+PO| =|PM|+|PO = OM =10，即P点的轨迹为以A、O为焦点的椭圆，中心为(-3，0)，故P点的方程为(x 3)2y22516=12 5三、代入法题型：例3如图，从双曲线x2-y
5、 2=1上一点Q引直线x+y=2的垂线，垂足为No求线段QN的中点P的轨迹方程。解：设动点P的坐标为(x,y ),点Q的坐标为(X1,y 1)则 N ( 2x-x 1,2y-y 1)代入 x+y=2,得 2x-x 1+2y-y 1=2 又 PQ 垂直于直线x+y=2，故 匚上 =1，即x-y+y 1-X1=0x 为3113由解方程组得 捲=x y-1,y1= X， y-1，代入双曲线方程即可得P点的轨22222 2迹方程是 2x -2y -2x+2y-1=0练习：已知曲线方程f(x,y)=0.分别求此曲线关于原点， 关于x轴，关于y轴，关于直线y=x , 关于直线 y=-x , 关于直线 y=
6、3 对称的曲线方程。(f(-x,-y)=0,f(x,-y)=0,f(-x,y)=0,f(y,x)=0,f(-x,-y)=0, f(x,6-y)=0)四、参数法与点差法题型：例4 经过抛物线y2=2p(x+2p)(p0)的顶点A作互相垂直的两直线分别交抛物线于B C两点，求线段BC的中点M轨迹方程。解：A (-2p,0 ),设直线AB的方程为y=k(x+2p)(k - 0).与抛物线方程联立方程组可解得B点的坐标为(2? -2p, 2p)，由于AC与AB垂直，则AC的方程为y - - 1(X 2p)，与抛kkk物线方程联立方程组可解得C点的坐标为(2k2 P - 2p,-2kp),又M为BC中点
7、，设M( x,y ),+ k p_2p则/ kp .y =kp k2，消去k得y=px,即点M的轨迹是抛物线。五、交轨法与几何法题型2例5抛物线y =4px（p0）的顶点作互相垂直的两弦OA、OB，求抛物线的顶点0在直线AB上的射影M的轨迹。（考例5）22解1 （交轨法）：点A、B在抛物线y2 =4px（p 0）上，设A（ 2A, yA），B（上，yB ）所 4p，4p4 p4 p2以koA= koB= ,由OA垂直OB得koA koB = -1，得yAyB= -16p ,又AB方程可求得 yyB2y - yA =（x -，A ），即（yA+yB） y-4px-y AyB=0,把 yAyB=
8、-I6p2 代入得 AB 方程企企 4p4p 4p（yA+yB）y-4px+i6p 2 =o 又om的方程为 y二业 空x -4P2 2 2由消去得yA+yB即得x2 y -4px=0，即得（x-2p） y =4p。所以点M的轨迹方程为（x-2p）2 y2 =4p2，其轨迹是以（2p,0）为圆心，半径为2p的圆， 除去点（0，0）。说明：用交轨法求交点的轨迹方程时，不一定非要求出交点坐标，只要能消去参数，得到交点的两个坐标间的关系即可。交轨法实际上是参数法中的一种特殊情况。解2 （几何法）：由解1中AB方程（yA+yB）y-4px+16p 2 =0可得AB过定点（4p,0）而OM垂直AB，所以
9、由圆的几法性质可知：M点的轨迹是以（2p,0）为圆心，半径为2p的圆。所2 2 2以方程为（x-2p） y =4p，除去点（0, 0）。六、点差法：1例6（ 2004年福建，22）如图，P是抛物线C： yx2上一点，直线l过点P且与抛物线2C交于另一点Q。若直线I与过点P的切线垂直，求线段 PQ中点M的轨迹方程。（图见教 材P129页例2 ）。解:设 P（xyJ,Q（X2,y2）,M（X0,y）,依题意知,为=0 0必 0由 y = 1 x2（ 1）2得y/二x , 过点P的切线的斜率k切=x1 ,11 1 1-直线l的斜率k|,-直线l的方程为yX；（x - xj（2）x1x12x1222方
10、法一、（利用韦达定理、 中点坐标公式）联立（1） （2）消去y得，x2 U x - x： - 2 = 0X1x1x2M为PQ的中点,Xiyo4x2-!(xx1)Xi消去 Xi,得 y。= X0基 1(Xo = 0).2xoPQ中点为M的轨迹方程为y = x2： 1(x = 0)2x方法二(点差法) 由y1 = x；, y2 = x0 =仝 X22 2 21 2 1 2 1得 y y2 X； X2(x1 x2)(x X2 ) =xo(x X2 )2 2 2贝 y x0 = yy = k = 一丄,.Xi = 一丄 oX1 -X2X1x0将上式代入(2)并整理，得y02X02x：1(X0 =0).
11、2 1二PQ中点为M的轨迹方程为y = x + +1(x0)2x2说明：本题主要考查了直线、抛物线的基础知识，以及求轨迹方程的常用方法，本题的关键是利用导数求切线的斜率以及灵活运用数学知识分析问题、解决问题。【小结】一、求轨迹的一般方法：1. 直接法，2.定义法，3 .代入法，4 .参数法，5.交轨法，6.几何法，7.待定系数法, 8.点差法。二、注意事项：1. 直接法是基本方法；定义法要充分联想定义、灵活动用定义；化入法要设法找到关系式 x=f(x,y), y =g(x,y);参数法要合理选取点参、角参、斜率参等参数并学会消参；交轨法 要选择参数建立两曲线方程；几何法要挖掘几何属性、找到等量关系。2. 要注意求得轨迹方程的完备性和纯粹性。在最后的结果出来后，要注意挖去或补上一些 点等。
