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1、数列知识点及常用解题方法归纳总结一、 等差数列的定义与性质 0的二次函数） 项，即： 二、等比数列的定义与性质 三、求数列通项公式的常用方法 1、公式法2、；3、求差（商）法 解： ， ，练习 4、叠乘法 解： 5、等差型递推公式 练习 6、等比型递推公式 练习 7、倒数法 ， ， ，三、 求数列前n项和的常用方法1、公式法：等差、等比前n项和公式2、裂项法：把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项。 解： 练习 3、错位相减法： 4、倒序相加法：把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加。 练习 例1设an是等差数列，若a2=3，a=13，则数列an前8项的和为（ ）A12
2、8 B80 C64 D56 （福建卷第3题） 略解： a2 +a= a+a=16，an前8项的和为64，故应选C例2 已知等比数列满足，则（ ）A64B81C128D243 （全国卷第7题）答案：A例3 已知等差数列中，若，则数列的前5项和等于（ ）A30B45C90D186 （北京卷第7题）略解：a-a=3d=9， d=3，b=，b=a=30，的前5项和等于90，故答案是C例4 记等差数列的前项和为，若，则该数列的公差（ ）A2 B3 C6 D7 （广东卷第4题）略解：,故选B.例5在数列中，,其中为常数，则 （安徽卷第15题）答案：1例6 在数列中， ，则（ ）A B C D（江西卷第5题
3、）答案：A例7 设数列中，则通项 _（四川卷第16题）此题重点考查由数列的递推公式求数列的通项公式，抓住中系数相同是找到方法的突破口略解： ，将以上各式相加，得，故应填+1例8 若(x+)n的展开式中前三项的系数成等差数列，则展开式中x4项的系数为( )A6B7C8 D9 (重庆卷第10题)答案：B使用选择题、填空题形式考查的文科数列试题，充分考虑到文、理科考生在能力上的差异，侧重于基础知识和基本方法的考查，命题设计时以教材中学习的等差数列、等比数列的公式应用为主，如，例4以前的例题例5考查考生对于等差数列作为自变量离散变化的一种特殊函数的理解；例6、例7考查由给出的一般数列的递推公式求出数列
4、的通项公式的能力；例8则考查二项展开式系数、等差数列等概念的综合运用重庆卷第1题，浙江卷第4题，陕西卷第4题，天津卷第4题，上海卷第14题，全国卷第19题等，都是关于数列的客观题，可供大家作为练习例9 已知an是正数组成的数列，a1=1，且点（）（nN*）在函数y=x2+1的图象上. ()求数列an的通项公式； ()若数列bn满足b1=1，bn+1=bn+，求证：bnbn+2b2n+1. （福建卷第20题）略解：（）由已知，得an+1-an=1，又a1=1,所以数列an是以1为首项，公差为1的等差数列故an=1+(n-1)1=n.()由（）知，an=n，从而bn+1-bn=2n，bn=(bn-
5、bn-1)+(bn-1-bn-2)+（b2-b1）+b1=2n-1+2n-2+2+1=2n-1. bnbn+2-b=(2n-1)(2n+2-1)-(2n+1-1)2= -2n0, bnbn+2b对于第（）小题，我们也可以作如下的证明： b2=1,bnbn+2- b=(bn+1-2n)(bn+1+2n+1)- b=2n+1bn+1-2nbn+1-2n2n+12n（bn+1-2n+1）=2n（bn+2n -2n+1）=2n（bn-2n）=2n（b1-2）=-2n0， bn-bn+2b2n+1.例10 在数列中，（）设证明：数列是等差数列；（）求数列的前项和（全国卷第19题）略解：（）=1，则为等差
6、数列， ，（），两式相减，得=对于例10第（）小题，基本的思路不外乎推出后项减前项差相等，即差是一个常数可以用迭代法，但不可由b2-b1=1，b-b=1等有限个的验证归纳得到为等差数列的结论，犯“以偏盖全”的错误第（）小题的“等比差数列”，在高考数列考题中出现的频率很高，求和中运用的“错项相减”的方法，在教材中求等比数列前n项和时给出，是“等比差数列”求和时最重要的方法一般地，数学学习中最为重要的内容常常并不在结论本身，而在于获得这一结论的路径给予人们的有益启示例9、例10是高考数学试卷中数列试题的一种常见的重要题型，类似的题目还有浙江卷第18题，江苏卷第19题，辽宁卷第20题等，其共同特征就
7、是以等差数列或等比数列为依托构造新的数列主要考查等差数列、等比数列等基本知识，考查转化与化归思想，考查推理与运算能力考虑到文、理科考生在能力上的差异，与理科试卷侧重于理性思维，命题设计时以一般数列为主，以抽象思维和逻辑思维为主的特点不同；文科试卷则侧重于基础知识和基本方法的考查，以考查具体思维、演绎思维为主例11 等差数列的各项均为正数，前项和为，为等比数列, ，且()求与； ()求和：（江西卷第19题）略解：()设的公差为，的公比为，依题意有解之，得或(舍去，为什么？)故（）， “裂项相消”是一些特殊数列求和时常用的方法使用解答题形式考查数列的试题，其内容还往往是一般数列的内容，其方法是研究
8、数列通项及前n项和的一般方法，并且往往不单一考查数列，而是与其他内容相综合，以体现出对解决综合问题的考查力度数列综合题对能力有较高的要求，有一定的难度，对合理区分较高能力的考生起到重要的作用例12 设数列的前项和为，（）求；（）证明： 是等比数列；（）求的通项公式（四川卷第21题）略解：（），所以由知， 得， ，（）由题设和式知， 是首项为2，公比为2的等比数列（）此题重点考查数列的递推公式，利用递推公式求数列的特定项，通项公式等推移脚标，两式相减是解决含有的递推公式的重要手段，使其转化为不含的递推公式，从而有针对性地解决问题在由递推公式求通项公式时，首项是否可以被吸收是易错点同时，还应注意到
9、题目设问的层层深入，前一问常为解决后一问的关键环节，为求解下一问指明方向例13 数列满足（I）求，并求数列的通项公式；（II）设， ，求使的所有k的值，并说明理由（湖南卷第20题）略解：（I）一般地, 当时， 即所以数列是首项为0、公差为4的等差数列，因此当时，所以数列是首项为2、公比为2的等比数列，因此故数列的通项公式为（II）由（I）知，=于是，.下面证明: 当时，事实上, 当时， 即又所以当时，故满足的所有k的值为3,4,5.数列知识点回顾第一部分：数列的基本概念1理解数列定义的四个要点数列中的数是按一定“次序”排列的，在这里，只强调有“次序”，而不强调有“规律”因此，如果组成两个数列的
10、数相同而次序不同，那么它们就是不同的数列在数列中同一个数可以重复出现项a与项数n是两个根本不同的概念数列可以看作一个定义域为正整数集(或它的有限子集)的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，但函数不一定是数列2数列的通项公式一个数列 a的第n项a与项数n之间的函数关系，如果用一个公式a=来表示，就把这个公式叫做数列 a的通项公式。若给出数列 a的通项公式，则这个数列是已知的。若数列 a的前n项和记为S，则S与a的关系是：a=。第二部分：等差数列1等差数列定义的几个特点： 公差是从第一项起，每一项减去它前一项的差(同一常数)，即d = aa(n2)或d = aa (nN)要证明一个数列
11、是等差数列，必须对任意nN，aa= d (n2)或d = aa都成立一般采用的形式为： 当n2时，有aa= d (d为常数)当n时，有aa= d (d为常数)当n2时，有aa= aa成立若判断数列 a不是等差数列，只需有aaaa即可2等差中项若a、A、b成等差数列，即A=，则A是a与b的等差中项；若A=，则a、A、b成等差数列，故A=是a、A、b成等差数列，的充要条件。由于a=，所以，等差数列的每一项都是它前一项与后一项的等差中项。3等差数列的基本性质公差为d的等差数列，各项同加一数所得数列仍是等差数列，其公差仍为d公差为d的等差数列，各项同乘以常数k所得数列仍是等差数列，其公差为kd若 a、
12、 b为等差数列，则 ab与kab(k、b为非零常数)也是等差数列对任何m、n，在等差数列 a中有：a= a+ (nm)d，特别地，当m = 1时，便得等差数列的通项公式，此式较等差数列的通项公式更具有一般性、一般地，如果l，k，p，m，n，r，皆为自然数，且l + k + p + = m + n + r + （两边的自然数个数相等），那么当a为等差数列时，有：a+ a+ a+ = a+ a+ a+ 公差为d的等差数列，从中取出等距离的项，构成一个新数列，此数列仍是等差数列，其公差为kd( k为取出项数之差)如果 a是等差数列，公差为d，那么，a，a，a、a也是等差数列，其公差为d；在等差数列
13、a中，aa= aa= md (其中m、k、)在等差数列中，从第一项起，每一项(有穷数列末项除外)都是它前后两项的等差中项当公差d0时，等差数列中的数随项数的增大而增大；当d0时，等差数列中的数随项数的减少而减小；d0时，等差数列中的数等于一个常数设a，a，a为等差数列中的三项，且a与a，a与a的项距差之比=（1），则a=4等差数列前n项和公式S=与S= na的比较前n项和公式公式适用范围相同点S=用于已知等差数列的首项和末项都是等差数列的前n项和公式S= na用于已知等差数列的首项和公差5等差数列前n项和公式S的基本性质数列 a为等差数列的充要条件是：数列 a的前n项和S可以写成S= an+ bn的形式(其中a、b为常数)在等差数列
