数学分析数项级数

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1、如果您需要使用本文档，请点击下载按钮下载!第十二章 数项级数 教学目的：1.明确认识级数是研究函数的一个重要工具；2.明确认识无穷级数的收敛问题是如何化归为部分和数列收敛问题的；3.理解并掌握收敛的几种判别法，记住一些特殊而常用的级数收敛判别法及敛散性。 教学重点难点：本章的重点是级数敛散性的概念和正项级数敛散性的判别；难点是一般级数敛散性的判别法。 教学时数：18学时 1 级数的收敛性 一 概念 ： 1 级数 ：级数 ，无穷级数 ; 通项 ( 一般项 , 第 项 ), 前 项部分和等概念 ( 与中学的有关概念联系 ). 级数常简记为 .2. 级数的敛散性与和 : 介绍从有限和入手, 引出无限

2、和的极限思想 . 以在中学学过的无穷等比级数为蓝本 , 定义敛散性、级数的和、余和以及求和等概念 . 例1 讨论几何级数 的敛散性.（这是一个重要例题！）解 时, . 级数收敛 ; 时, 级数发散 ; 时, , , 级数发散 ;1 / 17- 1 -如果您需要使用本文档，请点击下载按钮下载! 时, , , 级数发散 .综上, 几何级数 当且仅当 时收敛, 且和为 ( 注意 从0开始 ). 例2 讨论级数 的敛散性. 解（利用拆项求和的方法）例3 讨论级数 的敛散性.解 设 , , = , . , . 因此, 该级数收敛. 例4 讨论级数 的敛散性.解 , . 级数发散.2 / 17- 2 -如

3、果您需要使用本文档，请点击下载按钮下载!3. 级数与数列的关系 : 对应部分和数列 , 收敛 收敛;对每个数列 , 对应级数 , 对该级数, 有 = . 于是,数列 收敛 级数 收敛.可见 , 级数与数列是同一问题的两种不同形式 . 4. 级数与无穷积分的关系 : , 其中 . 无穷积分可化为级数 ;对每个级数, 定义函数 , 易见有= . 即级数可化为无穷积分.综上所述 , 级数和无穷积分可以互化 , 它们有平行的理论和结果 . 可以用其中的一个研究另一个 . 二. 级数收敛的充要条件 Cauchy准则 ：把部分和数列 收敛的Cauchy准则翻译成级数的语言 ， 就得到级数收敛的Cauchy

4、准则 . Th ( Cauchy准则 ) 收敛 和 N, . 由该定理可见, 去掉或添加上或改变 ( 包括交换次序 ) 级数的有限项 , 不会影响级数的敛散性 . 但在收敛时 , 级数的和将改变 . 去掉前 项的级数表为 或.3 / 17- 3 -如果您需要使用本文档，请点击下载按钮下载!系 ( 级数收敛的必要条件 ) 收敛 . 例5 证明：级数 收敛 .证 显然满足收敛的必要条件 . 令 , 则当 时有应用Cauchy准则时，应设法把式 | |不失真地放大成只含 而不含 的式子，令其小于 ，确定 . 例6 判断级数 的敛散性. ( 验证 . 级数判敛时应首先验证是否满足收敛的必要条件 )例7

5、 ( 但级数发散的例 ) 证明调和级数 发散 .证法一 ( 用Cauchy准则的否定进行验证 ) 三 收敛级数的基本性质：（ 均给出证明 ） 性质1 收敛， Const 收敛且有 = 性质2 和 收敛 ， 收敛, 且有 = .性质3 若级数 收敛 , 则任意加括号后所得级数也收敛 ,且和不变 .4 / 17- 4 -如果您需要使用本文档，请点击下载按钮下载! 2 正项级数 一. 正项级数判敛的一般原则 : 1. 正项级数 : ; 任意加括号不影响敛散性.2. 基本定理 : Th 1 设 . 则级数 收敛 . 且当 发散时, 有, . ( 证 )3. 正项级数判敛的比较原则 : Th 2 设 和

6、 是两个正项级数 , 且 时有 , 则 收敛, 收敛; 发散, 发散.( 是的逆否命题 )例1 考查级数 的敛散性 .解 有 例2 设 . 判断级数 的敛散性 . 推论1 ( 比较原则的极限形式 ) 设 和 是两个正项级数且 ,则 时 , 和 共敛散 ; 5 / 17- 5 -如果您需要使用本文档，请点击下载按钮下载! 时 , 收敛, 收敛; 时 , 发散, 发散. ( 证 )二. 正项级数判敛法: 1 检比法： 亦称为 Dalembert判别法 .用几何级数作为比较对象 , 有下列所谓检比法 .Th 3 设 为正项级数 , 且 及 时 若 , 收敛; 若 , 发散. 证 不妨设 时就有 成立

7、 , 有 依次相乘 , , 即 . 由 , 得 收敛, 收敛. 可见 往后递增 , .推论 ( 检比法的极限形式 ) 设 为正项级数 , 且 . 则 或 = , 发散. ( 证 ) 例4 判断级数 6 / 17- 6 -如果您需要使用本文档，请点击下载按钮下载! 的敛散性.解 , 收敛. 例5 讨论级数 的敛散性. 解 . 因此, 当 时, ; 时, ; 时, 级数成为 , 发散 2. 检根法 ( Cauchy 判别法 ): 也是以几何级数作为比较的对象建立的判别法.Th 4 设 为正项级数 , 且 及 , 当 时 , 若 , 收敛; 若 , 发散. ( 证 )推论 ( 检根法的极限形式 )

8、设 为正项级数 , 且 . 则 , 收敛; , 发散. ( 证 ) 例5 研究级数 的敛散性 . 解 , 收敛. 7 / 17- 7 -如果您需要使用本文档，请点击下载按钮下载! 3 积分判别法 ： Th 5 设在区间 上函数 且 . 则正项级数 与积分共敛散. 证 对 且 . 例6 讨论下列级数的敛散性: ; . 习 题 课 一 直接比较判敛： 对正项级数，用直接比较法判敛时 , 常用下列不等式: . 对 , 有 . ; 特别地 , 有 , . 8 / 17- 8 -如果您需要使用本文档，请点击下载按钮下载! 时 , 有 . . 充分大时 , 有 . 例1 判断级数 的敛散性. 解 时, ,

9、 ( 或 ). 例2 判断级数 的敛散性 , 其中 . 解 时 , 有 收敛; 时 , 发散.例3 设数列 有界 . 证明 .证 设 . 例4 设 且数列 有正下界 . 证明级数 .证 设 . 例5 . 若 , 则 .9 / 17- 9 -如果您需要使用本文档，请点击下载按钮下载!证 ; 又 . 例6 设 . 若级数和 收敛 ,则级数 收敛.例7 设 . 证明 , , ; 和 之一或两者均发散时, 仍可能收敛 ; , , .证 充分大时 , . 取 . . 二. 利用同阶或等价无穷小判敛 : 例8 判断下列级数的敛散性: ; ; ; ; . 例9 判断下列级数的敛散性:10 / 17- 10

10、-如果您需要使用本文档，请点击下载按钮下载! ; .三 利用级数判敛求极限 ： 原理 : 常用判定级数 收敛的方法证明 或 .例10 证明 . 例11 证明 .例12 设 . 若 收敛, .证 对 , 由 收敛, 有 , 即 ; , 即 .于是 , 时总有 . 此即 . 3 一般项级数 一. 交错级数 : 交错级数 , Leibniz型级数 . 二. 绝对收敛级数及其性质 : 1. 绝对收敛和条件收敛: 以Leibniz级数为例, 先说明 收敛 绝对收敛.11 / 17- 11 -如果您需要使用本文档，请点击下载按钮下载!Th 2 ( 绝对收敛与收敛的关系 ) , 收敛.证 ( 用Cauchy 准则 ). 一般项级数判敛时, 先应判其是否绝对收敛. 例2 判断例1中的级数绝对或条件收敛性 . 2. 绝对收敛级数可重排性 : 同号项级数 ： 对级数 ，令 则有 和 均为正项级数 , 且有 和; , . 同号项级数的性质: Th 3 若 ， 则 ， . 若 条件收敛 , 则 , . 证 由 和 , 成立 . 反设不真 , 即 和 中至少有一个收敛 , 不妨设 .由 = , = 以及