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1、 解 三 角 形知识点梳理 （一）正弦定理：（其中R表示三角形的外接圆半径）适用情况：（1）已知两角和一边，求其他边或其他角； （2）已知两边和对角，求其他边或其他角。 变形： ， ， = （二）余弦定理：=（求边），cosB=（求角）适用情况：（1）已知三边，求角；（2）已知两边和一角，求其他边或其他角。（三）三角形的面积：； ；（其中，r为内切圆半径）（四）三角形内切圆的半径：，特别地，（五）ABC射影定理：，（六）三角边角关系：（1）在中，； ； （2）边关系：a + b c，b + c a，c + a b，ab c，bc b；（3）大边对大角：考点剖析（一）考查正弦定理与余弦定理的混合
2、使用例1、在ABC中，已知,且=2, ,求的长.例1、解：由正弦定理，得 又由余弦定理，得 入，得例2、如图所示，在等边三角形中，为三角形的中心，过的直线交于，交于，求的最大值和最小值例2、【解】由于为正三角形的中心，设，则，在中，由正弦定理得：，在中，由正弦定理得：，故当时取得最大值，所以，当时，此时取得最小值变式1、在ABC中，角A、B、C对边分别为，已知，（）求的大小；（）求的值变式1、解（）在ABC中，由余弦定理得 （）在ABC中，由正弦定理得 变式2、在中，为锐角，角所对的边分别为，且（I）求的值； （II）若，求的值。变式2、解（I）为锐角， （II）由（I）知， 由得，即又 （二
3、）考查正弦定理与余弦定理在向量与面积上的运用例3、如图，半圆O的直径为2，A为直径延长线上的一点，OA=2，B为半圆上任意一点，以AB为一边作等边三角形ABC。问：点B在什么位置时，四边形OACB面积最大？例3、解：设，在AOB中，由余弦定理得： 于是，四边形OACB的面积为 S=SAOB+ SABC 因为，所以当，即时，四边形OACB面积最大例4、在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，（1）求角C的大小； （2）求ABC的面积例4、解：（1）由 4cos2C4cosC解得 0C180,C=60 C60（2）由余弦定理得C2a2b22ab cos C 即 7a2b2ab 又ab5 a
4、2b22ab25 由得ab6 SABC 变式3、已知向量，且，其中是ABC的内角，分别是角的对边.(1) 求角的大小；（2）求的取值范围.变式3、解：（1）由得由余弦定理得 (2) = 即.（三）考查三角形形状的判断例5、在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c, b=acosC,且ABC的最大边长为12，最小角的正弦值为。（1） 判断ABC的形状；（2） 求ABC的面积。例5、解：（1） b=acosC，由正弦定理，得sinB=sinAcosC, （#）B=,sinB=sin(A+C),从而（#）式变为sin(A+C)= sinAcosC，cosAsinC=0,又A，CcosA=0，
5、A=，ABC是直角三角形。（2）ABC的最大边长为12，由（1）知斜边=12，又ABC最小角的正弦值为，RtABC的最短直角边为12=4，另一条直角边为SABC=16变式4、在ABC中，若.(1)判断ABC的形状； (2)在上述ABC中，若角C的对边，求该三角形内切圆半径的取值范围。变式4、解：（1）由 可得 即C90 ABC是以C为直角顶点得直角三角形 （2）内切圆半径 内切圆半径的取值范围是例7、在ABC中，已知，试判断ABC的形状。所以，ABC为等边三角形。变式8、在ABC中，cos2，(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则ABC的形状为 A正三角形 B直角三角形 C等腰三角形或直角三角形 D等腰直角三角形，a2c2b22a2，即a2b2c2，ABC为直角三角形答案：B变式9、ABC中，若sinA=2sinBcosC，sin2A=sin2B+sin2C，试判断ABC的形状。变式9、解:等腰直角三角形;（四）考查应用：求角度、求距离、求高度例6、在海岸A处，发现北偏东45方向，距A处（）海里的B处有一艘走私船，在A处北偏西75的方向，距离A处2海里的C处的缉私船奉命以海里/每小时的速度追截走私船，此时，走私船正以10海里/每小时的速度从B处向北偏东30方向逃窜问：缉私船沿什么方向能最快追上走私船？
