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1、第三章曲线连续刚构桥有限元分析理论3.1有限元法概述 2728有限单元法在50年代起源于航空工程中飞机结构的矩阵分析。结构矩阵分 析认为一个结构可以看作是由有限个力学小单元互相连结而组成的集合体；应用 有限单元法求解任意的连续体时，应把连续的求解区域分割成有限个单元，并在 每个单元上指定有限个结点，一般可以认为相邻单元在结点上连结构成一组单元 的集合体，用以模拟或逼近求解区域进行分析。同时选定场函数的结点值，例如 选取结点位移作为基本未知量；并对于每个单元根据分块近似的思想，假设一个 简单的函数（插值函数），近似地表示其位移的分布规律；再利用弹塑性理论中的 变分原理或其他方法，建立单元结点的力
2、和位移之间的力学特性关系，得到一组 以结点位移为未知量的代数方程组，从而求解结点的位移分量。一经解出，就可 以利用插值函数确定单元集合体上的场函数。简单的说，有限元法是将连续体分成有限个单元，单元间相互有结点连接的 理想结点系统。分析时，先进行单元分析，用结点位移表示单元内力，然后将单 元再合成结构，进行整体分析，建立整体平衡关系，由此求出结点位移。有限单元法通常分析过程为： 结构离散化，就是将要分析的结构物分割成有限个单元体，并在单元体的 指定点设置结点，使相邻单元的有关参数具有一定的连续性，并构成一个单元的 集合体，以它来代替原来的结构。对于连续体的分割，要考虑单元的形状和分割 方案以及确
3、定单元和结点的数目等问题。 选择插值函数，为了能用结点位移表示单元体的位移、应变和应力，在分 析连续体问题时，必须对单元中位移的分布作出一定的假定，也就是假定位移是 坐标的某种简单的函数。选择适当的插值函数是有限单元法分析中的关键，通常 选择多项式作为插值函数，因为多项式的数学运算比较方便，还可以用来逼近模 拟光滑的曲线函数；一般来说，多项式的项数等于单元的自由度数，它的阶次应 包含常数项和线性项等。通过插值函数，用结点位移表示单元内任意一点位移的关系式：/ = N6 e式中：/一单元内任一点的位移列阵；6 。一单元的结点位移列阵N一形函数矩阵，它的元素是位置坐标的函数，反映了单元的位 移状态
4、。 分析单元的力学特性，位移模式选定后就可以进行单元的力学特性的分 析，它包括下面三个部分内容：1）利用几何方程导出由结点位移表示单元应变的关系： = B 6 。式中： 一单元内任一点的应变列阵；B一单元应变矩阵。2）利用本构方程，由上边的应变表达式导出用结点位移表示单元应力的关 系式：。 = DB6 。式中：Z 一单元内任一点的应力列阵；D一与单元材料有关的弹性矩阵。3）利用变分原理，建立作用于单元上的结点力和结点位移之间的关系式， 即单元的平衡方程：Fe = k e 6 e式中：k e一单元刚度矩阵，可知k e=/ BTDBdxdydz 集合所有单元的平衡方程，建立整个结构的平衡方程。这个
5、集合过程包 括两个方面的内容：一是将各个单元的刚度矩阵集合成整个物体的整体刚度矩 阵；二是将作用于各单元的等效结点力列阵，集合成总的荷载列阵。最常用的集 合刚度矩阵的方法是直接刚度法，一般来说，集合所依据的理由是要求所有相邻 的单元在公共结点处的位移相等，于是得到以整体刚度矩阵K、荷载列阵F 以及整个物体的结点位移列阵6 表示的整个结构的平衡方程： F = K6 在考虑几何边界条件后，求解未知结点位移和计算单元应力。3.2桥梁结构空间有限元法概述 27293.2. 1桥梁结构有限元离散模型利用有限元法分析桥梁结构内力时，有多种离散模型，常用的有空间梁单元 法、板壳单元法、梁格法及三维实体单元法
6、，如下： 空间梁单元法用一维空间梁元对结构进行离散，这种方法的特点是能直接给出截面的内力 和变形，但是它不能反映主梁横向的内力。 板壳单元法用板、壳单元离散模拟箱梁顶底板和腹板成空间模型。但是在实际应用时， 它不能给出与现行设计规范有直接联系的内力结构，不便于工程技术人员的使 用，而且它对于箱梁横梁的模拟误差比较大。 梁格法梁格法是一种实用、简便、有效的空间分析方法，它概念清晰、易于理解， 在桥梁结构分析中得到了广泛的应用。梁格法就是用等效梁格来代替桥梁的上部 结构，两者的等效关系主要表现在梁格各构件的刚度计算上。理论上，原型和等 效梁格当承受相等的外荷载时，必须具有恒等的挠曲和扭转，等效梁格
7、中每一构 件的内力也必须等于该构件所代表的原型截面上的内力，但实际上由于结构类型 的不同，受力特性也不同，故模拟只是近似的，但是实践表明用梁格法计算出的 结构完全满足工程精度要求。梁格法可以计算出纵向和横向内力，这特别对于宽 箱梁内力计算有用。 三维实体单元法用四面体或六面体单元来离散模拟原结构，可以说这是一种很精确得模拟， 但是实体单元法计算工作量巨大，而且也不能直接输出结构截面上内力，还有自 己通过截面上应力积分得到内力，对于工程设计人员不是很方便。但是它可以用 于对细部结构进行子结构分析。一般来说桥梁结构都为细长结构，用空间梁单元来模拟计算能够比较方便 准确的得到结构的纵向内力和变形，从
8、而满足计算和设计要求；另外从能量角度 考虑，用空间梁单元计算的结果是偏安全的。如果遇到宽跨比比较大的宽桥则应 该采用板壳单元法或梁格法分析。因梁格法比板壳元法在实际应用上更为有效， 一般采用梁格法进行分析，作为结构设计的整体控制，但目前对于如何合理准确 的确定梁格划分和确定其刚度还值得研究。对于一些受力特别复杂的区域，可进 行三维实体元分析，以解决复杂部位的配筋设计等问题。3.2.2空间梁单元刚度矩阵空间梁单元有两个节点，分别是i、j,如图4-2所示。梁单元的每个节点 有六个位移自由度，其中三个是线位移，三个是角位移。它们分别对应于六个节 点力，其中三个是集中力，三个是弯(扭)矩。设单元局部坐
9、标系为右手坐标系， 并且规定局部坐标系中的x轴的正向为从i到j且位于梁的中和轴，且y及z轴 分别为梁截面的另两个主惯性轴，单元节点位移按右手系的定义如图4-2b所示。将单元节点在局部坐标系中的位移列阵记为6 .=u.v. 3. 0.e.e.t6 =uv 3 000 Tjj j j xj yj zj6 e=6 i 6 jT (3.2.1)图3.1空间梁单元 而相应的节点力列阵记为：P=NQQMMMtp.=顼Qy.QzMxMy.MztP宣 PP了 XJ(3.2.2)zJ节点力向量七中Nr分别为作用于节点.，j的沿x方向的轴向力，而QQyj 及Q、Q分别为作用于节点.,j上的沿y及z方向的横向力。M
10、、M分别作用z. zjX. Xj于节点.，j处的扭矩，M、M和M、M分别作用于节点.，j的弯矩。由荷载向 y. yj z. zj节点.，j上移置的节点力向量的符号与位移向量的符号一致。设单元位移为： u = u,v ,3,0 T，则该位移可由单元结点位移描述， 即： u = N6 e其中:-N 一u100000中200000 一N= =0中3000中400中500中6Nw00中30-中4000中50-中60NL 0000中100000中200中1二1 - X4x12上式中:三-2-=3三若忽略杆件剪切变形，只有轴向和弯曲变形两部分，单元应变:、XKXKyKzdu云d0 d卜=Z LUdN 、u
11、dXdN 0dX. d 2 wed 2 NdX 2w dX2d 2 udX 2 JI dX2 J:=e(3.2.3)单元内广义力:N、XMXMyM(3.2.4)由虎克定律:EA0000GJ0000EI0y000EIJ=D KJ (3.2.5)&=z其中：EA轴向抗拉刚度GJx扭转刚度EIy竖向弯曲刚度EI：横向弯曲刚度 故单元弹性应变能：U =-b dx =-e? D e dx =-也* 死 Y D B IdxS (3 2 6)e 2 02 02 e 0e令K =j i BY D Bdx(3.2.7)0将式(3-2-3)及式(3-2-5)代入式(3-2-7)，则得到不考虑剪切变形影响的空 间梁
12、单元刚度矩阵，如式(3-2-8)所示。通常细长的梁在横向荷载作用下，梁的剪切变形很小，可以忽略不计，然而 当梁的高度比较高时，剪切对挠度的影响就不是那样微不足道了，这时必须考虑 剪切变形的影响。若单元矩阵中考虑剪切变形的影响，可得修正的单元刚度矩阵，12kET12kEI如式(3-2-9)所示，其中,B = B = -z ,k为考虑剪应力不均匀分布z GA 12 y GA 12时的系数，Ay、Az分布是y、z轴向受剪面积3.2.3桥梁结构有限元分析一般步骤采用有限元法进行桥梁施工控制中的结构分析计算，首先要建立数据文件。 数据文件准备一般分为四步： 桥梁结构的模型化桥梁结构的模型化就是将实际结构
13、理想化为有限个单元的集合。根据结构的 受力特性与工作行为选择恰当的单元形式来模拟实际结构以及选择正确的约束 模拟形式，选择正确的约束模拟形式尤为重要。就结构分析模型来看，与一般的 己成桥梁分析不同的是施工控制中的结构分析模型一般是随着施工的不断推进 而不断变化的，这是由于桥梁在形成过程中的结构体系是在不断变化的。实际工 作中，通常可考虑建立一个统一的模型，而对某个施工状态的结构模拟则可通过 某些单元的是否激活来实现。计算模型中单元的选择应以能准确描述施工过程中结构受力与变形状态为 准。对于桥梁结构而言，最主要的是结构纵向的受力分析计算，而将纵向分析模 型近似地处理成杆件系统，往往是一种可取的简
14、化模型。一个模型可以是由一种 单元组成，也可是由几种单元组成，对一些特殊的施工工艺需要采用特殊的单元 来描述。如连续刚构桥的墩梁固结处，则假定墩顶零号块是一个具有无限大刚度 的刚性杆件。图3.2有限元程序流程图 桥梁结构的离散化。桥梁结构的离散化就是在模型化处理后，将结构离 散为带有有限个自由度的结构，这些单元在结点上相互联结，构成一个与真实结 构等价的计算模型，即将真实的复杂空间结构模拟为平面的杆件系统。单元大小 与结点位置确定应充分考虑结构受力情况与施工单元的划分。结构离散化必须遵循以下原则：1）计算模型应尽量符合实际结构的构造特点和受力特点，以保证计算分析结 果的真实性；2）保证体系的几何不变性，特别是在复杂的体系转
