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1、解题中的一种思维方法一一微元法上海市曹杨中学（200333）钊方健微元法”通俗地说就是把研究对象分为无限多个无限小的部分，取出有代表性的极小的 一部分进行分析处理，再从局部到全体综合起来加以考虑的科学思维方法。高中物理中的瞬 时速度、瞬时加速度、感应电动势等等，都是用这种方法定义的，还有单摆的周期公式的推 导，也用到了这种方法。从数学上讲，是一种微分的思想方法，但在高三物理总复习中，用 “微元法”来解有些问题，简捷明了是一种普适的好办法。下面从三方面，谈谈“微元法” 在解题中的应用。一、合理“取样”，从局部求整体当物体各部分的运动情况相同时，取其中一小部分作为研究对象，是利用“微元法”解 题的
2、一种思维方法。例1 一质量均匀分布的细圆环，半径为R，质量为m，设该环均匀地带正电，总带电量 为Q，现将此环平放在绝缘的光滑水平桌面上，匀强磁场的磁感强度为B，方向竖直向下。当此环绕通过其中心的竖直轴以3的角速度顺时针方向匀速旋转时，环中的张力等于多少?（电苛间的作用力忽略不计）图1分析与解：如图1，取环上微小的一段圆弧，质量为m。， 设其张角为20，由于环旋转，那么电苛随环运动形成电流， 小圆弧因而受到磁场对它的安培力尸方向沿半径向外。又小 圆弧做匀速圆周运动，必须有向心力安所以环中必定存在张力 T，小圆弧所受张力T在沿半径方向的分力和安培力的合力， 提供了小圆弧运动的向心力。得到：2T s
3、iri9 - F安=m 2rF 安=BIL = B 20 Rm 八 m = 20 R02兀R由以上三式,并且当0很小时，sin0 Q0求得:二、“化变为恒”、“化曲为宜”求瞬时速度分析与解：如图2b所示，当绳与水平成e角时，小船处在a点。现经一段很短的时间 t（t一0），小船被绳由A拉至B。期间绳的长度变化逐=3，则V =于。而在这段时间 内，由于AO与BO间的夹角很小，故小船的位移可作下列近似计算，A s船* 。由 于在极短的时间内，船的运动是匀速直线运动，所以船在A处的瞬时速度无限接近t内的 平均速度。由以上分析可知，小船在A处的瞬时速度为A s1 vv = lim =船 At0 A t
4、cos 9 cos 9图3例3三个物体A、B、C，用绳连接挂在两个定滑轮上，A、B质量相等且整个装置左右 对称，设某一瞬间A、B的下降速度为v和v （七=v = v），在这一 瞬间绳OD、OE间的夹角为2a，求此时刻物体C的上升速度。间内物体C可以是匀速直线运动，即:分析与解：图3,实线代表某一时刻绳与物体所在的位置，虚线 代表经极短时间后绳物体的位置。oo 是物体C在极短时间内的位 移，以E的圆心，以o E为半径，在0E上截取EF= o E，OF就是 物体A在极短时间内的位移，o F本来是圆弧，但6 0，o F可 以看成是直线，并且垂直oe，这样oo= o，又因为在极短的时 cos 9I A
5、 s : cos a vc A 0A tcos a从上面的计算知道，只要用“微量法”，“化变为恒”、“化曲为直”作出一个直角三角形， 就可以直接求出物体的瞬时速度。图4a例4如图4a，长为L的直棒一端可绕固定轴。转动，另一端A搁在升降平台上，平台 以速度V匀速上升，当棒与竖直方向的夹角为a时，棒的角速度为多少？图4b如图4b，用“微量法”作出直角三角形ACA ，即得：V =二三、找“联系点、“联系物求相关速度g a例5如图5a，一轻质细杆长为L，一端可绕固定轴O转动，另一端系一小球A，一物块 高为h卡在水平面与细杆之间，此时。人杆与水平面成e角，物块向右的速度为七，求A球此 时的速度大小。B分
6、析与解：杆与物块的接触点是v与v的“联系点”，我们可以假设接触点处有一小滑 环C固定在物块上。如图5b,当OA杆绕O轴转动一个很小的角度到达OA，可以看出环C是既绕O轴的转动又沿杆子滑动，最后到达B点，因为转动的角度很小，可以认为CC垂直OA, 从直角三角形cc，B得到，Vc=VBsin0。图6sin0 = V 棒 / vCOS。= V 棒 / VB故VB= vtg0分析与解：明显这里的“联系物”是绳子，cosa = V 绳 / VBconp = V 绳 / u由直角三角形AA C和BB D，得到如下两式:VB=u conp / cosa图7例6如图6直棒AB两端分别靠在竖直墙和水平地面上，接触处均光滑，当直棒滑到 与水平面成。角时，A点向下移时动的速度为u ，则此时B点的移动速度为多少？分析与解：要求出VB这里的“联系物”是棒，根据微量法作出 直角三角形AA C和BB D，分别得到如下两式：例7、如图7, A、B两物体用绳相连，在水平面上运动，当物体A的速度为u，则物体 B的速度VB=?从以上几个例子看出，如果有几个物体连接在一起，先求出“联系点”或“联系物”的速 度，再用微量法，作出直角三角形，求出要求的瞬时速度。通讯地址：上海市祁连山南路353号上海市曹杨中学邮政编码：200333
