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1、第二十四章复 习 课1.知道圆的有关概念,能说出垂径定理,圆心角、弧、弦之间的相等关系的定理以及圆周角定理,并会用这些定理解决有关问题.2.知道点和圆、直线与圆的位置关系;知道切线的概念,切线的性质;能判定一条直线是否为圆的切线,会过圆上一点画圆的切线.3.能利用正多边形和圆的关系进行正多边形的有关计算;会计算弧长和扇形面积.4.通过用圆的知识解决问题,体会分类讨论的思想,体会数学来源于生活,应用于生活.5.重点:垂径定理、圆周角定理及推论;切线的性质和判定;有关圆的计算.体系构建完成下面的知识结构图.核心梳理1.垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.2.平分弦(不是直径)的直径垂直于
2、弦,并且平分弦所对的两条弧.3.在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等.在同圆或等圆中,如果两条弧相等,那么它们所对的圆心角相等,所对的弦相等.在同圆或等圆中,如果两条弦相等,那么它们所对的圆心角相等,所对的弧相等.4.同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半,半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90的圆周角所对的弦是直径.在同圆和等圆中,如果两个圆周角相等,它们所对的弧一定相等,圆内接四边形对角互补.5.圆是轴对称图形,任何一条直径所在的直线是它的对称轴,圆也是中心对称图形.6.点与圆的位置关系:若圆的半径为r,某一点到圆心的距离为d,则(1)点在圆外dr,(
3、2)点在圆上d=r,(3)点在圆内dr.7.不在同一条直线上的三个点确定一个圆.8.直线和圆的位置关系:设O的半径为r,圆心O到直线l的距离为d,则(1)直线l和O相交dr.9.切线的判定定理:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.切线的性质定理:圆的切线垂直于经过切点的半径.10.弧长l=(n为圆心角度数,R为扇形半径).11.S扇形=lR(n为圆心角度数,R为半径,l为弧长).12.S锥侧=rl(r为圆锥底面圆的半径,l为圆锥的母线).专题一:垂径定理及推论1.如图,O的半径为5,弦AB的长为8,M是弦AB上的动点,则线段OM长的最小值为(B)A.2 B.3 C.4 D.52.
4、如图,已知AB是O的直径,CDAB,垂足为点E,如果BE=OE,AB=10 cm,求ACD的周长.解:连接OC.AB是O的直径,CDAB,CE=DE=CD.AB=10 cm,AO=BO=CO=5 cm.BE=OE,BE=OE= cm,AE= cm.在RtCOE中,CDAB,OE2+CE2=OC2.CE= cm.CD=5 cm.同理可得AC=5 cm,AD=5 cm,ACD的周长为15 cm.3.圆O的直径为10 cm,弦ABCD,AB=6 cm,CD=8 cm,求AB和CD的距离.解:(1)当AB、CD在圆心的同侧时,如图1,过点O作OMAB交AB于点M,交CD于N,连接OB、OD,得RtOM
5、B,RtOND,然后由勾股定理,求得OM=4 cm,ON=3 cm.故AB和CD的距离为1 cm.(2)当AB、CD在圆心的异侧时,如图2,仍可求得OM=4 cm,ON=3 cm.故AB和CD的距离为7 cm.所以AB和CD的距离为1 cm或7 cm.【方法归纳交流】圆中求线段的长,常利用垂径定理,转化为在直角三角形中利用勾股定理求边长解决.专题二:圆心角、圆周角、弧、弦之间的关系 4.如图,AB是O直径,AOC=130,则D等于(B)A.65B.25C.15D.355.如图,CD平分ACB,DEAC,求证:DE=BC.证明:CD平分ACB,ACD=BCD.=.DEAC,ACD=CDE,=,=
6、,=,DE=BC.变式训练在上题中,若DEAC,DE=BC,求证:CD平分ACB.证明:DE=BC,=,=,BCD=CDE.DEAC, ACD=CDE,ACD=BCD,CD平分ACB.【方法归纳交流】在同圆或等圆中,圆心角、圆周角、弧、弦之间的相等关系可以相互转化,知道其中一组量相等,则它们所对应的其他各组量也相等.6.如图,AB是O的弦,半径OC、OD分别交AB于点E、F,且AE=BF,请你找出弧AC与弧BD的数量关系,并给予证明.解:弧AC与弧BD相等.连接OA,OB,则OAB=ABO.因为OA=OB,AE=BF,所以OAEOBF,即AOC=BOD,即=.专题三:与圆有关的位置关系7.已知
7、两个同心圆的圆心为O,半径分别是2和3,且2OP3,那么点P在(C)A.小圆内B.大圆内C.小圆外大圆内D.大圆外8.在ABC中,C=90,AC=BC=4 cm,D是AB边的中点,以点A为圆心,4 cm为半径作圆,则A、B、C、D四点中,在圆内的点有(B)A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 9.矩形的两条邻边长分别为2.5和5,若以较长一边为直径作半圆,则矩形的各边与半圆相切的线段有(D)A.0条 B.1条 C.2条 D.3条10.如图,在平面直角坐标系中,以A(5,1)为圆心,以2个单位长度为半径的A交x轴于点B、C.解答下列问题:(1)将A向左平移3个单位长度与y轴首次相切,得到A.此
8、时点A的坐标为(2,1),阴影部分的面积S=6;(2)求BC的长.解:连接AC,过点A作ADBC于点D,则BC=2DC.由A点的坐标为(5,1),可得AD=1.又AC=2,在RtADC中,DC=,BC=2 .【方法归纳交流】判断点和圆、直线和圆的位置关系,常转为两点间的距离、点到直线的距离与半径比较大小解决.专题四:切线的性质和判定11.如图,AB是半圆的直径,O为圆心,AD、BD是半圆的弦,且PDA=PBD.(1)判断直线PD是否为O的切线,并说明理由.(2)如果BDE=60,PD=,求PA的长.解:(1)PD是O的切线.连接OD.ADB=90,DBA+DAB=90.OD=OA,DAO=OD
9、A,ODA+DBA=90.DBA=PDA,PDA+ODA=90,ODPD,PD为O的切线.(2)BDE=60,ODB=30.OD=OB,ODB=OBD=30,DOP=60,DO=1,PO=2,PA=1.12.如图,AB是O的直径,C为圆周上一点,BD是O的切线,B为切点. (1)在图中,BAC=30,求DBC的度数. (2)在图中,BA1C=40,求DBC的度数. (3)在图中,BA1C=,求DBC的大小.(4)通过(1)、(2)、(3)的探究,你发现了什么?用自己的语言叙述你的发现.解:(1)30.(2)连接AC,根据(1)可得DBC=40.(3)连接AC,根据(1)可得DBC=.(4)在图
10、中,BAC=DBC,在图,图中,CBD=BAC,由此可得:圆的切线与弦所成的角等于它所夹的弧所对的圆周角.13.如图,已知O的半径为1,DE是O的直径,过D点作O的切线,C点是AD的中点,AE交O于B点,四边形BCOE是平行四边形.(1)求AD的长;(2)BC是O的切线吗?若是,给出证明;若不是,说明理由.解:(1)连接BD,则DBE=90.四边形BCOE是平行四边形,BCOE,BC=OE=1.在RtABD中,C为AD的中点,BC=AD=1,AD=2.(2)是.理由:连接OB,由(1)得BCOD,且BC=OD,四边形BCDO是平行四边形.又AD是O的切线,ODAD,四边形BCDO是矩形,OBB
11、C,BC是O的切线.【方法归纳交流】题目条件中有圆的切线时,常连接过切点的半径,证明圆的切线时,切点已知,则连半径,证垂直;切点未知,则作垂直,证半径.专题五:圆中的计算问题14.如图,PA、PB是O的切线,切点是A、B,已知P=60,OA=3,那么AOB所对弧的长度为(D) A.6 B.5 C.3 D.215.如图,从一个直径为4 dm的圆形铁皮中剪出一个圆心角为60的扇形ABC,并将剪下来的扇形围成一个圆锥,则圆锥的底面半径为1dm.16.如图所示的是一个半圆形桥洞截面示意图,圆心为O,水位线CD平行于直径AB,OECD于点E.(1)若水面距离洞顶最高处仅1 m,已测得水位线CD长为10 m,求半径OD;(2)根据设计要求,通常情况下,水位线CD与桥洞圆心O的夹角COD=120,此时桥洞截面充水面积是多少? (精确到0.1 m2,参考数据:3.14,1.73,1.41.)解:(1)在RtODE中,DE=5 m,OE=OD-1,OD2=OE2+DE2,OD2=(OD-1)2+DE2,OD=13 m.(2)COD=120,DOE=60,由r=13得OE=r=,DE=OE=,CD=2DE=13.S=132-(-)=-+=+161.5 m2.答:此时桥洞截面充水面积是161.5 m2.【方法归纳交流】圆中求阴影部分的面积,常转化为求扇形、三角形、平行四边形等的面积解决.
