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1、高中文科数学解三角形部分整理一 正弦定理（一）知识与工具:正弦定理：在 ABC中,asin Absin BcsinC2R。变形：a: b: c sin A:sin B :sin C .在这个式子当中，已知两边和一角或已知两角和一边，可以求出其它所有的边和角。注明：正弦定理的作用是进行三角形中的边角互化，在变形中，注意三角形中其他条件的应用：（1）三内角和为180两边之和大于第三边，两边之差小于第三边（2）三角函数的恒等变形cos-A_B2C=sin 一2A B Csin(A+B)=sinC , cos(A+B尸-cosC , sin-=cos (3)面积公式：S= absinC=2R2sinA
2、sinBsinC2 4R（二）题型使用正弦定理解三角形共有三种题型题型1利用正弦定理公式原型解三角形例一、在 ABC 中，若 C 900,a 6,B 300,则 c b等于（）A. 1B.1 C.2V3 D.243【解析】C.b tan300,b a tan 3002.3,c2b 4.4, cb 2 3a题型2利用正弦定理公式变形边角互化解三角形：关于边或角的齐次式可以直接边角互化。例二、在 ABC中，若b 2asinB,则A等于（）A. 300或600B. 450或600 C. 1200或600D. 300或 1500100【斛析】D. b 2asinB,sinB 2sin Asin B,s
3、in A , A 30 或 1502题型3三角形解的个数的讨论方法一：画图看ab3iM无解 皿强一解bjLtAiic2、b2+c2a2, c2+a2 b2中有一种关系式成立时，并不 能得出该三角形为锐角三角形的结论。判断三角形形状的方法：(1)将已知式所有的边和角转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系, 从而判断三角形的形状。例一、在 ABC中，若a cos A bcosB ccosC,贝必ABC的形状是什么？解：a cos A bcosB ccosC,sin AcosA sin B cosB sin C cosCsin 2A sin 2B sin2C,2sin(A B)cos(
4、 A B) 2sin C cosCcos(A B) cos(A B),2cos AcosB 0cosA 0 或 cosB 0,得 A 或 B 22所以 ABC是直角三角形。(2)应用题题型1计算高度题型2计算距离题型3计算角度题型4测量方案的设计实际应用题型的本质就是解三角形，无论是什么样的现象，都要首先画出三角形的模型,再通过正弦定理和余弦定理进行求解。(三)其他常见结论1三角形内切圆的半径:2Sr a b c 特别地，r直2三角学中的射影定理：在4ABC 中，b a cosC c cosA,3两内角与其正弦值：在ABC 中，A B sinA sinB,例一、在 ABC中，若a7,b 3,c
5、 8,则其面积等于（A. 12 B. C. 28 D. 6、G26.31 o1【斛析】D cos A, A 60 ,Svabcbcsin A2 2基础练习一、选择题1 .若A为 ABC的内角，则下列函数中一定取正值的是（）1A. sin AB. cosAC. tan A D.tan A2 .在 ABC中，角均为锐角，且 cos A sin B,则 ABC的形状是（）A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形3 .边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是（）A. 900B. 1200C. 1350 D. 15004 .在 ABC 中，A:B:C 1: 2:3 ,则 a:
6、b:c等于（）A. 1:2:3 B, 3:2:1 C, 1:向:2 D, 2:73:15 .在 ABC中，若A 2B ,则a等于（）A. 2bsinAB. 2bcosAC. 2bsin BD. 2bcosB6 .在 ABC 中，若 lg sin A lg cos B lg sin C lg 2 ,则 ABC 的形状是（）A.直角三角形B.等边三角形C.不能确定D.等腰三角形7 .在 ABC 中，若(a b c)(b c a) 3bc,则 A ()A. 900B. 600C. 1350D. 150O8.在 ABC 中,A .直角三角形若tan A B U ,则4 ABC的形状是 2 a bB.等
7、腰三角形C.等腰直角三角形)D.等腰三角形或直角三角形二、填空题2221 .在 ABC 中，若 a b bc c，则A 2 .在 ABC 中，若 b 2,B 300,C 135，则a 。3 .在 ABC 中，若 sin A ： sin B ： sin C 7 ： 8 ： 13,则 C 4 .若在 ABC 中， A 600,b 1, S abcV3,则a b c=sin A sin B sin C5 .在 ABC中，若a 9,b 10,c 12,则ABC的形状是 。6.在 ABC中，若a.623,b v2,c 则 A2三、解答证明题1 .在4ABC 中，A 1200,c b,a 技,Svabc
8、73，求 b,c。a b2 .在ABC 中，若 A B 1200,则求证： 1。b c a c2 c 2 A 3b一3 在 ABC 中，右 a cos ccos 一 ,则求证： a c 2b222,，、一 a b4.在 ABC中，求证：一一b a,cosB cos A、丁 丁)【答案】选择题1 .A 0 A ,sin A 02 .C cos A sin( A) sin B,- A,B 都是锐角，则 一 A B, A B ,C 一222223.B52 82721设中间角为 ，则 cos58- 1,600,1800 6002 5 821200为所求4.CA 6，b 3，c,a : b: c sin
9、 A:sin B:sinC 1: 3 22 25.Dsin A sin 2B2sin BcosB,a 2bcos B6.D, sin A lgcosBsin C一一 sin A 一 一 一 一一一lg 2,2,sin A 2cos Bsin Ccos Bsin C7.B8.Dsin(B C)sin(B C)(ab22cos Bsin C,sin B cosC0,B C ,等腰三角形cos B sin C 0,b c)(btan。2c a) 3bc,(b c)2b2 c23bc,cosA -2bcsin A sin Bsin A sin B2cos3bc,1, A 60022 o . A B 2
10、sin 2A B A Bsin2A B cos2A B tan2tanA填空题所以AB2 A B a ,tan ,A B , tan20,或nb21.120cos A 一2 c2bc1 A 2,12003. 12002.394.30 a15 , ,asin A sin Bbsin Asin B4sin A4sin15.6 24S ABC7k,bsin A ： sin B8k,c 13k bcsinA 一c:sinC7 ： 8 ： 13,2,22a b c cosC2ab1200U 3,c 4,a2 13,a 府a b ca ,13 2 .39sin A sin B sin C sin A 33
11、225.锐角三角形C为最大角，cosC 0,C为锐角6. 600 222b c acos A 2bc8 4.32- 62-2四、解答证明题1 .解：SABC 1bcsin A . 3, bc 4, 2a2 b2 c2 2bc cos A, b c 5,而 c b所以b 1,c 4a ba ac b bc2 .证明：要证 1,只要证2 1,b c a cab bc ac c即 a2 b2 c2 ab而A B 1200, C 6002.22_abc 222_0cosC, a b c 2abcos60 ab2ab原式成立。3.证明2 C 2 A 3b a cos ccos 一2221 cosC 1
