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1、插值与多项式逼近的数组计算方法实验【摘要】计算机软件中经常要用到库函数，如sin （x） , cos （x） , ex ,它们是用多项式逼近来计算的。虽然目前最先进的逼近方法是有理函数 （即多项式的 商），但多项式逼近理论更适于作为数值分析的入门课程。在已知数据具有高精 度的情况下，通常用组合多项式来构造过给定数据点的多项式。构造组合多项式的方法有许多种，如线性方程求解、拉格朗日系数多项式以及构造牛顿多项式的 方分和系数表。关键字 泰勒级数、拉格朗日插值法、牛顿插值法、帕德逼近一、实验目的1 .通过具体实验，掌握泰勒级数、拉格朗日插值法、牛顿插值法、帕德逼近的编 程技巧。2 .比较各插值方法的
2、优劣并掌握。实验原理1 .泰勒级数在数学中，泰勒级数（英语：Taylor series ）用无限项连加式级数来表示一个函数，这些相加的项由函数在上一点的导数求得。如果fg在点X=Xo具有任意阶导数，则幕级数乙一（mt口） 一 八沏）+/ 博0乂*一必）+-2；优一工口）+*+（a-Jto）+ 二a称为f5在点X0处的泰勒级数。在泰勒公式中，取X0=0,得到的级数年皆称为麦克劳林级数。函数/（灯的麦克劳林级数是x的幕级数，那么这种展开是唯一的，且必然与的麦克劳林级数一致。2 .拉格朗日插值法如对实践中的某个物理量进行观测，在若干个不同的地方得到相应的观测值，拉格朗日插信法可以找到一个多项式，具恰
3、好在各个观测的点取到观测到的值。这样的多项式称为拉格朗日(插值)多项式。数学上来说，拉格朗日插值法 可以给出一个恰好穿过二维平面上若干个已知点的多项式函数。在平面上有(xi,y i)(x 2,y 2)(x n,yn)共n个点，现作一条函数f (x)使其图 像经过这n个点。作n个多项式pi(x),i=1,2,3,n,使得p何二n最后可得_ g _阳 I_ _二向)(X 二痴 j j = 1 2 3 Hg一项一(巧一阳.巧一电乂弓一四(十一J/ (x)=：的Pj (x) J = L 2.3卜=13 .牛顿插值法插值法利用函数f (x)在某区间中若干点的函数值，作出适当的特定函数，在这些点上取已知值
4、，在区间的其他点上用这特定函数的值作为函数f (x)的近似值。如果这特定函数是多项式，就称它为插值多项式。利用插值基函数很容易 得到拉格朗日插值多项式，公式结构紧凑，在理论分析中甚为方便，但当插值节 点增减时全部插值基函数均要随之变化，整个公式也将发生变化，这在实际计算中是很不方便的，为了克服这一缺点，提出了牛顿插值。牛顿插值通过求各阶差商，递推得到的一个公式：Pn(x) Pn i(x) aN(x xo)(x xi)(x x?)L(x xn 1)牛顿插值与拉格朗日插值具有唯一性。4 .帕德逼近它不仅与逼近论中其他许多方法有着密切的关系，而且在实际问题特别是许多物理问题中有着广泛的应用。设是在原
5、点某邻域内收敛的、具有复系数的麦克 劳林级数。欲确定一个有理函数，式中，使得前次方的系数为0,即使得 此处约 定qk=0 (kn)。虽然所求得的Pm(z)和Qn(z)不惟一，但是比式却总是惟一的。 有理函数称为F(z)的(m,n)级帕彳惠逼近，记为(m/n)。由(m/n)所形成的阵列称为 帕德表。三、实验内容1.P154.1:用plot命令，在同一幅图中绘制区间-1 x 1上的sin（x）,以及P5（x）,P 7（x） 和 P9（X）。其中：P5(x)P7(x)P9(x)3579x x x x3!5!7!9!式（3）2.P171.2:卜表（表一）给出了 11月8号美国洛杉矶的一个郊区在5小时内
6、的测量温度。（a）对表一中的数据构造一个拉格朗日插值多项式。（b）估计这5小时内的平均温度。1（c）在同一坐标系中画出表中的数据和由（a）得到的多项式。讨论用（a）中的多项式计算平均温度可能产生的误差时间（下午）华氏度1166266rr 3651464563|663表13.P178.1:用牛顿插值多项式计算实验P171.2的内容4.P194.1:比较对于函数f（x） ex的逼近:泰勒多项式逼近:T4(x) 1 x34x x624式(4)帕德逼近:12 6x x2%(、)12 6x x2式(5)(a)在同一坐标系中画出f(x) , T4(x) , R,2(x)的曲线。(b)分别求出在区间卜1 ,
7、 1上用T4(x)和R,2(x)逼近f(x)的最大误差。5.P194.3:比较对于函数f(x)=tan(x)的逼近:泰勒多项式逼近：Tg(x) x x-三 62x-3153152835式(6)帕德逼近:,_35c , 、945x 105x xR5,4 (x)24945 420x2 15x4(a)在同一坐标系中画出f(x) , T9(x)R“x)的曲线。(b)分别求出在区间卜1 , 1上用T9(x)和R,4(x)逼近f(x)的最大误差。四、实验结果及分析1.P154.1 :实验描述:(1) plot绘图的原理为连续点绘图，只需输入一组等间距的坐标点即可完成;(2)坐标点的计算使用C+垸成，计算完
8、成后输入文件中；(3)绘图使用matlab的plot函数完成，具体方法为从文件中读取出坐标点, 之后使用plot函数绘图。实验结果:表2 x及sin(x)及5,7,9阶泰勒展开公式计算结果xy=sin（x）y= P5（x）y= P7（x）y= P9（x）-100000000-0.84147098-0.84166667-0.84146825-0.84147101-0.90000000-0.78332691-0.78342075-0.78332585-0.78332692-0.80000000-0.71735609-0.71739733-0.71735572-0.71735609-0.700000
9、00-0.64421769-0.64423392-0.64421758-0.64421769-0.60000000-0.56464247-0.5646480070.56464245-0.56464247-0.50000000-0.47942554-0.47942708-0.47942553-0.47942554-0.40000000-0.38941834-0.38941867-0.38941834-0.38941834-0.30000000P-0.29552021-0.29552025-0.29552021-0.29552021-0.20000000-0.19866933-0.19866933
10、-0.19866933-0.19866933-0.10000000-0.09983342-0.09983342-0.09983342-0.099833420.0000000010.000000000.000000000.000000000.000000000.100000000.099833420.099833420.099833420.099833420.20000000I 0.198669330.198669330.198669330.198669330.3000000010.295520210.295520250.295520210.295520210.400000000.3894183
11、40.389418670.389418340.389418340.500000001 0.479425540.479427080.479425530.479425540.600000000.564642470.564648000.564642450.564642470.700000000.644217690.644233920.644217580.644217690.80000000I 0.717356090.717397330.717355720.717356090.9000000010.783326910.783420750.783325850.783326921.000000000.84
12、1470980.841666670.841468250.84147101尸gim0.51-45/二1 -0.6005产P70 5口-G 5-1-150D.5图1 y=sin(x) 及其5,7,9阶泰勒展开函数实验结论：(1)由表二可知，随着泰勒展开阶数的增加，Pn(X)越来越接近于原函数，当展开阶数n=9时，在误差delta=1e-7的精度要求下可以认为 P9(x)与sin(x) 完全拟合；(2)当丫=$访仅)的泰勒展开函数Pn(x)的展开阶数为5,7,9时，其函数图像 与原函数图像基本相符；(3)综上，当y=sin(x)泰勒展开到达5阶时，其五阶泰勒展开函数P5(x)便近似于原函数，可在x
13、xo 1,xo 1范围内用于替代计算。2.P171.2:实验描述:(1)拉格朗日插值多项式的公式为:PN(x)yk LN,k(x)k 0式(8)以及LN,k (x)(x x)L (x xk i)(x xk i)L (x xn)(xk x)L (xk xk 1)(xk xk i)l (xk xn)式(9)(2)进行计算时，因为现有坐标点关于(3.5,y(3.5)点呈中心对称，故取y(3.5) 的值近似替代五小时温度的平均值；(3)拉格朗日插值多项式及已知点的绘图使用 matlab的plot函数完成，为 完成绘图需将拉格朗日插值多项式及已知坐标点的坐标输入到文件中，以便于使用matlab读取。实验
14、结果:拟合后的6次拉格朗日插值多项式为:P6(x)660.55 (x k) 2.75(x 1) (x k)k 2k 3265.41667 (x k) (x k)k 1k 435.33333 (xk 16k) (x k)k 542.625 (x k)(x 6) k 150.525 (x k)k 1(2)这五小时的平均温度为：64.5 (华氏度)图2温度的拉格朗日插值多项式拟合曲线图3.P178.1:实验描述：(1)拉格朗日插值多项式的公式为：PN (x)aoai(xx)L aN(xx0)(xx1)L(xXn 1)式(11)其中a。为给出坐标点的各阶差商。(2)进行计算时，因为现有坐标点关于(3.5,y(3.5)点呈中心对称，故取y(3.5)的值近似替代五小时温度
