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1、9.直线和圆的方程较难题及难题组）1. （2012年江苏高考12）在平面直角坐标系y中，圆C的方程为x2 + y2 - 8x +15 = 0 ,若直 线y = kx- 2上至少存在一点，使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C有公共点，则k 的最大值是.m2、(2011 江苏高考 14)设集合A = (x,y) I (x 2)2 + y2 m2,x,y e R,B = (x, y) I 2m x + y b 0)的离心率e ,条准线方程为x a2 b232(1) 求椭圆C的方程；(2) 设G,H为椭圆上的两个动点，O为坐标原点，且OG丄OH 当直线OG的倾斜角为60时，求AGOH的面积； 是否存在
2、以原点O为圆心的定圆，使得该定圆始终与直线GH相切？若存在，请求出该定圆方程；若不存在，请说明理由.10. (南通市 2013届高三第二次模拟考试 19)在平面直角坐标系xOy中，已知圆C： x2+y2=r2和直线1： x=a(其中r和a均为常数, 且OVrVa), M为1上一动点，A1，A2为圆C与x轴的两个交点，直线MA1, MA2与圆C 的另一个交点分别为P、Q.(1) 若r=2, M点的坐标为(4, 2)，求直线PQ的方程；(2) 求证：直线 PQ 过定点，并求定点的坐标【解析】考查圆与圆的位置关系，点到直线的距离。圆C的方程可化为：x-4）2 + y2 = 1 ,圆C的圆心为（4,0
3、），半径为1。由题意直线Y =尬-2上至少存在一点A化-2），以该点为圆心，】为半径 的圆与圆C有公共点；存在X e R,使得AC 1 +1成立，即AC 2。0 min AC .即为点C到直线Y = kx-2的距离，. I 2，解得min40 k 。34 k的最大值是3。4 【答案】亍。【解析】考查直线与圆的位置关系，点到直线的距离，线性规划 当M 0，因为A B，此时无解；当m 0时，集合A是以（ 2， 0）为圆心，以和|m|为半径的圆环，集合B是在两条平行线之间，必有 m诂 2 11 m 衬2 +1.又因为片2 +12 2 2【答案】2 m j2 +13【解析】考查求点的轨迹方程，弧长公式
4、设AB中点D （x,y）. ZAOB = 90OD=1X 2 + Y 2 = 1当点A从（诵，0）移动到（迈，0）时，x从变到亨圆心角变化誇D经过的路程为苛答案：124【解析】考查直线与圆的位置关系。直线 y = ax + 3与圆x 2 + y 2 + 2 x 一 8 = 0 相交T圆方程为(X +1)2 + y2 = 9.d = I3 - 0a 04PA = PBP在AB的中垂线y二-1 (x+1)上aP在y = 2 x 上- (x +1)= 2 xa 00一13x =(a 0)0 2a +14x e (-1,0) U (0,2)0【答案】(-1,0)U(0,2) 5【解析】考查直线与圆的位
5、置关系和直线的倾斜角和斜率。._ 3x + y - 6=0(x3)2+(y-1)2 = 2. A(),B (3/3 -1 3 + 伍 ) 22.kOA3-亦=10薦-123扁 +1 =26kOB3 + 羽=10* +123 爲-1 =26tan(a + 卩)=J3/.a + P=l3答案】 60 6【解析】考查直线与圆的位置关系四边形PACB的周长=2PA+2r=2PA+2当PA最小时四边形PACB的周长最小.PA = Jpc2 -1 PC最小值为=d =15 = 3 5 PA最小值为2衬2四边形PACB的周长最小值为4込+ 2【答案】4込+ 27【解析】考查直线的方程和轨迹方程的应用。设M(
6、x,y) TM(x,y), x = x, y = 2|y| y = -x + 4(-2 x 6)当 - 2 x 01 y = - x + 42M从(-2，12) t (4,0).M所经过的路程为(4 + 2)+122 = 6岛当 4 x 6时，y 0/.- - y = -x + 4(4 x 6)2M 从( 4， 0) T( 6， 4)M所经过的路程为（4 - 6）+ 42 = 2J5M所经过的路程共为氷亦【答案】8厉8解析】考查圆与圆的位置关系和存在性命题成立的条件。k设 C(a,_),akOC: (x a)2 + (y )2aOO : x2 + y2 = 4 OC上总有两个点到原点的距离为2
7、 AO C与OO相交A 存在a使l；a2 + 3 a 2a存在a使 a4 + a2 k 2 a4 + 9a2A 0 k 2 81409 0 k 2【答案】(o, 2)A“ c 、/69 解：(1)因为一=a3a 23J62分解得a = 3,b = *3，x2y 2所以椭圆方程为g + 丁 - 1.4分(2)由y = J3 xx2y 2，解得 1 = 19y2T9X 2 =-1027106分y2x298分23y 2 =2所以 OG =斗,OH =、；6,所以SAGOH345510 分假设存在满足条件的定圆，设圆的半径为R，则0GOH = R - GH因为 0G 2 + 0H 2 = GH 2，故
8、 0G2+OH； = R当0G与oh的斜率均存在时，不妨设直线0G方程为：y = kx，91+了沪防1+加9 + gjr2所以。/ = 、12分1 +护, Qi-J -LGrI同理可得OH2 = f (将曲中的氏换戚.上可得)14分弓+ F上1141_3十=I A =耳OG2 OH2 9 浙21141当OGQH的斜率有一个不存在时，可得一 + 二二1丘分OG2 0H29 唇故蓿足条件的定圆方程为：x2+/ = -.适分410 解：(1)当 r=2, M(4, 2),贝V A(2, 0), A2(2, 0).直线MA的方程：x3y+2 = 0,解1x2+y2f得 p(8 6丿x3y+2 = 0,
9、得 P乜，5丿.x2+y2=4,2_0 得 Q(，x_y_2_0.(2 分)直线MA2的方程：xy2 = 0,解由两点式，得直线PQ方程为：2xy2 = 0.(6分)(2)证法一：由题设得 A1(r, 0), A2(r, 0).设 M(a, t), 直线MA1的方程是：y=o+；(x+r)，直线MA1的方程是: x2+y2_r2, y_o (x+r) x2+y2_r2, y_(xr) ar-2). (4 分)y=ar(x-r). (8 分) a r解解得Pl5得Ql5r (a+r) 2rt2 、(a+r) 2+t2，rt2r (ar) 2 、(ar) 2+t2，2at于是直线PQ的斜率kpQ-
10、a212-r22tr (a+r)(a+r) 2+t2/(10 分)2rt (ar)(ar) 2+t2/(12 分)r (a+r) 2rt2x2tr (a+r)直线 PQ 的万程为 y (a+r) 2+ta212r2上式中令y=0,得x=p是一个与t无关的常数，故直线PQ过定点亩,0丿(16 分) 证法二：由题设得 A1(r, 0), A2(r, 0).设 M(a, t),2at(a+r) 2+t2 丿.(14 分)r2直线MA1的方程是：y=a+r(x+r),与圆C的交点P设为P(x1, y1). 直线MA2的方程是：y=ar(xr)；与圆C的交点Q设为Q(x2, y2). 则点 P(X, y1), Q(x2, y2)在曲线(a+r)yt(x+r)(ar)yt(xr) = 0 上，(10 分) 化简得(a2r2)y22ty(axr2)+t2(x2r2)= 0.又有 P(x1，y1), Q(x2，y2)在圆 C 上，圆 C： x2+y2r2=0. rt2X得(a2r2)y22ty(axr2)t2(x2r2)r2(x2+y2r2) = 0， 化简得： (ar2)y2t(axr2)t2y=0.所以直线 PQ 的方程为(a2r2)y2t(axr2)t2y=0.(14 分)在中令y=0得x=，故直线PQ过定点,0)(16分)
