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1、（宋粗小二）景德镇高等专科学校毕业论文（黑二）二元一次不定方程及应用（宋三）柯红微09级数学教育班 （宋四）2010年12月18 日学校代码 10894 （宋四） 学 号 （宋粗小二）景德镇高等专科学校毕业论文 （黑二）二元一次不定方程及应用（宋三）柯红微(宋四)指导教师 冯全民 副教授专业 09级数学教育 论文提交日期 2010年01月12日20 年 月 日目录（黑小二）摘要 第1章 不定方程（黑小四） 11.1不定方程的概念及分类（宋小四） 21.2不定方程的解法 21.2.1 二元一次不定方程 21.2.2 n元一次不定方程（n3） 41.2.3 不定方程组 7第2章 数学竞赛中的不定方

2、程72.1二元一次不定方程的应用 72.2不定方程组的应用 10第3章 结 论 12参考文献 13致谢 13附件：论文英文简介推荐精选二元一次不定方程及应用（黑小4）摘要:(宋小4号)不定方程的整数解的判别与求解方法是初等数论的一个重要内容，在相关学科和实际生活有着广泛的应用。本文首先归纳了枚举法、整数分离法、奇偶分析法等几种常用的二元一次不定方程的解法，其次以二元一次不定方程为基础，进一步讨论求多元一次不定方程整数解的方法，最后对几例中学数学竞赛题求解可以看到合理选用二元一次不定方程的解法使得相关问题简单化。（黑小4） 关键词:（宋小4）不定方程 解法 应用 （宋小四、行距1.5倍）不定方程

3、(组)及整数解是数论中的一个古老分支，其内容极其丰富。我国对不定方程的研究已延续了数千年，张丘建的“百鸡百钱” 问题等一直流传至今，“物不知其数”的解法被称为孙子定理。学习不定方程，不仅可以拓宽数学知识面，而且可以培养思维能力，提高数学解题的技能。下面就不定方程的一些概念及二元一次不定方程的解法进行讨论，进而通过对几例数学竞赛题的求解来讨论二元一次不定方程及解法在中小学数学教学的应用。第1章 不定方程（粗黑三）1.1不定方程的概念及分类（粗黑小三）不定方程是指未知数个数多余方程的个数，且其解受到某种条件的限制（例如要求求整数解，非负整数解等）的方程或方程组。按不定方程所含元的个数和元的次数可分

4、为二元一次不定方程、多元一次不定方程、非一次不定方程。下面主要介绍二元一次不定方程和多元一次不定方程的解法及其应用。1.2不定方程的解法1.2.1二元一次不定方程（粗黑四）二元一次不定方程： (，)如果二元一次不定方程的一个整数解（特解）是，那么它的一切整数解就可以表示为 要求不定方程的解，我们首先要验证这个不定方程是否有解，对于二元一次不定方程 (其中)而言，它有整数解的充要条件是.若所求的不定方程满足上面的条件，我们才能求出它的整数解，否则就不能找出它的整数解。因此在求整数解之前很有必要去验证它是否有这个数解。比如方程2x+4y=25，我们容易验证它是没有整数解的，因此就不能找出它的整数解

5、。在所求二元一次不定方程存在整数解的情况下，有几种我们常见的解法。（1）枚举法：枚举法是在日常生活中我们习惯使用的方法，这种方法一般只用于有限数据实际问题中，在解决一般数学问题有时是无效的。比如给定一个不定方程 ,求它的整数解；我很习惯假设当时，,此时，不满足条件；当时,此时，满足条件；当时,此时，不满足条件； 就这样依次去寻找它的整数解，显然我们没有办法用这种方法去一一去找出它的所有整数解的，那我们能不能采用用其他的办法来求出它的整数解呢？（2）整数分离法：对于二元一次不定方程 (),为了实际操作的简便，在这里我假设,有=-+(c-)-(-)通过观察，我们找到一个整数，使得(c-)-(-)也

6、是一个整数，从而找到了对应的一个,然后我们根据这一对特解和它的不定方程和求出它的通解，其通解为 假如要求不定方程的非负整数解，那只要令0, ,0,解出的范围，由于，我们就可以找出的取值，那么就可以找到下的,. 例1. 求不定方程的整数解. 解：我们首先将原不定方程变形为=1-+在这取y=2,则x=-1,所以不定方程的通解为 整数分离的方法， （3）同余式法：对于二元一次不定方程的整数解，我们能否可以利用同余的知识来求不定方程，根据同余的概念可知，我们可以将它看成两个同余式因此，可以借助于同余式的解来解二元一次不定方程，也就是解上面的任一个同余式，求出x或y,然后代入原不定方程求得另一个解。例2

7、. 利用同余式的解法来求解不定方程的整数解.解：首先我们将不定方程改写成两个同余式：在这取，可得所以 将y代入原不定方程可以得到所以原不定方程的解为 我们可以看到采用同余式来解二元一次不定方程也比较简捷。（特点）（4）奇偶数分析法：根据方程的特征，我们有时可应用奇数与偶数的一些性质，我们也能判别方程是否有整数解或求出它的整数解。例如上面给出的不定方程，由于未知量的系数都是偶数，根据偶数的性质，任意一个偶数乘以任意整数还是偶数，两个偶数之和还是偶数，而常数项是奇数，因此左边不等于右边，则该不定方程没有整数解。1.2.2 元一次不定方程（） 元一次不定方程： (其中为整数,)对于多元一次不定方程，

8、我们很难通过一个公式直接求解，即使有那么一个公式也是很复杂的，因为未知元的个数多了，它的解所含的自由未知量也就多了，因此不便于记忆和使用。关于多元一次不定方程的解法，主要是采用两种思想，第一种是采用代换的思想，根据已知条件确定一个未知数的值，或者消去一个未知数，就这这样依次把它转化成n-1个二元一次不定方程然后采用上面的二元一次不定方程的解法进行求解。第二种是采用代数中矩阵的思想进行求解。（1）代换法：首先估计系数较大的未知数的可能取值的范围，在此基础上，在这个未知数的取值范围内取某个正整数，代入原不定方程，于是就得到一个未知量比原不定方程未知量少1的新的不定方程；然后估计新的不定方程中系数最

9、大的未知数的可能取值范围，再假设这个未知数的取值范围内取某个正整数值，依次进行下去，最后得到一个二元一次不定方程，根据上面求解二元一次不定方程的解法求出它的解，然后依次往回代，从而就能求得原方程的整数解。例3.求不定方程的整数解.解：因为（3，7，16）=140，所以原不定方程存在整数解.设,通过观察我们找到方程的一个特解,；所以 不定方程的通解为 将代入原方程，得到了一个新的二元一次不定方程,通过观察我们可找到它的一个特解,所以这个不定方程的通解为 将、代入原方程即可得到原方程的通解 上面的三元一次不定方程是采用代换的思想，将它转化为两个二元一次不定方程，然后将它代入原方程最后得到了它的解。

10、我们可以想想假如是五元或者更高，那这种方法的计算量是不小的，可以尝试用代数中矩阵解决此问题。（1）矩阵法：设元一次不定方程： (其中为整数,)构造一个的矩阵AA=对A只能实行如下三种初等变换： 交换两行； 用-1乘以矩阵的某一行； 用某一整数乘矩阵的某一行加到另一行.矩阵经过上面的初等变换变为BB=假若dc,则该n元一次不定方程有整数解（否则就没有整数解）,它的通解为： 例4试用矩阵来求解不定方程的整数解.解：首先我们构造一个矩阵AA=然后将A进行允许的三种初等变换可以得到BA=B=又因为140，所以原不定方程有整数解，它的解为 我们可以将、进行比较，其实是、可以转换为，因此采用上面两种解法的

11、求解的解是相同的，显然采用第二种解法更适合于求多元元一次不定方程。（可以考虑给个5元方程的例子）1.2.3 不定方程组不定方程组是指未知数的个数多于方程个数的方程组。本文对于解不定方程组主要采用两条途径，第一条途径是通过消元的方法将它化成一个不定方程，然后根据所含的元的数量来合理选择方法来求它的整数解；第二途径是运用代数中矩阵求解线性方程的方法来求解的。显然第二种途径运的范围仅局限在解一次不定方程，第一种途径的运用的范围要比第二种途径广。本文不作进一步讨论第2章 数学竞赛中的不定方程我国对不定方程的研究已有悠久的历史，据史料记载，早在公元5世纪前，孙子定理、张丘建算经等古书就记载了此类问题。不

12、定方程内涵丰富，解法灵活，综合性强；目前，不定方程的正整数解是中小学数学奥赛中重要内容，谋取其不定方程整数解的题目是小学数学奥赛中的热门试题之一。解答的思路是变“方程不足”为“足够”或“分类讨论”。涉及的不定方程的解法的技巧性较强。下面通过数学奥赛例题求解对不定方程的实际应用进行讨论，其主要涉及求解不定方程(组)的几种常用方法,主要方法是枚举法、整数分离法、同余式法、奇偶分析法以及几种方法的综合运用。2.1二元一次不定方程的应用 例5小张带了5角钱去买橡皮和铅笔，橡皮每块3分，铅笔每支1角1分，问5角钱刚好买几块橡皮和几支铅笔？（枚举法、整数分离法）解析：设小张买了块橡皮，支铅笔，于是根据题意

13、可得到方程这是一个二元一次不定方程从方程来看，任给一个值，就可以得到一个值，所以它的解有无数多组。由于这个问题要求的是买橡皮的块数和铅笔的支数，而橡皮的块数与铅笔的支数只能是正整数或零，所以从这个问题的要求来说，我们只要求这个方程的非负整数解。因为铅笔每支1角1分，所以5角钱最多只能买到4支铅笔，因此，小张买铅笔的支数只能是0，1，2，3，4支，即的取值只能是0，1，2，3，4这五个值若，则，符合题意；若，则，不是整数，不合题意；若，则，不是整数，不合题意；若，则，符合题意；所以，这个方程有两组正整数解，即5角钱刚好能买2块橡皮与4支铅笔，或者13块橡皮与1支铅笔。关于橡皮与铅笔的例子，我们是用逐个检验的方法来求它们的非负整数解的，但是这种方法在给出的数目比较大的问题或者方程有无数组解的时候就会遇到漏解等一系列的麻烦。那么能不能找到一个有效而又方便的方法来求解呢？ 下面尝试采用