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1、例谈充要条件的证明问题 你的首选资源互助社区 例谈充要条件的证明问题 充要条件是本章的一个重要内容，也是高考及其他考试的一个热点。证明p是q的充要条件，即要证明命题“pq”为真，又要证明命题“qp”为真，前者证明的是充分性，后者证明的是必要性。以下两例，供参考。 naS=aq+b(a0，qn 例1 已知数列n的前项和为n是不等于0和1的常数），求证数列an为等比数列的充要条件是a+b=0。 分析：证明充分性就是证明条件能推出结论，证明必要性则是证明结论能推出条件。 证明：先证充分性。 a+b=0， nnS=aq+b=aq-a。 nn-1nn-1=a(q-1)q(n1)， a=S-Snnn-1
2、=(aq-a)-(aq-a)an+1a(q-1)qna=a(q-1)qn-1n=q(n1)， 又a1=aq-a，a2=aq2-aq， a2aq2-aqa=aq-a=q。 1 故数列an是公比为q的等比数列。 再证必要性 你的首选资源互助社区 数列an为等比数列， a1(1-qn)a1a1nSn=1-q=1-q-1-qq。 Sn=aq+b， a1a1a=-1-q，b=1-q。 na+b=0。 综上所述，数列an为等比数列的充要条件是a+b=0。 评注：证明充要条件，首先要找到条件和结论，如本题“证明数列an为等比数列的充要条件是a+b=0”说的很明白，条件是a+b=0，结论是数列an为等比数列
3、。充分性和必要性要逐一证明，并有必要的文字说明。 例2 已知ab0，求证：a+b=1的充要条件是a+b+ab-a-b=0。 3322 你的首选资源互助社区 分析：本题中ab0是大前提，证明充要条件，即证明既是充分条件又是必要条件，必须证明必要性与充分性都成立。 证明：先证必要性：a+b=1，即b=1-a， a3+b3+ab-a2-b2=a3+(1-a)3+a(1-a)-a2-(1-a)2 =a3+1-3a+3a2-a3+a-a2-a2-1+2a-a2=0， 必要性成立。 3322a+b+ab-a-b=0， 再证充分性： 即(a+b)(a2-ab+b2)-(a2-ab+b2)=0， 22(a+
4、b-1)(a-ab+b)=0。 又ab0，a0且b0，从而a2-ab+b20， a+b-1=0，即a+b=1， 充分性也成立。 故ab0时，a+b=1的充要条件是a3+b3+ab-a2-b2=0。 评注：证明充要条件时，要分清充分性是证明怎样的一个式子成立，必要性又是证明怎样的一个式子成立。 22x+(2k-1)x+k=0，求使方程有例3 已知方程两个大于1的根的充要条件。 分析：求充要条件，则推理的各步应是可逆的， 你的首选资源互助社区 D0是有实根的充要条件。 解析：设方程的两根为x1、x2，使x1、x2都大于1的充要条件是 (2k-1)2-4k20k1(x1-1)+(x2-1)0，即(x1+x2)-20xx-(x+x)+10。 (x-1)(x-1)01221211k4-(2k-1)-20由韦达定理得k2+(2k-1)+10，解得k-2。 故所求的充要条件为k1，x21x1+x22，x1x21”，但反过/x11，x21”来，“x1+x22，x1x21，例如取x1=1，x2=3有x1+x22，且x1x21，但没有保证两个根都大于D0x1+x221，仅是两根都大于x1x211的必要条件，而不是充分条件。
