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1、函数复习主要知识点一、函数的概念与表示1、映射(1)映射：设A、B是两个集合，如果按照某种映射法则 f，对于集合A中的任一个元素，在集合 B中都 有唯一的元素和它对应，则这样的对应(包括集合 A、B以及A到B的对应法则f)叫做集合A到集合B的映 射，记作f : A t Bo注意点：(1)对映射定义的理解。(2)判断一个对应是映射的方法。一对多不是映射，多对一是映射2、函数构成函数概念的三要素定义域对应法则值域二、函数的解析式与定义域1、求函数定义域的主要依据：(1)分式的分母不为零；(2 )偶次方根的被开方数不小于零，零取零次方没有意义;(3)指数函数的底数必须大于零且不等于1;1.函数yx2
2、 3x 4的定义域为2求函数定义域的两个难点问题(1) 已知f(x)的定义域是-2,5, 求f(2x+3)的定义域。(2) 已知f(2x-1)的定义域是-1,3,求f( x)的定义域1例2设f (x) (x 1)2，则f (2x)的定义域为 变式练习：f(2 x) , 4 x2，求f(.x)的定义域。三、函数的值域1求函数值域的方法 直接法：从自变量 x的范围出发，推出y=f(x)的取值范围，适合于简单的复合函数； 换元法：利用换元法将函数转化为二次函数求值域，适合根式内外皆为一次式； 判别式法：运用方程思想，依据二次方程有根，求出y的取值范围；适合分母为二次且x R的分式; 分离常数：适合分
3、子分母皆为一次式(x有范围限制时要画图); 单调性法：利用函数的单调性求值域； 图象法：二次函数必画草图求其值域； 利用对勾函数 几何意义法：由数形结合，转化距离等求值域。主要是含绝对值函数1.1(直接法)y _2x 2x 32.f (x)224 2x x23.(换元法)4.(法)3x2x5.2xy 2 4x 16.(分离常数法)3x 1 y 2x 1(2 x 4)7.（单调性）y x 3 （x 1,3）2x8.y，y . x 1. x 1(结合分子/分母有理化的数学方法)Vxl Vxl29.（图象法）y 3 2x x （ 1 x 2）10.（对勾函数）y 2x -（x4）x11.（几何意义）
4、y |x 2|x 1四. 函数的奇偶性1 .定义：设y=f(x) , x A，如果对于任意x A，都有f ( x) f (x)，则称y=f(x)为偶函数。如果对于任意x A，都有f ( X) f (x)，则称y=f(x)为奇函数。2性质： y=f(x)是偶函数y=f(x)的图象关于y轴对称， y=f(x)是奇函数y=f(x)的图象关于原点对称， 若函数f(x)的定义域关于原点对称，则f(0)=0 奇奇=奇 偶偶=偶 奇简=偶偶河禺=偶奇 偶=奇两函数的定义域D1 , D2, D1QD2要关于原点对称3奇偶性的判断看定义域是否关于原点对称看f(x)与f(-x)的关系1已知函数f (x)是定义在(
5、，)上的偶函数当x (, 0)时，f (x) x x4，则当x (0,)时，f(x) #2已知定义域为R的函数2x bf(x) 2, b是奇函数。2 a(I)求a, b的值;(n)若对任意的t R,不等式 f(t22t) f (2t2k) 0恒成立，求k的取值范围;3 已知 f(x)在(一1, 1)上有定义，且满足 x, y (“)有f(x) f(y)f(f证明：f (x)在(一1,1)上为奇函数;f(x) f(2)，则 f(5)4 若奇函数 f (x)(x R)满足 f (2)1 , f (x 2)五、函数的单调性1、函数单调性的定义:2设y f g x是定义在M上的函数，若f(x)与g(x
6、)的单调性相反，则y f g x在M上是减函数；若f(x) 与g(x)的单调性相同，贝U y f g x在m上是增函数。1判断函数f(x)x3(x R)的单调性。(6 x 2x2)12函数y _的单调增区间是2(3a 1)x 4a, x 13(高考真题)已知f(x)x是(，)上的减函数，那么a的取值范围是a ,x 1( )1 1 11(A) (0,1)( B) (0, )( C)( D) ,1)36 36六二次函数(涉及二次函数问题必画图分析)1.二次函数f(x)=ax2+bx+c(a丰0)的图象是一条抛物线，对称轴2 二次函数与一元二次方程关系b，顶点坐标2ab2a24 ac b4a兀二次方
7、程ax bx c 0(a0)的根为二次函数f(x)=ax 2+bx+c(a丰0) y0的x的取值。元二次不等式ax2bx c 0( 0)的解集(a0)二次函数情况一兀二次不等式解集2Y=ax +bx+c (a0) =b2-4acax2+bx+c0(a0)ax2+bx+c0)图 象 与 解 0xx x1或 x x2x 捲 x x2K =0XXxy3 x 1)y=ax(0a1)定义域(-OO，+ OO )值域(0,+ O )过定点(0,1)图象y=aoal)单调性在(-O，+ O )上为增函数在(-O，+ O )上为减函数值分布X0 时 0y0 时，y1,x=0,y=1X1,x0 时，0y1,x=
8、0,y=12比较两个幕值的大小，是一类易错题，解决这类问题，首先要分清底数相同还是指数相同，如果底数相同，可利用指数函数的单调性；指数相同，可以利用指数函数的底数与图象关系(对数式比较大小同理) 记住下列特殊值为底数的函数图象：2、研究指数函数问题，尽量化为同底，并注意对数问题中的定义域限制3、 指数函数中的绝大部分问题是指数函数与其他函数的复合问题，讨论复合函数的单调性是解决问题 的重要途径。1、( 1) y J2X21的定义域为；J5 3xi(2)(3)y2x 3的值域为2y2( x x)的递增区间为7，值域为2、(1)1 x12 0,则 x423、要使函数y12x 4xa 在 x,1上y
9、 0恒成立。求a的取值范围十函数的图象变换yf(x)x轴yf(x)yf(x)y轴原点yf (x)yf(x)yf:(x)yf(x)y xyf1 (x)y轴右边不变，左边为右边部分的对称图保留x轴上方图，将x轴下方图上翻yf (x)yf (x)y f ( x) y If (x)(1)1、平移变换：(左+ 右-,上+下-)即yf(x)h 0 ,右移；h 0 ,左移yf(xh)f(x)k 0 ,下移；k 0 ,上移f(x)kyy 对称变换：(对称谁，谁不变，对称原点都要变)1. f(x)的图象过点(0,1)，则f(4-x)的图象过点()A.(3,0)B.(0,3)C.(4,1)D.(1,4)2 作出下列函数的简图:(1) y=x2 3|X 4;(2) y=|2x-1| ；(3) y=2|x|;十函数的其他性质1.函数的单调性通常也可以以下列形式表达:f(Xi) f(X2)X-I x2单调递增f (Xi) f (X2)单调递减XiX22 .函数的奇偶性也可以通过下面方法证明:f (x) f( x) 0奇函数f (x) f( x) 0偶函数3 抽象函数的模型：(1) f(x y) f(x) f(y) y kx(2) f (x y) f(x)f(y) y ax
