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1、向量法求空间角ABCDPQ1（本小题满分10分）在如图所示的多面体中，四边形为正方形，四边形是直角梯形，平面，（1）求证：平面；（2）求平面与平面所成的锐二面角的大小2（满分13分）如图所示，正四棱锥PABCD中，O为底面正方形的中心，侧棱PA与底面ABCD所成的角的正切值为DBACOEP（1）求侧面PAD与底面ABCD所成的二面角的大小；（2）若E是PB的中点，求异面直线PD与AE所成角的正切值；（3）问在棱AD上是否存在一点F，使EF侧面PBC，若存在，试确定点F的位置；若不存在，说明理由3（本小题只理科做，满分14分）如图,已知平面,是正三角形,且是的中点.（1）求证:平面;（2）求证:
2、平面平面;（3）求平面与平面所成锐二面角的大小.4（本小题满分12分）如图，在四棱锥中,底面,且底面为正方形,分别为的中点（1）求证:平面;（2）求平面和平面的夹角.5如图，在直三棱柱中，平面 侧面且.（）求证：； （）若直线AC与平面所成的角为,求锐二面角的大小.6如图，四边形是正方形，平面， 分别为，的中点（1）求证：平面；（2）求平面与平面所成锐二面角的大小.试卷第1页，总3页参考答案1（1）详见解析；（2）【解析】试题分析：（1）根据题中所给图形的特征，不难想到建立空间直角坐标，由已知，两两垂直，可以为原点，、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系表示出图中各点的坐标：设，则，则可
3、表示出，根据数量积为零与垂直的充要条件进行证明，由，故，即可证明；（2）首先求出两个平面的法向量，其中由于平面，所以可取平面的一个法向量为；设平面的一个法向量为，则，故即取，则，故，转化为两个法向量的夹角，设与的夹角为，则即可求出平面与平面所成的锐二面角的大小.试题解析：（1）由已知，两两垂直，可以为原点，、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系 设，则，故，因为，故，即， 又 所以，平面 （2）因为平面，所以可取平面的一个法向量 为， 点的坐标为，则， 设平面的一个法向量为，则，故即取，则，故设与的夹角为，则所以，平面与平面所成的锐二面角的大小为考点：1.空间向量的应用；2.二面角的计算
4、；3.直线与平面的位置关系2（1）; （2）; （3）F是AD的4等分点，靠近A点的位置.【解析】试题分析：（1）取AD中点M，连接MO，PM，由正四棱锥的性质知PMO为所求二面角PADO的平面角，PAO为侧棱PA与底面ABCD所成的角tanPAO，设ABa，则AOa，POa，MO=, tanPMO,PMO60; （2）依题意连结AE，OE，则OEPD ，故OEA为异面直线PD与AE所成的角，由正四棱锥的性质易证OA平面POB,故为直角三角形，OEPDa tanAEO；（3）延长MO交BC于N，取PN中点G，连BG，EG，MG，易得BC平面PMN，故平面PMN平面PBC，而PMN为正三角形，易
5、证MG平面PBC，取MA的中点F,连EF,则四边形MFEG为平行四边形，从而MG/FE,EF平面PBC, F是AD的4等分点，靠近A点的位置.MDBACOEP试题解析：（1）取AD中点M，连接MO，PM，依条件可知ADMO，ADPO，则PMO为所求二面角PADO的平面角 （2分）PO面ABCD，PAO为侧棱PA与底面ABCD所成的角tanPAO设ABa，AOa， POAOtanPOAa，tanPMOPMO60 （4分）MDBACOEP（2）连接AE，OE， OEPD，OEA为异面直线PD与AE所成的角 （6分）AOBD，AOPO，AO平面PBD又OE平面PBD， AOOEOEPDa，tanAE
6、O （8分）（3）延长MO交BC于N，取PN中点G，连BG，EG，MGMDBACO EP N G F BCMN，BCPN，BC平面PMN平面PMN平面PBC （10分）又PMPN，PMN60，PMN为正三角形MGPN又平面PMN 平面PBCPN，MG平面PBC （12分）F是AD的4等分点，靠近A点的位置 （13分）考点：立体几何的综合问题3（1）见解析；（2）见解析；（3）.【解析】试题分析：（1）取CE中点P，连接FP、BP，根据中位线定理可知FP|DE，且且FP=，而AB|DE，且AB=则ABPF为平行四边形，则AF|BP，AF平面BCE，BP平面BCE，满足线面平行的判定定理，从而证得
7、结论；（2）根据AB平面ACD，DE|AB，则DE平面ACD，又AF平面ACD，根据线面垂直的性质可知，满足线面垂直的判定定理，证得AF平面CDE，又BP|AF，则BP平面CDE，BP平面BCE，根据面面垂直的判定定理可证得结论；（3）由（2），以F为坐标原点，FA，FD，FP所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系Fxyz设AC=2，根据线面垂直求出平面BCE的法向量n，而m=（0，0，1）为平面ACD的法向量，设平面BCE与平面ACD所成锐二面角为，根据可求出所求试题解析：（1）解:取CE中点P,连结FP、BP, F为CD的中点,FP|DE,且FP= 又AB|DE,且AB=AB|FP
8、,且AB=FP, ABPF为平行四边形,AF|BP 又平面BCE,BP平面BCE, AF|平面BCE （2）ACD为正三角形,. AB平面ACD,DE|AB, DE平面ACD,又AF平面ACD, DEAF.又AFCD,CDDE=D, AF平面CDE 又BP|AF,BP平面CDE.又BP平面BCE, 平面BCE平面CDE （3）法一、由（2）,以F为坐标原点, FA,FD,FP所在的直线分别为x,y,z轴（如图）, 建立空间直角坐标系Fxyz.设AC=2, 则C（0,1,0）, 设为平面BCE的法向量， ，令n=1,则 显然,为平面ACD的法向量. 设面BCE与面ACD所成锐二面角为 则. 即平
9、面BCE与平面ACD所成锐二面角为 法二、延长EB、DA,设EB、DA交于一点O,连结CO. 则面面. 由AB是的中位线,则. 在中, . ,又. 面而CE面ECD, 在中， 即平面BCE与平面ACD所成锐二面角为. 考点：与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定4证明见解析【解析】试题分析：（1）利用已知的线面垂直关系建立空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而将几何证明转化为向量运算.其中灵活建系是解题的关键.（2）证明线面平行，需证线线平行，只需要证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；（3）把向量夹角的余弦值转化为两平面法向量夹角的余弦值;（4）空间向量
10、将空间位置关系转化为向量运算，应用的核心是要充分认识形体特征，建立恰当的坐标系，实施几何问题代数化.同时注意两点：一是正确写出点、向量的坐标，准确运算；二是空间位置关系中判定定理与性质定理条件要完备.试题解析：（1）如图，以为原点,以为方向向量建立空间直角坐标系则. 设平面的法向量为即 令则. 又平面平面 （2）底面是正方形,又平面 又,平面向量是平面的一个法向量,又由（1）知平面的法向量. 二面角的平面角为. 考点：（1）证明直线与平面平行；（2）利用空间向量解决二面角问题.5（）详见解析;（）.【解析】试题分析：（）取 的中点D，连接AD，由已知条件推导出AD平面，从而，由线面垂直得由此能
11、证明（）方法一：连接CD，由已知条件得即为直线与平面所成的角，即为二面角的一个平面角，由此能求出二面角的大小解法二（向量法）：由（1）知且，所以以点为原点，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，设，则， ，求出平面的一个法向量，设直线与平面所成的角为，则得，解得，即，求出平面的一个法向量为，设锐二面角的大小为，则，且， 即可求出锐二面角的大小.试题解析：解（1）证明：如图，取的中点，连接，因，则 由平面侧面，且平面侧面， 得，又平面， 所以. 因为三棱柱是直三棱柱，则，所以. 又，从而侧面 ，又侧面，故. -6分解法一：连接，由（1）可知，则是在内的射影 即为直线与所成的角，则 在等腰直角中，
12、且点是中点， ，且， 过点A作于点，连，由（1）知，则，且 即为二面角的一个平面角且直角中：，又， ，且二面角为锐二面角 ，即二面角的大小为 -12分 解法二（向量法）：由（1）知且，所以以点为原点，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示，且设，则， 设平面的一个法向量，由， 得： 令 ，得 ，则设直线与所成的角为，则得，解得，即 又设平面的一个法向量为，同理可得，设锐二面角的大小为，则，且，得 锐二面角的大小为.考点：1.用空间向量求平面间的夹角；2.空间中直线与直线之间的位置关系6（1）证明见解析；（2）【解析】试题分析：（1）利用已知的线面垂直关系建立空间直角坐标系，准确写出相关
13、点的坐标，从而将几何证明转化为向量运算.其中灵活建系是解题的关键.（2）证明证线线垂直，只需要证明直线的方向向量垂直；（3）把向量夹角的余弦值转化为两平面法向量夹角的余弦值;（4）空间向量将空间位置关系转化为向量运算，应用的核心是要充分认识形体特征，建立恰当的坐标系，实施几何问题代数化.同时注意两点：一是正确写出点、向量的坐标，准确运算；二是空间位置关系中判定定理与性质定理条件要完备.试题解析：（1）证明：,分别为，的中点，.又平面，平面，平面. （2）解:平面，平面平面，. 四边形是正方形，.以为原点,分别以直线为轴, 轴,轴建立如图所示的空间直角坐标系，设 ,，, ,.， 分别为，的中点，, （解法一）设为平面的一个法向量，则,即，令，得. 设为平面的一个法向量,则,即，令，得. 所以=. 所以平面与平面所成锐二面角的大小为（或）（解法二），,是平面一个法向量. ，,是平面平面一个法向量.
