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1、word椭圆问题中最值得关注的基此题型题型分析高考展望椭圆问题在高考中占有比拟重要的地位，并且占的分值也较多.分析历年的高考试题，在填空题、解答题中都涉与到椭圆的题，所以我们对椭圆知识必须系统的掌握.对各种题型，根本的解题方法也要有一定的了解.常考题型精析题型一利用椭圆的几何性质解题例1如图，焦点在x轴上的椭圆1的离心率e，F，A分别是椭圆的一个焦点和顶点，P是椭圆上任意一点，求的最大值和最小值.点评熟练掌握椭圆的几何性质是解决此类问题的根本，利用离心率和椭圆的围可以求解围问题、最值问题，利用a、b、c之间的关系和椭圆的对称性可构造方程.变式训练1(2014课标全国)点A(0，2)，椭圆E：1
2、(ab0)的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点.(1)求E的方程；(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点，当OPQ的面积最大时，求l的方程.题型二直线与椭圆相交问题例2(2015)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：1(ab0)的离心率为，左，右焦点分别是F1，F2.以F1为圆心、以3为半径的圆与以F2为圆心、以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C上.(1)求椭圆C的方程；(2)设椭圆E：1，P为椭圆C上任意一点，过点P的直线ykxm交椭圆E于A，B两点，射线PO交椭圆E于点Q.()求的值；()求ABQ面积的最大值.点评解决直线与椭圆相交问题的一般思路：将直线方程与椭
3、圆方程联立，转化为一元二次方程，由判别式围或根与系数的关系解决.求围或最值问题，也可考虑求“交点，由“交点在椭圆(外)，得出不等式，解不等式.变式训练2(2014)椭圆C：1 (ab0)的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形.(1)求椭圆C的标准方程；(2)设F为椭圆C的左焦点，T为直线x3上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q.证明OT平分线段PQ(其中O为坐标原点)；当最小时，求点T的坐标.题型三利用“点差法，设而不求思想解题例3椭圆y21，求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程.点评当涉与平行弦的中点轨迹，过定点的弦的中点轨迹，过定点且被定点平分的弦所在直线方程时，用
4、“点差法来求解.变式训练3(2015模拟)椭圆1(ab0)的一个顶点为B(0,4)，离心率e，直线l交椭圆于M，N两点.(1)假如直线l的方程为yx4，求弦MN的长.(2)如果BMN的重心恰好为椭圆的右焦点F，求直线l方程的一般式.高考题型精练1.(2015课标全国改编)椭圆E的中心在坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线C：y28x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个交点，如此AB_.2.(2014大纲全国改编)椭圆C：1(ab0)的左、右焦点分别为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、BAF1B的周长为4，如此C的方程为_.3.(2014改编)设P，Q分别为圆x2(y6)22和椭
5、圆y21上的点，如此P，Q两点间的最大距离是_.F1，F2，离心率分别为e1，e2，P是两曲线的一个公共点，且满足PF1PF2，如此的值为_.C：1 (ab0)的两个焦点为F1，F2，M为椭圆上一点，且的最大值的取值围是c2,2c2，其中c是椭圆的半焦距，如此椭圆的离心率取值围是_.6.(2014)椭圆C：1，点M与CM关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，如此ANBN_.7.(2014)过点M(1,1)作斜率为的直线与椭圆C：1(ab0)相交于A，B两点，假如M是线段AB的中点，如此椭圆C的离心率等于_.8.(2014)设F1，F2分别是椭圆E：x21(0bb0)的左，右焦
6、点，顶点B的坐标为(0，b)，连接BF2并延长交椭圆于点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C，连结F1C.(1)假如点C的坐标为，且BF2，求椭圆的方程；(2)假如F1CAB，求椭圆离心率e的值.10.(2015)如图，椭圆1(ab0)的左，右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交椭圆于P、Q两点，且PQPF1.(1)假如PF12，PF22，求椭圆的标准方程；(2)假如PF1PQ，求椭圆的离心率e.11.(2015)椭圆E：1(ab0)的半焦距为c，原点O到经过两点(c,0)，(0，b)的直线的距离为c.(1)求椭圆E的离心率；(2)如图，AB是圆M：(x2)2(y1)2的一条直径，假如椭圆E
7、经过A，B两点，求椭圆E的方程.12.(2015模拟)椭圆G：1(ab0)的离心率为，右焦点为(2，0).斜率为1的直线l与椭圆G交于A，B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P(3,2).(1)求椭圆G的方程；(2)求PAB的面积.答案精析第29练椭圆问题中最值得关注的基此题型常考题型典例剖析例1解设P点坐标为(x0，y0).由题意知a2，e，c1，b2a2c23.所求椭圆方程为1.2x02，y0.又F(1,0)，A(2,0)，(1x0，y0)，(2x0，y0)，xx02yxx01(x02)2.当x02时，取得最小值0，当x02时，取得最大值4.变式训练1解(1)设F(c,0)，由条件知，
8、得c.又，所以a2，b2a2c21.故E的方程为y21.(2)当lx轴时不合题意，故设l：ykx2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，将ykx2代入y21得(14k2)x216kx120.当16(4k23)0，即k2时，x1,2.从而PQ|x1x2|.又点O到直线PQ的距离d，所以OPQ的面积SOPQdPQ.设t，如此t0，SOPQ.因为t4，当且仅当t2，即k时等号成立，且满足0，所以，当OPQ的面积最大时l的方程为yx2或yx2.例2解(1)由题意知2a4，如此a2，又，a2c2b2，可得b1，所以椭圆C的方程为y21.(2)由(1)知椭圆E的方程为1.()设P(x0，y0)，由题意知Q
9、(x0，y0).因为y1，又1，即1，所以2，即2.()设A(x1，y1)，B(x2，y2).将ykxm代入椭圆E的方程，可得(14k2)x28kmx4m2160，由0，可得m2416k2，如此有x1x2，x1x2.所以|x1x2|.因为直线ykxm与y轴交点的坐标为(0，m)，所以OAB的面积S|m|x1x2|2.设t，将ykxm代入椭圆C的方程，可得(14k2)x28kmx4m240，由0，可得m214k2.由可知0t1，因此S22，故S2，当且仅当t1，即m214k2时取得最大值2.由()知，ABQ面积为3S，所以ABQ面积的最大值为6.变式训练2(1)解由可得解得a26，b22，所以椭
10、圆C的标准方程是1.(2)证明由(1)可得F的坐标是(2,0)，设T点的坐标为(3，m)，如此直线TF的斜率kTFm.当m0时，直线PQ的斜率kPQ，直线PQ的方程是xmy2.当m0时，直线PQ的方程是x2，也符合xmy2的形式.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，将直线PQ的方程与椭圆C的方程联立，得消去x，得(m23)y24my20，其判别式16m28(m23)0，所以y1y2，y1y2，x1x2m(y1y2)4.所以PQ的中点M的坐标为(，).所以直线OM的斜率kOM.又直线OT的斜率kOT，所以点M在直线OT上，因此OT平分线段PQ.解由可得TF，PQ .所以 .当且仅当m21，即m
11、1时，等号成立，此时取得最小值.所以当最小时，T点的坐标是(3,1)或(3，1).例3解设弦的两端点分别为M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中点为R(x，y)，如此x2y2，x2y2，两式相减并整理可得，将2代入式，得所求的轨迹方程为x4y0(x0)，与椭圆方程y21联立得方程组，消掉x2得9y212yr2460.令12249(r246)0，解得r250，即r5.由题意易知P，Q两点间的最大距离为r6.解析由题意设焦距为2c，椭圆的长轴长为2a，双曲线的实轴长为2m，不妨令P在双曲线的右支上.由双曲线的定义知|PF1|PF2|2m，由椭圆的定义知|PF1|PF2|2a，又PF1PF2，F1PF290，|PF1|2|PF2|24c2，式的平方加上式的平方得|PF1|2|PF2|22a22m2，由得a2m22c2，即2，2.5.解析设M
