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1、高考数学试题库用参考答案1.(2012北京,18,13分)已知函数f(x)=ax2+1(a0),g(x)=x3+bx. (1)若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线,求a,b的值;(2)当a2=4b时,求函数f(x)+g(x)的单调区间,并求其在区间(-,-1上的最大值. 2.(2012安徽,19,13分)设函数f(x)=aex+b(a0). (1)求f(x)在0,+)内的最小值;(2)设曲线y=f(x)在点(2, f(2)处的切线方程为y=x,求a,b的值. 3.(2012重庆,16,13分)设f(x)=aln x+x+1,其中aR,曲线y=f(x)在点(1
2、, f(1)处的切线垂直于y轴. (1)求a的值;(2)求函数f(x)的极值. 4. (2012大纲全国,20,12分)设函数f(x)=ax+cos x,x0,. (1)讨论f(x)的单调性;(2)设f(x)1+sin x,求a的取值范围. 5.(2012湖北,17,12分)已知向量a=(cos x-sin x,sin x),b=(-cos x-sin x,2cos x),设函数f(x)=ab+(xR)的图象关于直线x=对称,其中,为常数,且. （1）求函数f(x)的最小正周期（2）若y=f(x)的图像经过点，求函数f(x)在区间上的取值范围6.(2012湖北,18,12分)已知等差数列an前
3、三项的和为-3,前三项的积为8. (1)求等差数列an的通项公式;(2)若a2,a3,a1成等比数列,求数列|an|的前n项和. 8.(2012河北高三模拟，21，12分)设函数f(x)=x4+bx2+cx+d,当x=t1时, f(x)有极小值. (1)若b=-6时,函数f(x)有极大值,求实数c的取值范围;(2)在(1)的条件下,若存在实数c,使函数f(x)在闭区间m-2,m+2上单调递增,求实数m的取值范围;(3)若函数f(x)只有一个极值点,且存在t2(t1,t1+1),使f (t2)=0,证明:函数g(x)=f(x)-x2+t1x在区间(t1,t2)内最多有一个零点. 9. (2012
4、沈阳高三模拟，21,12分)已知椭圆+=1(ab0)与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点,原点O到直线AB的距离为,该椭圆的离心率为. ()求椭圆的方程;()是否存在过点P的直线l与椭圆交于M,N两个不同的点,使=4成立?若存在,求出l的方程;若不存在,说明理由. 10.(2013高考仿真试题一，20,12分)已知抛物线y2=2px(p0)的焦点为F,过点F作直线l与抛物线交于A,B两点,抛物线的准线与x轴交于点C. (1)证明:ACF=BCF;(2)求ACB的最大值,并求ACB取得最大值时线段AB的长. 11.(2013高考仿真试题二，20，12分)已知中心在原点O,焦点在x轴上,离心率为
5、的椭圆过点. (1)求椭圆的方程;(2)设不过原点O的直线l与该椭圆交于P,Q两点,满足直线OP,PQ,OQ的斜率依次成等比数列,求OPQ面积的取值范围. 12.(2013高考仿真试题三，20,12分)已知圆x2+y2=1过椭圆+=1(ab0)的两焦点,与椭圆有且仅有两个公共点,直线y=kx+m与圆x2+y2=1相切,与椭圆+=1相交于A,B两点. 记=,且. (1)求椭圆的方程;(2)求k的取值范围;(3)求OAB的面积S的取值范围. 13. (2013高考仿真试题五，21,12分)已知函数f(x)=aln x+x2-(1+a)x,其中aR. (1)求函数f(x)的单调区间;(2)若f(x)
6、0对定义域内的任意x恒成立,求实数a的取值范围;(3)证明:对于任意正整数m,n,不等式+恒成立. 14.(2012浙江绍兴一中高三十月月考,20,10分）已知,其中(e是自然常数）.（）求的单调性和极小值；（）求证：在上单调递增；（）求证： .15. (2012江西省临川一中、师大附中联考，20,13分）已知函数，aR（1）若a4，求函数f(x)的单调区间；（2）求yf(x)的极值点（即函数取到极值时点的横坐标）16. (2012北京海淀区高三11月月考，19,14分）已知函数（）若在处取得极大值，求实数的值；（）若，直线都不是曲线的切线，求的取值范围；（）若，求在区间上的最大值17.(20
7、12湖北省黄冈中学高三11月月考，21,14分）已知函数在上为增函数，且，（1）求的值；（2）当时，求函数的单调区间和极值；（3）若在上至少存在一个，使得成立，求的取值范围18.（2013湖北黄冈市高三三月质量检测，22,14分）设.（）若对一切恒成立，求的最大值.（）设，且是曲线上任意两点，若对任意的，直线AB的斜率恒大于常数，求的取值范围；（）求证：.答案理数1.(1)f (x)=2ax,g(x)=3x2+b. 因为曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线,所以f(1)=g(1),且f (1)=g(1). 即a+1=1+b,且2a=3+b. 解得a=3,b=3
8、. (2)记h(x)=f(x)+g(x). 当b=a2时,h(x)=x3+ax2+a2x+1,h(x)=3x2+2ax+a2. 令h(x)=0,得x1=-,x2=-. a0时,h(x)与h(x)的情况如下:x-,-,-,+h(x)+0-0+h(x)所以函数h(x)的单调递增区间为和;单调递减区间为. 当-1,即0a2时,函数h(x)在区间(-,-1上单调递增,h(x)在区间(-,-1上的最大值为h(-1)=a-a2. 当-1,且-1,即2a6时,函数h(x)在区间内单调递增,在区间上单调递减,h(x)在区间(-,-1上的最大值为h=1. 当-6时,函数h(x)在区间内单调递增,在区间内单调递减
9、,在区间上单调递增. 又因h-h(-1)=1-a+a2=(a-2)20,所以h(x)在区间(-,-1上的最大值为h=1. 2.(1)f (x)=aex-,当f (x)0,即x-ln a时, f(x)在(-ln a,+)上递增;当f (x)0,即x-ln a时, f(x)在(-,-ln a)上递减. (i)当0a0, f(x)在(0,-ln a)上递减,在(-ln a,+)上递增,从而f(x)在0,+)上的最小值为f(-ln a)=2+b;(ii)当a1时,-ln a0, f(x)在0,+)上递增,从而f(x)在0,+)上的最小值为f(0)=a+b. (2)依题意f (2)=ae2-=,解得ae
10、2=2或ae2=-(舍去). 所以a=,代入原函数可得2+b=3,即b=. 故a=,b=. 3.(1)因f(x)=aln x+x+1,故f (x)=-+. 由于曲线y=f(x)在点(1, f(1)处的切线垂直于y轴,故该切线斜率为0,即f (1)=0,从而a-+=0,解得a=-1. (2)由(1)知f(x)=-ln x+x+1(x0),f (x)=-+=. 令f (x)=0,解得x1=1,x2=-因x2=-不在定义域内,舍去. 当x(0,1)时, f (x)0,故f(x)在(1,+)上为增函数. 故f(x)在x=1处取得极小值f(1)=3. 4.(1)f (x)=a-sin x. (2分)(i
11、)当a1时,f (x)0,且仅当a=1,x=时, f (x)=0,所以f(x)在0,上是增函数;(ii)当a0时, f (x)0,且仅当a=0,x=0或x=时, f (x)=0,所以f(x)在0,上是减函数;(iii)当0a1时,由f (x)=0解得x1=arcsin a,x2=-arcsin a. 当x0,x1)时,sin x0, f(x)是增函数;当x(x1,x2)时,sin xa, f (x)0, f(x)是减函数;当x(x2,时,sin x0, f(x)是增函数. (6分)(2)由f(x)1+sin x得f()1,a-11,所以a. 令g(x)=sin x-x,则g(x)=cos x-
12、. 当x时,g(x)0,当x时,g(x)0. 又g(0)=g=0,所以g(x)0,即xsin x. (9分)当a时,有f(x)x+cos x. (i)当0x时,xsin x,cos x1,所以f(x)1+sin x;(ii)当x时, f(x)x+cos x=1+-sin1+sin x. 综上,a的取值范围是. (12分)5. (1)因为f(x)=sin2x-cos2x+2sin xcos x+=-cos 2x+sin 2x+=2sin+. 由直线x=是y=f(x)图象的一条对称轴,可得sin=1,所以2-=k+(kZ),即=+(kZ). 又,kZ,所以k=1,故=. 所以f(x)的最小正周期是
13、. (2)由y=f(x)的图象过点,得f=0,即=-2sin=-2sin=-,即=-. 故f(x)=2sin-,由0x,有-x-,所以-sin1,得-1-2sin-2-,故函数f(x)在上的取值范围为-1-,2-. 6. (1)设等差数列an的公差为d,则a2=a1+d,a3=a1+2d,由题意得解得或所以由等差数列通项公式可得an=2-3(n-1)=-3n+5或an=-4+3(n-1)=3n-7. 故an=-3n+5或an=3n-7. (2)当an=-3n+5时,a2,a3,a1分别为-1,-4,2,不成等比数列;当an=3n-7时,a2,a3,a1分别为-1,2,-4,成等比数列,满足条件
14、. 故|an|=|3n-7|=记数列|an|的前n项和为Sn. 当n=1时,S1=|a1|=4;当n=2时,S2=|a1|+|a2|=5;当n3时,Sn=S2+|a3|+|a4|+|an|=5+(33-7)+(34-7)+(3n-7)=5+=n2-n+10. 当n=2时,满足此式,综上,Sn=7.(1)当n=kN+时,Sn=-n2+kn取最大值,即8=Sk=-k2+k2=k2,故k2=16,因此k=4,从而an=Sn-Sn-1=-n(n2). 又a1=S1=,所以an=-n. (2)因为bn=,Tn=b1+b2+bn=1+,所以Tn=2Tn-Tn=2+1+-=4-=4-. 8.(1)因为f(x)=x4+bx2+cx+d,所以f (x)=x3-12x+c. 设h(x)=x3-12x+c,(2分)由题意知,方程h(x)=0有三个互异的实根,h(x)=3x2-12,令h(x)=0,得x=2.
