精品文档《圆的一般方程》同步练习一、选择题1．两圆 x2＋ y2－ 4x＋ 6y＝0 和 x2＋ y2－ 6x＝ 0 的圆心连线方程为 ()A ．x＋ y＋ 3＝0B． 2x－ y－ 5＝ 0C．3x－ y－ 9＝0D． 4x－3y＋ 7＝ 0[答案 ]C[解析 ]0＋ 3两圆的圆心分别为(2，－ 3)、(3,0)，直线方程为 y＝(x－3)即 3x－ y－ 9＝ 0，故选 C.3－ 22．圆 C： x2＋ y2＋ x－6y＋ 3＝ 0 上有两个点 P 和 Q 关于直线 kx－ y＋4＝ 0 对称，则 k＝ ( )A ．2B．－323C．±2D．不存在[答案 ]A[解析 ]由题意得直线 kx－ y＝ 4＝0 经过圆心 C(－ 1， 3) ，所以－ k－ 3＋ 4＝0，解得 k＝2.故选 A.223．当 a 取不同的实数时，由方程x2 ＋y2＋2ax＋ 2ay－ 1＝ 0 可以得到不同的圆，则 ()A ．这些圆的圆心都在直线y＝x 上B ．这些圆的圆心都在直线y＝－ x 上C．这些圆的圆心都在直线y＝x 或 y＝－ x 上D ．这些圆的圆心不在同一条直线上[答案 ]A[解析 ]圆的方程可化为 (x＋ a)2＋ (y＋ a)2＝2a2＋ 1，圆心为 (－ a，－ a)，在直线 y＝ x 上．4．若圆 x2＋ y2－ 2ax＋ 3by＝ 0 的圆心位于第三象限，那么直线x＋ ay＋ b＝ 0 一定不经过 ()A ．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限[答案 ]D223[解析 ]圆 x ＋ y － 2ax＋ 3by＝0 的圆心为 (a，－ 2b)，1 b1b则 a<0，b>0.直线 y＝－ ax－ a，其斜率 k＝－ a>0，在 y 轴上的截距为－ a>0，所以直线不经过第四象限，故选 D.5．在圆 x2＋ y2－ 2x－6y＝ 0 内，过点 E(0,1)的最长弦和最短弦分别为AC 和 BD ，则四边形 ABCD 的面只为()A ．52B． 102C．152D． 202精品文档精品文档[答案 ]B[解析 ]圆 x2＋ y2－ 2x－ 6y＝ 0 化成标准方程为 (x－ 1)2＋ (y－ 3)2＝ 10，则圆心坐标为M(1,3) ，半径长为10.由圆的几何性质可知： 过点 E 的最长弦 AC 为点 E 所在的直径， 则 |AC|＝ 210.BD 是过点 E 的最短弦，则点 E 为线段 BD 的中点，且 AC⊥BD ， E 为 AC 与 BD 的交点，则由垂径定理可是|BD |＝ 2 |BM |2－ |ME |2＝ 210－ [1－ 0 2＋ 3－ 1 2] ＝2 5.从而四边形 ABCD 的面积为 1|AC||BD |＝1×210× 25＝ 10 2.226．已知两定点 A(－ 2,0)，B(1,0)，如果动点 P 满足 |PA|＝ 2|PB|，则点 P 的轨迹所包围的图形的面积等于 ()A ．πB． 4πC．8πD． 9π[答案 ]B[解析 ]设点 P 的坐标为 (x，y)，则 (x＋ 2)2＋ y2＝ 4[(x－ 1)2＋ y2] ，即 (x－ 2)2＋ y2＝ 4，所以点 P 的轨迹是以 (2,0) 为圆心， 2 为半径长的圆，故面积为π×22＝ 4π.二、填空题7．圆心是 (－ 3,4)，经过点 M(5,1)的圆的一般方程为 ________．[答案 ]x2＋ y2＋ 6x－ 8y－ 48＝ 0[解析 ]只要求出圆的半径即得圆的标准方程，再展开化为一般式方程．8． 设圆 x2＋ y2－ 4x＋ 2y－11＝0 的圆心为 A，点 P 在圆上，则 PA 的中点 M 的轨迹方程是 ________．[答案 ]x2＋ y2－ 4x＋ 2y＋ 1＝ 0[解析 ]设 M(x， y)， A(2，－ 1)，则 P(2x－ 2,2y＋ 1)，将 P 代入圆方程得： (2x－ 2)2＋ (2y＋ 1)2－ 4(2x－2) ＋2(2y＋ 1)－ 11＝ 0，即为： x2＋ y2－ 4x＋ 2y＋ 1＝ 0.9．已知圆 C： x2＋y2＋ 2x＋ ay－ 3＝ 0(a 为实数 )上任意一点关于直线l： x－ y＋2＝ 0 的对称点都在圆 C上，则 a＝________.[答案 ]－ 2[解析 ]由题意可知直线 l ： x－ y＋ 2＝0 过圆心，a∴－1＋ 2＋ 2＝ 0，∴a＝－ 2.三、解答题10．判断方程 x2＋ y2－ 4mx＋ 2my＋ 20m－ 20＝ 0 能否表示圆，若能表示圆，求出圆心和半径．[分析 ] 本题可直接利用 D2＋ E2－ 4F>0 是否成立来判断， 也可把左端配方， 看右端是否为大于零的常数．[解析 ] 解法一：由方程 x2＋ y2－ 4mx＋ 2my＋ 20m－ 20＝ 0，精品文档精品文档可知 D ＝－ 4m，E＝ 2m， F＝ 20m－ 20，∴D 2＋ E2－ 4F ＝16m2＋ 4m2－ 80m＋ 80＝20(m－2) 2，因此，当m＝ 2 时， D 2＋E2－ 4F ＝0，它表示一个221点，当 m≠ 2 时， D＋ E－ 4F>0 ，原方程表示圆的方程，此时，圆的圆心为(2m，－ m) ，半径为 r ＝2D2＋ E2－ 4F＝ 5|m－ 2|.解法二：原方程可化为 (x－ 2m)2＋ (y＋ m)2＝ 5(m－ 2)2，因此，当 m＝ 2 时，它表示一个点，当 m≠ 2 时，原方程表示圆的方程．此时，圆的圆心为 (2m，－ m)，半径为 r ＝ 5|m－ 2|.[点评 ] (1)形如 x2＋ y2＋ Dx＋ Ey＋ F ＝ 0 的二元二次方程， 判定其是否表示圆时有如下两种方法： ①由圆的一般方程的定义判断 D2＋ E2－ 4F 是否为正．若 D 2＋ E2 －F>0，则方程表示圆，否则不表示圆．②将方程配方变形成“标准”形式后，根据圆的标准方程的特征，观察是否可以表示圆．(2)在书写本题结果时，易出现 r ＝ 5(m－ 2)的错误结果，导致这种错误的原因是没有理解对一个数开偶次方根的结果为非负数．11．自 A(4,0) 引圆 x2＋ y2＝ 4 的割线 ABC，求弦 BC 中点 P 的轨迹方程．[分析 ] 由题目可获取以下主要信息：①点 A(4,0)是定圆外一点；②过 A 的直线交圆于 B， C 两点．解答本题可先设出动点 P 的坐标 (x，y)，然后由圆的几何性质知 OP⊥BC，再利用 kOP·kAP＝－ 1，求出P(x， y)满足的方程．也可由圆的几何性质直接得出动点 P 与定点 M(2,0)的距离恒等于定长 2，然后由圆的定义直接写出 P 点的轨迹方程．[解析 ] 方法 1： (直接法 )设 P(x，y)，连接 OP，则 OP⊥ BC，当 x≠0 时， kOP·kAP＝－ 1，即 y· y ＝－ 1，x x－ 4即 x2＋ y2－ 4x＝0. ①当 x＝0 时， P 点坐标 (0,0)是方程①的解，∴BC 中点 P 的轨迹方程为 x2＋ y2－ 4x＝ 0(在已知圆内的部分 )．方法 2： (定义法 )1由方法 1 知 OP⊥ AP，取 OA 中点 M，则 M(2,0) ， |PM |＝ 2|OA|＝ 2，精品文档精品文档由圆的定义知， P 的轨迹方程是 (x－2) 2＋y2＝ 4(在已知圆内的部分 )．12． 已知圆经过点 (4,2)和 (－ 2，－ 6) ，该圆与两坐标轴的四个截距之和为－ 2，求圆的方程．[解析 ] 设圆的一般方程为 x2＋ y2＋ Dx＋ Ey＋ F＝ 0.∵圆经过点 (4,2) 和 (－ 2，－ 6) ，4D＋ 2E＋ F＋ 20＝ 0， ①代入圆的一般方程，得2D＋ 6E－ F－ 40＝ 0. ②设圆在 x 轴上的截距为 x1、x2，它们是方程 x2＋ Dx＋ F ＝ 0 的两个根，得 x1＋ x2＝－ D.设圆在 y 轴上的截距为 y1、 y2，它们是方程 y2＋ Ey＋ F ＝0 的两个根，得 y1＋ y2＝－ E.由已知，得－ D＋ (－ E) ＝－ 2，即 D＋ E－ 2＝0. ③由①②③联立解得 D＝－ 2， E＝ 4， F＝－ 20.∴所求圆的方程为 x2＋y2－2x＋ 4y－ 20＝ 0.精品文档。
