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1、“ 别具一格”的另类“压轴题”浙江省绍兴市建功中学 沈建良（312000） 本文于2008年发表于数理化解题研究第5期纵览近几年的全国各地的中考试题，试题呈现出重基础，重能力立意，总体难度有所下降，且难度有所分散和前移，不再过分集中在最后一道压轴性的大道上，能较好的体现新课程理念。但最后一道填空题往往比较灵活，且分值一般为5分，往往是造成学生失分的主要原因。笔者有幸参加2007年绍兴市中考的填空题阅卷工作，从最后一道填空题抽样的统计结果看，学生的得分率相当低，已成为中考中一个不大不小的另类“压轴题”。这些“压轴性”填空题有着共同的特征：试题的背景丰富，形式多样，信息量大，处理数据的能力要求高。
2、本文拟从不同的层面剖析2007年中考试题中出现的“压轴性”填空题，供参考。一、图表信息型“压轴题”占有一席之地所谓图表信息题，是指题目中的信息大多以表格形式或函数图像给出的一类数学问题，其目的是考查学生将实际问题抽象成函数等数学问题的能力及获取数据的能力。这类题型充分体现了新课标的“数学作为一种普遍适用的技术，有助于人们收集、整理、描述信息，建立数学模型，进而解决问题，直接为社会创造价值”的理念。因此图表信息型填空题往往背景鲜活，贴近生活，关注社会热点问题，时代气息浓厚，呈现形式多样，它要求学生能从所给的图像、表格、文字中获取正确的信息，从而解决问题。例1：（2007年萧山市） 张阿姨准备在某
3、商场购买一件衣服、一双鞋和一套化妆品，这三件物品的原价和优惠方式如下表所示：欲购买的商品原价（元）优惠方式一件衣服420每付现金200元，返购物券200元，且付款时可以使用购物券一双鞋280每付现金200元，返购物券200元，但付款时不可以使用购物券一套化妆品300付款时可以使用购物券，但不返购物券请帮张阿姨分析一下，选择一个最省钱的购买方案. 此时，张阿姨购买这三件物品实际所付出的钱的总数为_元。解析：由表格可知，最省钱的购买方案应是尽可能多的使用返还的购物券，故应先买一双鞋，付现金280元，返购物券200元，再买一件衣服只需付现金220元与返还的200元购物券即可，此时还可再返购物券200
4、元，再加上100元即可购买一套化妆品，共用去600元。例2：（2007绍兴市）绍兴黄酒是中国名酒之一某黄酒厂的瓶酒车间先将散装黄酒灌装成瓶装黄酒，再将瓶装黄酒装箱出车间，该车间有灌装、装箱生产线共26条, 每条灌装、装箱生产线的生产流量分别如图1、2所示 某日8:0011:00，车间内的生产线全部投入生产，图3表示该时段内未装箱的瓶装黄酒存量变化情况，则灌装生产线有 _条解析：由图1可知每条灌装生产线每小时灌装650瓶，由图2可知每条装箱生产线每小时装750瓶，由图3可知8:0011:00这个时段内未装箱的瓶装黄酒为每小时（700-400）（11-8）=100瓶，故可设灌装生产线有x条，则装箱
5、生产线有（26-x）条.由题意得：650x-750(26-x)=100解得： x=14所以灌装生产线有14条. 评注：例1是最近比较热门的“满就送”、“满就减”等商场打折为背景，计算要求不高，只需一些生活常识即可.例2表面上好像是函数问题，而实际上是方程问题，函数图像只不过提供了关于生产中的一些信息.二、阅读探究型“压轴题”崭露头角 所谓阅读探究题，是指给出一定的文字或给出某个数学概念或命题或解题过程，在阅读的基础上要求对其本质作描述性的回答或进行判断、概括或让学生在变化了的新环境中运用新知识解决新问题。这类题型充分体现了“学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者和合作者” 这一新
6、课程理念。通过这类题型的教学有助于培养学生阅读理解、收集信息、处理信息及自学能力。例3：（2007年杭州市）三个同学对问题“若方程组的解是，求方程组的解。”提出各自的想法。甲说：“这个题目好象条件不够，不能求解”；乙说：“它们的系数有一定的规律，可以试试”；丙说：“能不能把第二个方程组的两个方程的两边都除以5，通过换元替换的方法来解决”。参考他们的讨论，你认为这个题目的解应该是 。解析：所求方程组的未知数太多，不可能直接求解，因此参考三人讨论去寻找思路较为科学，显然甲与乙的讨论价值不大，只有丙的说法可以参考：方程组的解是 （1）故把方程组变形得 （2）比较方程组（1）与（2）得 例4：（200
7、7年江西）某化工厂2006年12月在制定2007年某种化肥的生产计划时,收集了如下信息: (1)生产该种化肥的工人数不能超过200人; (2)每个工人全年工作时数不得多于2100人; (3)预计2007年该化肥至少可售销80000袋; (4)每生产一袋该化肥需要工时4个; (5)每袋该化肥需要原料20千克; (6)现库存原料800吨,本月还需用200吨,2007年可以补充1200吨. 根据上述数据,确定2007年该种化肥的生产袋数的范围是_.解析：设2007年生产该化肥x袋，从工时上、从原料上、从销售量上分别进行考虑有解得： 2007年该种化肥的生产袋数的范围是8万到9万袋之间 评注：例3是要
8、求通过对一个“讨论情景”的阅读，模仿它提供的的方法进行求解，此类题型有时是通过阅读相关内容以后进行公式套用，或概念辨析，再结合合已学知识解决有关问题。例4要求从“阅读理解”的基础上会进行多角度考虑问题。三、规律探索型“压轴题”宝刀不老规律探索是历年中考的考查重点，起到“拉分”作用，可谓宝刀不老。它有利于对学生数感的培养，数形结合能力的提高。例5：（ 2007年德阳市）如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（3，2），（3，1），（3，0）根据这个规律探索可得，第个点的坐标为_O(1,0)(2,0)(3,0)(4,0)(5,0)
9、x(5,1)(4,1)(3,1)(2,1)(3,2)(4,2)(4,3)(5,4)(5,3)(5,2)y解析：由图可知规律一：横坐标为1的点有1个，横坐标为2的点有2个，横坐标为3的点有3个，依此类推规律二：横坐标为偶数，则箭头向上；横坐标为奇数，则箭头向下.1+2+3+13=911001+2+3+13+14=105第92个点到第105个点的横坐标均为14，且箭头向上.第100个点的横坐标为14，纵坐标为100-91-1=8即第100个点的坐标为（14，8）.评注：规律探索作为压轴性的填空题时，它往往是以数字规律为主要背景，出现的形式有：数字规律，周长规律，面积规律等等，尤其值得关注的是由于新
10、课程中增加了图形与坐标这一块内容，因此类似于例5的有关点坐标的规律探索正在逐年加强。四、函数、几何综合型“压轴题”风光依然 随着新课程理念的逐步深入，函数与几何综合题已从“知识立意”向“能力立意”转变，作为填空题时则更注重基础与能力的结合，渗透了数形结合的思想方法例6：（2007年眉山市）如图，已知等腰直角的直角边长与正方形的边长均为20厘米，与在同一直线上，开始时点与点重合，让以每秒2厘米的速度向左运动，最终点与点重合，则重叠部分面积（厘米）与时间（秒）之间的函数关系式为 解析：在运动过程中, 重叠部分的图形始终为等腰直角三角形,当运动t秒时，则AN=2t，从而AM=20-2t，故 例7：（
11、2007年诸暨市）小明设计了一个电子游戏：一电子跳蚤从横坐标为t(t0)的P1点开始，按点的横坐标依次增加1的规律，在抛物线0)上向右跳动，得到点P2、P3，此时P1P2P3的面积为 。解析：显然P1P2P3是不规则三角形，因此它的面积无法直接计算，注意到三个点的横坐标依次增加1，过，三点分别作，垂直x轴（如图），则坐标为（t,at2），点坐标为（t+1,a(t+1)2），点坐标为（t+2,a(t+2)2）=-=a评注：函数与几何综合性填空题往往是以“动点”的形式出现，例6是以图形的变动产生函数问题，此类问题有时还要求求出变动过程中的周长或面积等的最大（小）值；例7是函数图像中几何图形的面积计
12、算，涉及一定的计算要求。五、几何操作型“压轴题”备受青睐所谓几何操作题，就是指利用指定的工具和材料，动手操作，自主探究，适当猜想，而后验证猜想，最终解决问题的一种题型。通过对三角板的操作，探索图形中存在的变化规律，让学生亲身经历知识的发生、发展过程，有效地考查了学生发现问题和解决问题的能力，同时，也使学生在探索和解决问题的过程中感受数学的美妙，领略数学的魅力。例8：（2007年泰州市）如图在22的方格纸上，有一个格点（即顶点均在格点上的三角形，下同）则在图中可以找到_个三角形，使其与成轴对称解析：通过画图或三角板的摆放，可以找到以下4种符合要求的图形（阴影部分的三角形）P例9：（2007年金华
13、市）如图，在由24个边长都为1的小正三角形的网格中，点是正六边形的一个顶点，以点为直角顶点作格点直角三角形，请你写出所有可能的直角三角形斜边的长 解析：由于每个等边三角形的内角均为，要产生以P为顶点的角，因此必须把其中一个等边三角形的内角平分，如图所示，连接PA并延长至B点，则=，从而符合要求的斜边有AC，AD，BC，BD，由勾股定理可知AC=2，AD=，BC=， BD=4 评注：通过以上两例不难发现，作为几何操作性填空题，它往往以格点（或点阵等）为背景数符合要求的图形个数，计算的要求并不高，但有一个难点那就是要求做到不重复也不遗漏。 六、立体几何“压轴题”初露端倪新课程中，初中几何已打破了原
14、有的平面几何一统天下的局面，逐步增加了立体几何，更是增加了一些基本的立体几何（如正方体、长方体、圆柱体、圆锥体等）的展开图以及规则几何体的三视图和投影问题，以增加几何的直观性和实用性，由于它是初高中的衔接内容，后续学习要求高。因此作为具有选拔性的中考来讲，这部分内容正在逐渐被重视，以它为载体的综合性“压轴题”也在推陈出新。例10：（济南市2007年）如图所示是某种型号的正六角螺母毛坯的三视图，则它的表面积为 解析：由正六角螺母毛坯的三视图可知它的上、下底面是两个全等的正六边形，六个侧面是全等的矩形，故它的表面积为= cm2例11：（2007年河北省）图1是三个直立于水平面上的形状完全相同的几何体（下底面为圆面，单位：cm）将它们拼成如图2的新几何体，则该新几何体的体积为 _ cm3（计算结果保留） 图1644644644图2解析：由题意知要求出图2的体积必须求出图1中的一个几何体的体积，不难发现图1中两个几何体可以拼成一个高10cm ，底面直径为4cm的圆柱体，从而图2的几何体的体积为3= 60cm3评注：立体几何的压轴性填空题往往把立体图形与其表面展开图、视图等有机地结合起来，以求表面积与体积为主，体现了二维与三维的相互转换与对应，融考查数学知识、基本技能、数学思想方法、空间想象能力及应用探究能力于一
