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1、高中数学常用公式及常用结论1.元素与集合的关系xe A CL!A9 xe=xg A.2.德摩根公式C”(A n 8)=C A u(A U 8)=C u A n g，8 .3.包含关系A H B =A A JB =B 0 A =8 =,8 =。=人口5人 o gAU Bu R4.容斥原理card(A U 8)=card A+cardB-card(A A B)card(A U 8 U C)=card A+cardB+cardC-c ard(A Pl B)c ard(A C l 8)card(BCC)card(Cf l A)+card(A Pl 5 C|C).5.集合%,4,的子集个数共有2 个；真
2、子集有2-1个；非空子集有2-1个；非空的真子集有2-2个.6.二次函数的解析式的三种形式(1)一般式/(x)=ax2+bx+c(a。0);(2)顶点式 f (x)-a(x-h)-+A(a。0);(3)零点式/(x)=a(x-xt)(x-x2)(a R 0).7.解连不等式N /(x)M常有以下转化形式,、M +N ,M -NQ I/(X)-l-.f(x)N M-N8 .方程/(x)=0在(占，左2)上有且只有一个实根,与于(k J/*?)0不等价,前者是后者的一个必要而不是充分条件.特别地，方程a/+以+c =0(。H 0)有且只有一个实根在(匕，七)内，等价于/(匕)/(七)0,或/伏1)
3、=0且匕 或/(%2)=0 且 -一丁 0 时，若=一 丁 p,q ,贝 U /(X)min=/(一丁)J(X)max=m ax /(，)，/()；2a 2aX=一丁仁 p，q，/(X)max=m ax /(P)J(q)，/(苫 濡=m in /(P)，/?h(2)当 a 0 时，若 x=-G p,q,则/(x)min=m in /(p),/(),若 x=-i p,q,则2a 2a/(x)max=m a x/(p),/(q)，/(x)min=min/(/?),/(r).1 0.一元二次方程的实根分布区间(加,)内有根的充要条件为/(加)/()0或 2一4 2 或，;一或(J依据：若/(。/()
4、m27(/n)0/()=O .m-nI 2p 2 4 0(3)方程/(x)=O在区间(-8,)内有根的充要条件为/(?)0或，p O(X g L).(2)在给定区间(-8,+8)的子区间上含参数的二次不 等 式/(x,f)2 O (f为参数)恒成立的充要条件是 0恒成立的充要条件是Va 0 N O 或 Vc 0a 0b2-4 ac 0 =0 在 上 是 增 函 数；占一声区一工2)(X)/(M)0 Q 27 0,则/(x)为增函数；如 果/(x)0,则/(x)为减函数.1 7 .如果函数f i x)和g(x)都是减函数，则在公共定义域内，和函数/(x)+g(x)也是减函数；如果函数y =/()
5、和 =g(x)在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数y =g(x)是增函数.1 8.奇偶函数的图象特征奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数.1 9.若 函 数y =/(x)是 偶 函 数，贝i j /(x +a)=/(-X 。)；若 函 数y =/(x +a)是 偶 函 数，则f(x +a)=f(-x +a).2 0 .对于函数y =/(x)(x e R),f(x +a)=/(。幻恒成立，则函数/(x)的对称轴是函数x =3芋；两个函数y =/。+。)与了=f d
6、)的 图 象 关 于 直 线 尤 对 称.2 1 .若/(x)=/(x +a),则 函 数y =/(x)的图象关于点($0)对 称；若/(x)=-/Q+a),贝U函数)，=/(X)为周期为2 a的周期函数.2 2 .多项式函数P x =anxn+4 T x l +.+%的奇偶性多项式函数P(x)是奇函数=尸(x)的偶次项(即奇数项)的系数全为零.多项式函数P(x)是偶函数=P(x)的奇次项(即偶数项)的系数全为零.2 3 .函数y =/(x)的图象的对称性(1)函数y =/(%)的图象关于直线x =a对称=/(a +x)=/(a -x)/(2 a-x)=/(x).(2)函数y =/(x)的图象
7、关于直线N=女对称o f(a+m x)=f(b-m x)o f(a+b m x)=f(m x).2 4.两个函数图象的对称性(1)函数y=/(%)与函数y=/(-x)的图象关于直线x=0 (即y 轴)对称.(2)函数y=f(m x-a)与函数y=/(。一 x)的图象关于直线x=-对称.2 m(3)函数y=/。)和、=/T(X)的图象关于直线y=x对称.2 5.若 将 函 数 y=/(x)的图象右移。、上 移 b个单位，得 到 函 数 y=/(x a)+b的图象；若将曲线/(x,y)=0的图象右移a、上移b个单位，得 到 曲 线-=0的图象.2 6 .互为反函数的两个函数的关系f (a)=b 0
8、 广，(b)=a.2 7 .若函数y=/(乙+匕)存在反函数,则其反函数为y=H/T(x)-6 ,并不是y=T(代+b),而函数ky=/-(履+b)是 y=-f(x)-h 的反函数.k2 8.几个常见的函数方程(1)正比例函数/(x)=e x,f x+y)=/(x)+/(y),/(l)=c.(2)指数函数/(%)=ax,f(x+y)=f(x)f(y),f(l)=a 0.对数函数 f(x)=l o ga x,f(xy)=f(x)+f (y),f (a)=l(a0,a I).(4)嘉函数 f i x)=,f(xy)=/(x)/(y),f=a.(5)余弦函数 y(x)=co sx,正弦函数 g(x)
9、=sin x,f(x-y)=f(x)f(y)+g(x)g(y),/(0)=l,l im =l.x 0 x2 9 .几个函数方程的周期(约定a 0)(1)f(x)=f(x+a),则/(x)的周期 T=a；(2)/(x)=/(x+a)=0，或 f(x+。)=(/(x)丰 0),/(x)或/(x+a)=-(/(x)0),/(x)或;+J/(x)-/2(x)=/(x+a),(/(x)e 0,l),则/(x)的周期 T=2 a；(3)/(x)=1-1(/(x)。0),则/(%)的周期 T=3 a；f(x+a)(4)/(X1+X2)=/(2+、华 且/=l(/(x,)-/(x2)l,0 l x1-x2 l
10、 O,m,e N*,且 1)aH31.根式的性质(1)(炳=a.(2)当为奇数时，g=a；当为偶数时，7=1 a.-a,a 0,r,s&Q).(2)(ar)s=ar a 0,r,se Q).(3)(ab =abr(a 0,b 0,re Q).注：若 A。P是一个无理数，则缪表示一个确定的实数.上述有理指数幕的运算性质，对于无理数指数幕都适用.33.指数式与对数式的互化式logN=b Q/=N (a0,a Wl,N0).34.对数的换底公式log Nlogn N-(a 0,且a。1,机0,且加 H 1,N0).log,”aY l推论 log hn=log,b(a 0,且a 1,加,0,且加 W
11、1,W 1,N0).a m35.对数的四则运算法则若 a0,aWL M0,N 0,贝！J(1)log.(MN)=log0 M+log“N;M log 7 =log“M-log,N;log”Mn=nlog M(ne R).36.设函数/(%)=log,(ax2+bx+c)(a-0),记设=从 一4ac.若/(x)的定义域为 R,则。0,且 0,且 2 0.对于a=0的情形,需要单独检验.37.对数换底不等式及其推广若a 0 0,x 0,%。！，则函数y=1。8/)a(1)当a b时，在(0,工)和(L,+8)上y=log,“3)为增函数.a a.(2)当。机 1，/?0 0，且 a/1，贝！I
12、log,“+,(+P)log“10g(,7M10gflrt，=(1 +2)39.数列的同项公式与前n项的和的关系s.,n=1c（数列%的前n项 的 和 为,=%+。2+sn-s _,n240.等差数列的通项公式an=q +(-l)d=d n+a、-d(n N*)；其前n项和公式为(q+”“)5 1)s =-!-=na.H-an 2 1 2d 2 ./1 八=M+u )n.2 241.等比数列的通项公式an=a l=-q(nE N*)；q其前n项的和公式为空匕虫,小s=1 i-qna q =叫,q =142 .等比差数列 an:an+=q an+d,ai=b(q W 0)的通项公式为b+(n一l
13、)d,q=14=*(d-1)qT-d J,q-i，q其前n项和公式为nh +n(n-)d,(q=1)d、q d .(b-)，(q H Dl-q q-l l q43.分期付款(按揭贷款)每次还款x=”元(贷款。元,次还清，每期利率为b).(1 +/7)-144.常见三角不等式兀(1)若不(0,)，则 sinx x t a nx.2 若 元 (0,),贝!j l 1.45.同角三角函数的基本关系式q i n 0sin2+co s2 =1,t a n =-,t a n0-c o t O=1.co s。46.正弦、余弦的诱导公式(奇变偶不变，符号看象限).兀、sin(+a)=n(-1户 sin a,H
14、-l(-1)2 cos a,（n 为偶数）（n 为奇数）（n 为偶数）兀、cos(+a)=0)的周期 T=C D函数y=tan(3x+9),x手k兀+5,k w Z(A,s,中为常数,且AW O,30)的周期T=X2co51.正弦定理ab=27?.sin A sin B sin C52.余弦定理/=力2+/2bc cos A;b?=c?+a2-2ca cos B;c2=/+/-2ahcosC.53.面积定理(1)S=aha=-bhh=che(ha hh 分别表示 a、b、c 边上的高).2 2 2(2)S=ahsinC=fee sin A=easin B.222”3y(加丽尸-再 画2.54.
15、三角形内角和定理在AABC 中，有A+B+C=uC=万一(A+8)C 7T A 4-B _ _ _ ，C=-2c=2 1兀-2(A+B).2 2 255.简单的三角方程的通解sinx=a=X=攵乃+(一1)，arcsina(攵w Z,la l).cosx=a x=2k7r arccos a(ke Z,l a x=AT F+arctana(ke Z.ae/?).特别地，有sin a =sin/?=a =%+(-1)A/3(k G Z).cosa=cos/3 0 a =2k兀Z).tan a =tan/3=a =kjv+Z).56.最简单的三角不等式及其解集sinx a(a 1)xe Qk兀+ar
16、csina,2k兀+九一arcsina),ke Z.sinxa(a l 1)XG Qk兀一兀一arcsina,2k兀+arcsina),kw Z.cosx a(a 1)xe Qk兀-arccosa,2k兀4-arccosa),kE Z.cosxa(a 1)XG Qk兀+arccosa,2k兀+2乃一arccostz),ke Z.兀tan x c R)=r w(k 兀+arctan a,k7r+),ke Z.2T Ctan x XG(kn-,k7T-arctan a),k Z.57,实数与向量的积的运算律设入、口为实数，那么(1)结合律：入(口 a)=(入P)a;(2)第一分配律：(入+口)a=入a+口 a;(3)第二分配律：X(a+b)=Xa+Xb.58.向量的数量积的运算律：(1)a b=b a(交 换 律)；(2)(A a)b=A(a b)=Aa b=a (A b);(3)(a+b)c=a c+b c.59.平面向量基本定理如 果&、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数人】、入使得a二 入161+入202.不共线的向量&、e2叫做表示这
