《湖北省巴东一中高二数学教案必修四：两角和与差的正弦、余弦和正切公式》由会员分享，可在线阅读，更多相关《湖北省巴东一中高二数学教案必修四：两角和与差的正弦、余弦和正切公式（32页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第三章三角恒等变换本章教材分析本章知识框图福一二角初瞥一排本章学习的主要内容是两角和与差的正弦、余弦和正切公式，以及运用这些公式进行简单的恒等变换.变换是数学的重要工具，也是数学学习的主要对象之一.在本册第一章，学生接触了 同角三角函数公式.在本章，学生将运用向量方法推导两角差的余弦公式，由此出发导出其他的三角变换公式，并运用这些公式进行简单的三角恒等变换.三角恒等变换位于三角函数与数学变换的结合点上.通过本章学习，使学生在学习三角恒等变换的基本思想和方法的过程中，发展推理能力和运算能力，并体会三角恒等变换的工具性作用，学会它们在数学中的一些应用 .本章内容安排按两条线进行，一条明线是建立公式
2、，学习变换；一条暗线就是发展推理能力 和运算能力，并且发展能力的要求不仅仅体现在学习变换过程之中，也体现在建立公式的过程之中.因此在本章教学中，教师要特别注意恰时恰点地提出问题，引导学生用对比、联系、化归的 观点去分析、处理问题，使学生能依据三角函数式的特点，逐渐明确三角函数恒等变换不仅包括 式子的结构形式变换，还包括式子中角的变换，以及不同三角函数之间的变换，强化运用数学思想方法指导设计变换思路的意识 .突出数学思想方法的教学，在类比、推广、特殊化等一般逻辑思考方法上进行引导，本章不仅关注使学生得到和（差）角公式，而且还特别关注公式推导过程中体现的数学思想方法.例如，在两角差的余弦公式这一关
3、键性问题的解决中体现了数形结合思想以及向量方法的应用；从两角差的余弦公式推出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，在这个过程中，始终引导学生体会化归思想；在应用公式进行恒等变换的过程中，渗透了观察、类比、推广、特殊化、化归等思想方法 ，特别是充分发挥了 观察“思考“探究”等栏目的作用，对学生 解决问题的一般思路进行引导，这对学生养成科学的数学思考习惯能起到积极的促进作用.另外,还在适当的时候对三角变换中的数学思想方法作了明确的总结.例如，在旁白中有 情是描述两个数量之间关系的，2 “是a的二倍，4 a是2 a的二倍，这里蕴含着换元的思想”等,都是为了加强 思想方法而设
4、置的.两角和与差的正弦、余弦、正切公式和二倍角公式是历届高考考查的重点”和热点”在高考中占有重要的地位，主要考查对这十一个公式的正用、逆用、变形用，考查对公式的熟练掌握程度和灵活运用能力 ，其考查难度属低档，这就要求我们不要过分引导学生去挖掘一些特殊 的变化技巧，应把主要精力放在学生掌握数学规律和通性通法上教师在教学中，要注意控制好难度.因为近几年的高考中对三角部分的考查难度降低，但教材中部分习题却有一定难度，因此教师要把握好难度. 本章教学时间约需 8课时，具体分配如下（仅供参考）：节次标题课时3.1.1两角差的余弦公式1课时3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式2课时3.1.3二倍角的
5、正弦、余弦、正切公式1课时3.2简单的三角恒等变换2课时复习2课时3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式3.1.1 两角差的余弦公式整体设计 一、教学分析本节是以一个实际问题做引子，目的在于从中提出问题，引入本章的研究课题.在用方程的思想分析题意，用解直角三角形的知识布列方程的过程中，提出了两个问题：实际问题中存在研究像tan(45。+这样的包含两个角的三角函数的需要；实际问题中存在研究像 sin ”与tan(45 锄羊的包含两角和的三角函数与“、45。单角的三角函数白关系的需要.以实例引入课题也有利于体现数学与实际问题的联系，增强学生的应用意识，激发学生学习的积极性，同时也让学生体会数学知
6、识产生、发展的过程.本节首先引导学生对 cos( -C3的结果进行探究，让学生充分发挥想象力,进行彳#想，给出所有 可能的结果，然后再去验证其真假.这也展示了数学知识的发生、发展的具体过程，最后提出了两 种推导证明 两角差的余弦公式”的方案.方案一，利用单位圆上的三角函数线进行探索、推导 ， 让学生动手画图，构造出生3角，利用学过的三角函数知识探索存在一定的难度，教师要作恰当的引导.方案二，利用向量知识探索两角差的余弦公式时，要注意推导的层次性：在回顾求角的余弦有哪些方法时，联系向量知识，体会向量方法的作用：结合有关图形，完成运用向量方法推导 公式的必要准备：探索过程不应追求一步到位，应先不去
7、理会其中的细节 ，抓住主要问题及其线索进彳T探索，然后再反思，予以完善；补充完善的过程，既要运用分类讨论的思想，又要用到诱 导公式.本节是数学公式的教学，教师要遵循公式教学的规律，应注意以下几方面：要使学生了解 公式的由来：使学生认识公式的结构特征，加以记忆；使学生掌握公式的推导和证明；通过例子使学生熟悉公式的应用，灵活运用公式进行解答有关问题 .二、教学目标1 .知识与技能：通过让学生探索、猜想、发现并推导 两角差的余弦公式” 了解单角与复角的三角函数之 间的内在联系，并通过强化题目的训练，加深对两角差的余弦公式的理解，培养学生的运算能力 及逻辑推理能力，提高学生的数学素质.2 .过程与方法
8、：通过两角差的余弦公式的运用 ，会进行简单的求值、化简、证明 ，体会化归思想在数学当中 的运用，使学生进一步掌握联系的观点，自觉地利用联系变化的观点来分析问题 ，提高学生分析 问题、解决问题的能力.3 .情感态度与价值观：通过本节的学习，使学生体会探究的乐趣，认识到世间万物的联系与转化，养成用辩证与联系的观点看问题.创设问题情境，激发学生分析、探求的学习态度，强化学生的参与意识，从而培 养学生分析问题、解决问题的能力和代换、演绎、数形结合等数学思想方法三、重点难点教学重点：通过探究得到两角差的余弦公式.教学难点：探索过程的组织和适当引导 .四、课时安排1课时五、教学设想(一)导入新课思路1.(
9、问题导入)播放多媒体，出示问题，让学生认真阅读课本引例.在用方程的思想分析题意,用解直角三角形的知识布列方程的过程中，提出了两个问题：实际问题中存在研究像tan(45 锄羊的包含两个角的三角函数的需要；实际问题中存在研究像sin右tan(45 +a )样的包含两角和的三角函数与“、45。单角的三角函数的关系的需要.在此基础上，再一般化而提出本节的研究课题进入新课.思路2.(复习导入)我们在初中时就知道cos45二弓，cos30 ,由此我们能否得至!cos15 =cos(45 -30户？这里是不是等于 cos45 -cos30呢？教师可让学生验证 ，经过验证可知，我 们的猜想是错误的.那么究竟是
10、个什么关系呢？cos( - 3等于什么呢？这时学生急于知道答案，由此展开新课：我们就一起来探讨 两角差的余弦公式”这是全章公式的基础.(二)推进新课、新知探究、提出问题请学生猜想cos(优3 )=?利用前面学过的单位圆上的三角函数线，如何用 外3的三角函数来表示 cos(-3呢？利用向量的知识，又能如何推导发现cos( )=?细心观察C(公式的结构，它有哪些特征？其中 “、3角的取值范围如何？如何正用、逆用、灵活运用C(4公式进行求值计算？活动：问题，出示问题后，教师让学生充分发挥想象能力尝试一下，大胆猜想，有的同学可能就首先想到 cos(-3)=cos-cos 3的结论 此时教师适当的点拨，
11、然后让学生由特殊角来验证它的31 .3.正确性.如 a =60 , 3 =物 cos( - 3 )=cos30 -，而 cos -cos 3 =cos6000s30 =，这一反例22足以说明 cos( - 3 ) wcoscos 3 .让学生明白，要想说明彳#想正确，需进行严格证明，而要想说明猜想错误，只需一个反例即可问题，既然cos(创3 ) W cocos那么cos( K究竟等于什么呢？由于这里涉及的是三角函数的问题，是a-3这个角的余弦问题，我们能否利用单位圆上的三角函数线来探究呢？图1如图1,设角a的终边与单位圆的交点为B,/ POP1=3则/ POx=a-3过点P作PM垂直于X轴,垂
12、足为M,那么OM就是角0-3的余弦线，即OM=cos(a - 3庭里就是要用角 a、3的正弦线、 余弦线来表示 OM.过点P作PA垂直于OP1,垂足为A,过点A作AB垂直于x轴,垂足为B,过点 P作PC垂直于 AB,垂足为 C.那么，OA 表示cos 3 ,A昧示sin曲且/ PAC=/PQx=a于 是,OM=OB+BM=OB+CP=OAcosa+APsina =cos 3 cos a +sin 3 s所以,cos( -%3 )=cos a cos 3 +sin a sin 3 .教师引导学生进一步思考，以上的推理过程中，角“、3a-3是有条件限制的，即“、3僚3 均为锐角，且a 阿I果要说明
13、此结果是否对任意角外3都成立，还要做不少推广工作，并且这项推广工作的过程比较繁琐曲同学们课后动手试一试.图2问题，教师引导学生，可否利用刚学过的向量知识来探究这个问题呢？如图2,在平面直角坐标系xOy内作单位圆。，以Ox为始边作角a、3它们的终边与单位圆 O的交点分别为 A、B,则 OA=(cos a ,sin 0B)=(cos 3 ,sin / AOB = a-3 .由向量数量积的定义有OA OB =|0A |0B | - cos(3 Rcos(-鱼),由向量数量积的坐标表示有OA OB =(cos a ,sin a )(cos 3 ,sin 3 尸cos a cos 3 +sin a si
14、n 3 ,于是,cos( d )=cos a cos 3 +sin a sin 3 .我们发现，运用向量工具进行探究推导 ，过程相当简洁，但在向量数量积的概念中，角 借3必 须符合条件0Wm 3 w以上结论才正确，由于外3都是任意角，优3也是任意角，因此就是研究当0-3 是任意角时，以上公式是否正确的问题.当“-3是任意角时，由诱导公式，总可以找到一个角 钱0,2兀使cos。=cos(-4落 底0,耳，贝UOA OB =cos。=cos(崛着 钱兀，2兀贝U 2乃长0,兄,且 OA OB =cos(2 死 0 尸cos 0 =cos(做).由此可知，对于任意角 a、3都有cos(那 尸cos
15、a cos 3 +sin “硼 B (C此公式给出了任意角 a、3的正弦、余弦值与其差角 a-3的余弦值之间的关系，称为差角的 余弦公式，简记为C(-B用了公式 C(为3以后,我们只要知道 cos 6c cos B sin & sin冏值,就可以 求得cos( -3的值了 .问题，教师引导学生细心观察公式C(4的结构特征，让学生自己发现公式左边是两角差的余弦”右边是 这两角的余弦积与正弦积的和”可让学生结合推导过程及结构特征进行记忆特别是运算符号，左-右+”或让学生进行简单填空，如:cos(A-B尸 ,cos(-阿)=等.因此，只要知道了 sin cos 6c sin 0 cos两值就可以求得 cos( -a3的值了 .问题，对于公式的正用是比较容易的，关键在于 拆角”的技巧，而公式的逆用则需要学生的逆向思维的灵活性，特别是变形应用，这就需要学生具有较强的观察能力和熟练的运算技巧 如 cos75 cos45+sin75 sin45 =cos(75 -45。尸cos30 = 32cos a =cos ( a +S引 =cos( a + 3 )cos 3 +sin( a
