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1、黑龙江省哈尔滨市2017-2018学年高二数学上学期期中试题 理考试时间：120分钟 满分：150分第卷 （选择题 共60分）一选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的）1. 已知椭圆上的一点到椭圆一个焦点的距离为，则到另一焦点距离为（ ）A. B. C. D.2抛物线的焦点坐标为（ ）A. B. C. D.3. 双曲线的渐近线方程是（ ）A. B. C. D. 4. 已知双曲线的离心率为，则的值为（ ）A. B. C. D. 5.已知是椭圆上一点，是其左、右焦点，若，则的面积为（ ）A. B. C. D. 6设直线过点，且与圆相切，则的斜率是
2、（ ）A. B. C. D. 7.已知抛物线：，过点的直线交抛物线于,若为坐标原点，则直线的斜率之积为（ ）A B C D 8. 如果满足约束条件，则的最大值是（ ）A B C D9 过双曲线的一个焦点作垂直于实轴的弦，是另一焦点，若，则双曲线的离心率等于（ ）A. B. C. D.10. 过抛物线的焦点作两条互相垂直的弦，则（ ）A. B. C. D. 11. 已知抛物线：的焦点为，准线为，是上一点，是直线与的一个交点，若，则（ ）A. B. C. 3 D. 212已知抛物线：，点为抛物线上任意一点，过点向圆作切线，切点分别为，则四边形面积的最小值为（ ）A B C D 第卷 （非选择题 共
3、90分）二填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）13双曲线的实轴长为 14已知双曲线：，若直线交该双曲线于两点，且线段的中点为点,则直线的斜率为 15.已知，是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，椭圆的离心率为，双曲线的离心率，则 16. 已知椭圆：，点与的焦点不重合，若关于的两焦点的对称点分别为，线段的中点在上，则 三解答题：（本题共6小题，共70分，解答题应写出文字说明证明过程或演算步骤）17.（本小题满分10分）已知圆经过点 且圆心在直线上（）求圆的方程；（）过点的直线截圆所得弦长为 ，求直线的方程CBADC1A118（本小题满分12分）如图，三棱柱中，侧棱垂直于底面
4、，是棱的中点.（）证明：平面平面；（）求异面直线与所成角的余弦值.19（本小题满分12分）已知椭圆的离心率为，椭圆的短轴端点与双曲线的焦点重合，过点且不垂直于轴的直线与椭圆相交于两点.（）求椭圆的方程；（）求的取值范围.PDBCAEF20（本小题满分12分）如图，四棱锥的底面是边长为的正方形，底面，分别为的中点.（）求证：平面；（）若，试问在线段上是否存在点，使得二面角 的余弦值为？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由.21.（本小题满分12分）已知椭圆的左、右焦点分别为短轴两个端点为且四边形是边长为的正方形（）求椭圆的方程；（）若分别是椭圆长轴的左、右端点，动点满足，连接，交椭圆于点证
5、明：为定值22.（本小题满分12分）如图，抛物线：与椭圆：在第一象限的交点为，为坐标原点，为椭圆的右顶点，的面积为.（）求抛物线的方程；（）过点作直线交于、 两点，射线、分别交于、两点，记和的面积分别为和，问是否存在直线，使得？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由数学答案 （理科）一选择题1-6 DCBBCD 7-12 ACBDAB二填空题13.4 14. 15.4 16.16三解答题17. （） 设圆心 所以 ，圆 的方程为 4分（） 若直线 的斜率不存在，方程为 ，此时直线 截圆所得弦长为 ，符合题意；若直线 的斜率存在，设方程为 ，即 由条件知，圆心到直线的距离直线 的方程为 综
6、上，所求方程为 或 10分18. 不妨设，则，（ ）因为是中点，所以,从而，故，又因为侧棱垂直于底面， ，所以， ; 6分 （）以如图，以为原点，为轴正向建立空间直角坐标系，则所以直线与所成角的余弦值是 12分19. 解：（）由题意知，.又双曲线的焦点坐标为，椭圆的方程为. 4分（）若直线的倾斜角为，则，当直线的倾斜角不为时，直线可设为，由 设，6分 8分 10分，综上所述：范围为 12分20. 证明：（）取PD中点M，连接MF，MA在CPD中，F为PC的中点，,且MF=，正方形ABCD中E为AB中点， 且AE=，且，故：EFMA为平行四边形， 2分又EF平面PAD，AM平面PADEF/平面P
7、AD 4分（）如图：以点A为坐标原点建立空间直角坐标系：，由题易知平面PAD的法向量为， 6分假设存在Q满足条件：设，设平面PAQ的法向量为， 10分，由已知：解得：，所以：满足条件的Q存在，是EF中点。 12分21.（）由题意得 ，所以 ，所以所求的椭圆方程为 4分（） 由（1）知，由题意可设 ，因为 ，所以 6分由 整理得 ，因为 ，所以 ， 8分所以 ， 10分所以 即 为定值 12分22. 解: ()因为的面积为,所以， 2分代入椭圆方程得， 抛物线的方程是： 4分（）显然直线不垂直于轴，故直线的方程可设为，与联立得.设,则.6分由直线OC的斜率为,故直线的方程为，与联立得，同理，所以 8分可得要使，只需 10分即解得，所以存在直线: 符合条件 12分3
