超材料和变换光学

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1、由超材料到变换光学的发展简史与基本原理超材料(Metamaterial)并不是一个定义得很清楚的术语，其中的字根 meta意指超越，相当於英文的beyond.般而言，此一术语意指 一些特别设计的人工结构,能像均匀材料那样对电磁场(波)或声波,弹性 波反应(response),但却具有天然材料所没有的反应特性1.这些特性 包 括 : 高 频人 工磁 性 (artificial magnetism) 2, 负 磁 导 率 (negative permeability) 3, 负折射指数 (negative index of refraction) 4, 以及双 曲型色散关系 (hyperbolic

2、 dispersion) 5,6 等.这些有趣的特性导致一些 迷人的现象,例如负折射 (negative refraction) 7, 次波长成像 (subwavelength imaging) 8, 电磁场增益 (field enhancement) 9, 以及 近场远场转换 (near-to-far field conversion) 5,6 等.根据这些现象,在 过去数年已有许多新颖的元件被设计与制作出来,并已被测试.例如超透 镜 (superlens) 8,10, 双曲透镜 (hyperlens) 6, 工作频率在微波频段的 隐形斗篷 (invisibility cloak) 11,

3、以及电浆子波导 (plasmonic waveguide) 12等.这些工作显示了超材料研究在微波与光波研究方面 都有很好的理论与应用前景.研究超材料的最初目的主要是为了创造一种具有很强的高频磁响应 (strong magnetic response at high frequency) 特性的人工材料或结构 2. 当这个目的实现后,研究人员又成功的设计并制作了能同时具有等效负 磁导率与负介电常数 (negative permittivity) 13 的周期性金属结构.此 种双负 (double negative, or DNG) 材料会具有等效的负折射率 3,4, 因而可以具体实现V. G.

4、 Veselago在40年前就预测过的把光折 向错误的方向(bending light the wrong way)亦即负折射现象.在 2000 年,英国 Imperial College 的 John B. Pendry 教授更进一步指出:一 块 具 有 负 介 电 常 数 与 负 磁 导 率 的 平 板 材 料 不 只 可 以 将 传 导波 (propagating waves) 折向错误 的方向 ,甚至还 可以放 大消逝波 (evanescent waves) 8.当平板的 与 值都非常接近 的时候,平板与真空 的电磁阻抗值 (electromagnetic impedance) 几乎相

5、等 ,所以此平板将不 反射电磁波.另一方面, 与 值都非常接近 也表示 与 的虚部 (imaginary part) 非常小,所以平板介质不吸收电磁波.此时若将一个点光 源 (其周围的光场同时具有传导波与消逝波 ) 靠近此平板,则此平板将 会 成 为 一 个 透 镜 . 此 透 镜 藉 由 抵 消 传 导 波 的 相 位 累 积 (phase accumulation) 与放大消逝波而将来自点光源的所有光聚焦至一个宽度 远小於波长的像(此现象称为次波长成像，subwavelength imaging)，因而 可突破绕射极限 (diffraction limit) 8,9.这种次波长成像效应又称

6、为超 透镜效应 (supelensing effect) 14. 此效应的关键是消逝波的增益或放大, 而此增益现象其实是来自於点光源之近场 (即点光源光场中的消逝波 成份) 与沿著平板表面传播的电 (对应於) 与磁 () 版本的表面 电浆偏极子波 (surface plasmon-polariton waves) 的耦合15.有鉴於 此,Pendry进一步论证:若点光源发出的是TM波(磁场与平板表面平 行,但电场具有垂直於平板表面的分量),既使平板介质不是双负介质, 而只有 (为接近 1 的正值),只要满足准静态条件 (quasistatic condition, 即波长远大於平版厚度以及点光

7、源至平板的距离),次波长成像依然会发 生8.依据这个想法,一片够薄的银薄膜 (厚度约为几十个奈米) 就可以 做到次波长成像.这些能够次波长成像的平板透镜,一般被称作超透镜 (superlens) 10.这些早期的发展吸引了大量的研究人员投入了相关现象的理论分析 ,数 值模拟,以及实验测试,并在最后确认了负折射现象与次波长成像效应在 微波频段的真实性9-10最近几年的发展更近一步验证了部份超材料 概念在更高频段，甚至是光学频段的有效性16.然而，超材料概念其实 有许多微妙之处(subtleties);这些微妙之处在媒体的报导中虽然经常被 忽略,却是研究者必须面对并解决的问题 1 5- 1 7 .

8、例如,虽然超透镜能将 点光源的光聚焦为一个次波长的光点 ,但由於此聚焦的主要机制利用的 是消逝波,因此成像几乎都在近场的范围 19.这会使得次波长的成像无 法用丨般的光学元件做进一步处理与分析.1除了负折射与次波长成像之外，超材料还有许多有趣的应用.此处说 明其中的两项 :双曲透镜 (hyperlens) 5,6 与隐形斗篷 (invisibility cloak) 11，20，21.双曲透镜可以说是改良式的超透镜 .点光源的近场 光 (次波长光源) 可穿透双曲透镜在其中传播，并在出射端被转 换成传导波，最后在远场区 (far field zone) 形成点光源的放大实像， 如此即可避免超透镜

9、那种只能在近场成像的缺点 .目前设计的双曲 透镜都是将一维光子晶体 (1D photonic crystal) 卷成多层圆柱结构 (multilayered cylindrical structure) 而制成的 ，并且只能在 TM 波的 情况下使用.用於制造双曲透镜的一维光子晶体 ，在每一个空间周期 中包含有一层负介电常数材料 (通常是金属) 以及一层正介电常数 材料.此一维光子晶体的工作频率经过适当选择 ，使其满足以下条 件.1. 工作波长至少要比晶格常数 （空间周期） 大许多倍 （通常需要 10 倍以上）,使得此多层结构可近似於一个均匀介质 ,如此才可直接 套用超材料概念,以原来的一维光

10、子晶体的等效介质行为去预测弯 曲结构的行为.2. 各层介质之介电常数的虚部都要够小 ,使吸收效应 可以忽略.3. 在一个周期中的两种介质层的厚度比要适当选择 ,使得 沿周期方向与平行於介质层表面所对应的平均等效介电常数之符号 相反.4. 层数不能太少.层数太少时,近场光虽然可耦合入此透镜中并 在其中传播,但在出射端将无法被转换为传导波 （后面会再做进一步 说明）.一个设计良好的双曲透镜所成的放大实像可以用传统光学元 件处理与分析,因此较超透镜方便许多.然而,双曲透镜目前只能用於 TM 波 （磁场平行於圆柱轴）,且几何结构都是圆柱形 ,因此还有需要 改进的空间 （见 Fig.1）.Fig.1 可

11、在远场成放大实像的双曲透镜（Images courtesy the Zhang Lab, UC Berkeley） 接下来介绍隐形斗篷 （invisibility cloak） 11,20,21.所谓隐形斗篷, 就是用适当电磁材料所制成的一个壳,而藏在这个壳里面的物体 不但不会被外界看到,连这个壳本身都不能被外界看到 .入射到隐形 斗篷的光线不会被散射,而是会沿著这个壳绕过.这些光线於绕过斗 篷后会沿著入射前的轨迹传播,并且不产生壳的阴影.在这个过程中, 由於光线不会穿透进入中心的空腔 ,所以藏在空腔里的物体不会与 外界有电磁交互作用 .John B. Pendry 等人已於 2006 年的

12、Science 杂志上发表了一个符合 Maxwell 方程式的隐形斗篷理论 11.根据 此一理论,在连续与平滑的任意坐标变换之下，Maxwell方程式的形式可以维持不变 ,代价是介电常数与磁导率的表达式可能会变得很 复杂 一般而言它们会变成非等向的 (anisotropic) 与非均匀的 (inhomogeneous).更精确一点说，它们都是所谓的张量密度(tensor densities) 22,23.对於这个座标变换可以采用以下两种观点做解释 24.第一种:空间,电磁场,介质都没有变,只是座标系的选择被改变了 (就像把笛卡儿座标换成球座标 ),因此介质相对於座标系的表现 (represen

13、tation) 改变了.第二种:空间,介质与电磁场都改变了,但坐标 系没变.隐形斗篷的设计关键,即在於先采用第一种观点做座标变换, 再将变换结果用第二种观点解释 .由於在变换之后的介质与原来的 介质之间存在著一对一的对应关系,因此光线在转换后介质 (transformed medium) 的轨迹也只不过是转换前那个轨迹的座标变 换.根据这个想法,可以选择真空做为转换前的介质空间 (真空对光 线不散射,也不制造阴影) ,而埋 (embedded) 在其中的一颗真空球作 为座标变换的操作范围 ,将此球转换为一个壳,并采用第二种观点去 解释，就完成了一个隐形斗篷的设计了.杜克大学(Duke Univ

14、ersity)的 科学家已经制造出了一个可在微波频段下几乎隐形 (还是有部份的 散射) 的二维隐形斗篷 20.为了在实验上较容易制作,此斗篷所采 用的介电与导磁参数并非直接根据座标变换所得的理论参数 ,而是 将它们换成了另一组现阶段在实验上就做得到的参数 ,称为约化参 数 (reduced parameters). 光线在这个以裂环共振器 (split-ring resonator) 的环状周期阵列设计成的约化参数斗篷中(壳区) 的传播轨迹会与理想斗篷的一致 ,但约化参数斗篷外表面与真空的 阻抗 不会完全匹配,因此还是会有一些散射,并不是百分之百隐形的 20. 上述这些关於隐形斗篷的理论与实验

15、研究解放了科学家的想像力 , 激起了一股隐形斗篷与超材料的研究热潮一个更好的二维斗篷或 是三维斗篷,甚至是光学隐形斗篷的实现,似乎都是很有希望的.除了上述这些发展外，还有许多相关的研究工作，此处仅举数例:1.以 光子晶体 (photonic crystal) 与声子晶体 (phononic crystal 或 sonic crystal) 平板实现电磁波与声波的负折射及次波长成像 25-27; 2. 利用水池底高度的周期变化影响水波的传播 ，使其产生负折射及次 波长成像28; 3.声波超材料与声波隐形斗篷29-32; 4.物质波 (量子波)超材料与隐形斗篷33; 5.电浆子(波)相关的现象研究

16、 与元件设计 34.隐形斗篷理论与实验的发展，不仅打开了研究者的眼界，更将超材料 的研究带入了一个全新的时代.超材料早已不只是人工磁性材 料或负折射光学材料的代名词，而是用以建构更复杂的非均 匀 ，非等向电磁材料的砖块或晶胞 (unit cells of a crystal). 当人们能设计具有任意介电常数与磁导率的砖块 ，又能够确认这 些砖块的局部组合具有跟砖块本身一样的电磁特性 (此点已获 得部份的成功)，那麼只要连续地改变放在不同位置的砖块参数 (电磁参数与局部指向)，就可以建构出任何可能的电磁介质，实现理论 上所讨论的座标变换介质(transformed medium).这个迷人的可能性 催生了一门新学问的诞生 ，这个仍然没有明确定义的学术领域目前 暂时