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1、第二章傅立叶变换分析方法1引言系统（或信号）时域描述：线性差分方程，单位脉冲响应.频域描述：傅立叶变换,Z变换.=今今时域特征频域特征滤波器频域特征滤波后信号2序列的傅立叶变换 1定乂 ： X (ej) E x (n )e-m ；n = -X (em )称为x(n)的傅立叶变换,也称频谱函数.简记 X (ej )=FTx(n);注意1当定时,e - Jn是n的序列产内积投影分量 注意2结果x (e扣)是的连续函数.2. x (n)的 FT 存在=E I x (n )13 ；n = 一83.傅立叶反变换:x (n) =j X (ej )eJn d . 2冗冗简记 x(n)=IFTx (。抻).4
2、. X (ej)的幅频，相频表示：X (ej) = X (ei) ej 岫x (ej)例1求（n）的FT.解 X (ei) = 了s (n) e -jn = 1,n = 一8例2求x (n) = R (n)的傅立叶变换.4解 对任给一个& G 0, 2冗,有ZN 一 1、, R (n) e - j =乙 e - j Nn = 一8n = 01 一 e一jne一jn/2(ejn/2 一 e-加n/2)e - j /2( ej /2 e - j /2)sin( N /2)=e - j ( n 1)/2sin( /2)当 N=4 时,有x (ej) = e- j3/2 n(2 ) sin( / 2)
3、由于当 =冗时，序列=cos n瓦变化最剧O =冗e - jn 烈，即数字频率最高值为cos(npi)图:n=-3 -2 -1 0 1 2 3 4; stem(n,cos(n*pi);Xw）的程序计算说明：对每个w有N-1X (e ) = x(n)e-Jwn = x(0), x(1),., x(N - 1) | n = 0对各个w ,2w 00Kw 有:X (5 o), Xg -币(N-l)X(eA-0)lg-o-21g-jwo-Kl，I e-o10g-jw 11=x(0),x(2V-l)|g-jwo-l(N-l) g-jw2(N-l) g-JwK(N-l)1 - 0- 2 0K - 01 -
4、 1- 2 1K - 1,.,.=x ( 0 X, (1 X, N.-, (e-Jw01_1) N( 1)N ) 1K) N J( 1 )-0 -11,2,., K .=X (0), x (1)，x (N - 1)( e - Jw 0) l_N -1J%X(w)的作图xn=1 1 1 1; n=0:3;k=0:100; w=pi/50*k;xw=xn*(exp(-j*pi/50).A(n*k);magx=abs(xw);magx2=magx,magx; w2=w-2*pi,w,; % 拼成 2pi angx=angle(xw); angx2=angx,angx;%X(5 )的幅频图 subpl
5、ot(2,1,1);plot(w2,magx2);%X(eiw )的相频图subplot(2,1,2);plot(w2,angx2);%也可直接作出X w=0:2*pi/100:2*pi;plot(w,abs(sin(2*w)./sin(w/2);Warning: Divide by zero.3序列的傅立叶变换性质1.周期性（关于w）8X (e j(+2冗m) = x(n)e- j(必+2冗m)n = x (e j)n = -82. 线性性设X (ej ) = FT x (n), X (ej ) = FT x (n), 1122则FT ax (n) + bx (n) = aX (ei ) +
6、 bX (ej ).(Va,b )证按定攵即得.2123. 时移，频移设X(e扑)=FTx(n),则FTx(n - n ) = e-加 X(e加)； 0FT ei o nx (n) = X (eg-%证由定义得 FTx(n - n ) = E x(n - n )e-加 n 00n = -8m = n - n yo 乙 x(m)e-拘m-加n0 = e-所0 X(e肿)m =-8(ii) FTejonx(n) = X ejonx(n)e-加nn = -88H MH(Ke Je80)n H X (e Jeo3).a n 8演 I%* (n k )3FT4 0蒲 y(ewnF TR【aiaN 0H
7、ej顶 X (ew ).a)(0)势海迓势海遂“ a)势海*蔷滓势海 “H(ln) hh(k)s()Jw二洞一 9m(ii)称X (n)是共轭反对称序列:若X (- n) = -X *(n);(2)频域上对称(关于w)。)称X(e )是共轭对称函数：若X(e-j) = X *(ej )；(ii)称 X (ej)是共轭反对称函数若 X (e-j) = - X * (ej)；例2分析x (n) = ej n的对称性.解因x(-n) = ef n = x*(n),故x(n)共轭对称.共轭对称序列的虚实分解:实部偶+j虚部奇；x (n) = x (n) + jx (n), x (- n) = x (-
8、 n) + jx (- n) 由x(-n) = x * (n),得x (-n) = x (n), x (-n) = -x () v2共辄反好称序列南虚实昇解:实矗奇+j虚部偶 例3分析y()=力加”对称性.j(n) = je- = (jej5)* =(力加”)* = j*(n) =共魏反对称,实部奇,虚部偶. 实成)的FT为共巍对称(主要)设X(em)=广 x(n)e-J 9 则n = ooX (e )=乙 x (n )e JnGy、乙 x (n )e -JnGyn = - oo第13页共19页)（易得,对纯jx （n）的FT为共轭反对称）（4）复序列的FT性质（介绍）设 x (n) = x
9、(n) + jx (n),作 FT 得X (ej ) = FT x (n) = FT x (n ) + FT jx (n)X (e 扣)+ X (ej ).其中X (ej )共轭对称，X (ej )共轭反对称.时域中虚实分解= 频域中共轭对称与反对称分解5.时域卷积（=频域乘积）前有 y (n) = x(n) * h(n) = X x(m)h(n 一 m),现有m = fZ、， 乙 x (m) h (n 一 m) e-加nn = 一8 m = 一8令k = n - m，得、， 乙 x(m)e一皿mh(k)e一 jkk = 一8 m = -=H (em ) X (e 加)6(时域乘积=)频域卷积
10、设y(n) = x(n)h(n),则有Pn = -p:二 2冗冗H (ei9 )ej9 n d 9 I e - i n JY (e 加)=FT y (n)=乙 x (n)h (n)e -加 nn = 一81 j H (ej ) X x(n)e-jnejQnd92 一瓦n = 一8 J H (e羚)X x(n)e-j。-9)nd92 一冗n = 一81j H (ei9)X (ei(9)d9 = H (e加)* X (e加)一艮口 Y （e加）=H （e加）* X （em ）.2冗7.帕斯维尔（Parseval）（时频能量守恒）X lx (n)2 = 1X (e 加)2d& I2冗丸n = 一8证
11、设 y (n) = x (n )|2 = x (n) x * (n )及X x* (n)e-加n = | X x(n)ejn= X (e-抻)* = X *(e-加),n=8n=8则有Y(eh ) = FTy(n) = FTx(n)x*(n)=乙 x (n) x * (n) e -j nn = 81=X (e 加)* X * (e -询)1.-=j X (e JQ)X *(e-j(0-0 )d0 2冗冗令。= 0 ,得8乙 x (n) x * (n)= J X (ej)X *(ej )d9 2 一=1 J X (ej )2d9 .2 一部分性质汇总在表2.3.1中，P39.作业P481；3； 4(1,3,5); 5; 8(1,3); 9(2).
