高等数学上册第一章函数与极限 （一）函数函数定义及性质（有界性.单调性、奇偶性■周期性）;2、反函数.复合函数.函数的运算；3、函数f 3）在X 0连续’二- a lim f ( x ) = f ( x ) f 0 0初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函【、双曲函数、反双曲函数； 函数的连续性与间断点；r第一类：左右极限均存在可去间断点、跳跃间断点第二类：左右极限、至少有一个不存在无穷间断点、振荡间断点5、闭区间上连续函数的性质：有界性与最大值最小值定理、零点定理、介值定理及其推论二）极限1、定义1）数列极限lim 工=a = > 0, 3N e N, Vn > N,工 一 a <8n s n2)函数极限lim f 3) = A°V8 >0, 35 >0, Vx,当0 n ) >2) lim y = lim z = ans n ns n j， * lim x = an—8 n2)单调有界准则：单调有界数列必有极限。
3、 无穷小（大）量1)定义：若lima=0则称为无穷小量潘临a=s则称为无穷大量2)无穷小的阶：高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、k阶无穷小Th1 a 〜p = p=a + o(a)；lim当（无穷小代ac c B'„ 一， BTh2 a 〜a',〜B',lim 存在，则 lim a a换)4、求极限的方法1）单调有界准则;2）夹逼准则；3)极限运算准则及函数连续性；4）两个重要极限：a) lim丑=1X T 0 xb) lim(1 + x) X = lim (1 + J_) x = eX—0 X T+8 X5)无穷小代换：（x - 0a) x 〜sin x 〜tan x - arcsin x - arctan xb) 1 - cos x 〜1 x 2c) ex — 1 〜x ( ax — 1 〜xln a )d) ln(1 + x) 〜xx(loga (1 + x)-e) (1 + x)a — 1 - a x第二章导数与微分定义：f R) = lim f ⑴一 f (*o — x 0(一) 导数x 一 x0左导数：f' (x ) = lim竺也冥一 0 x 一 x - x 一 色00右导数：f'(x ) = lim f(x)一 f(x0)+ 0 八 + x — xxf 0函数 f (x)在 x 0 点可导o f (x0) = f；(x0)2、几何意义：f '(x°)为曲线y = f (x)在点(x0, f (x0))处的切线的3、 可导与连续的关系:4、 求导的方法1)导数定义2)基本公式3)测运算4)复合函数求导(链式法则);5)隐函数求导数；6)参数方程求导；7)对数求导法。
5、 高阶导数1)定义：d 2 y = d ( dy ':/—d Ux)2)Leibniz公式:")〃)=于 Cku(k)贝〃--)k=0(二) 微分1)定义：Z = f (x°+Ax) - f (x「= A电 + o(Ax)，其中a 与从无关2)可微与可导的关系：可微° 可导，且dy = f'(x )Ax = f'(x )dx 0 0第三章微分中值定理与导数的应用(一) 中值定理1、Rolle定理：若函数f (x)满足：1 ) f (x) e C[a, b] ； 2)f (x) e D(a, b) ； 3)f (a) = f (b)；则 *e (a, b), 使f 心)=0.2、Lagrange中值定理：若函数f⑴满足：1) f (x) e C[a,b] ； 2) f (x) e D(a,b)；则必(a, b), 使f (b) - f (a) = f '(&)(b - a).3、Cauchy中值定理：若函数f (x), F(x)满足：1 ) f (x), F(x) e C[a, b] ； 2 ) f (x), F(x) e D(a, b) ； 3 )F'(x)丰 0, x e (a, b)则弗e (a, b),使f (b) 一 f⑴=定 F(b) - F(a) F'&)（二）洛必达法则注意:=1、尽量先化简（有理化、无穷小代换、分离非零因子） 再用洛必达法则！J1 一 x2 - cos xtan4 x如：limx T 02、对于某些数列极限问题，可化为连续变量的极限， 然后用洛必达法则！ 成+妙］2/lim 2"如：n s3、洛必达法则是一种很有效的方法，但不是万能的!「 x + cos(x2)如：lim XT+oO X2 1x cos —如：lim——； 'I。
sin x(三)Taylor公式n 阶 Taylor 公式:f ( x ) = f ( x ) + f(x )(X — X)+ ' " (x — X)2 + …+^^(X-%)+ (、- X )n+1(n +1)! 0&在X 0与X之间.当X0 =0时,成为n阶麦克劳林公式f(X) = f(0) + 曾 f''(0)X + _ X2 + …+ 5 Xn + f!：：!)^^! Xn+1~^T n! (n +1)!常见函数的麦克劳林公式：, 1 1 庆ex = 1 + x + X2 + • • • + Xn + Xn+11) 2! n (n +1)!&在0与1之间，—8V X <+8 ；一」 13 .sin x — x — — + 3!X 5 X 7 — 5! 7!X 2 m—1 + (2 m — 1)!sin & + (2m +1)(2m + 1)!&在0与X之间，—8< X <+8 ；― 1 X2cos X — 1 一 — 2!cosX 4 X 6 / 八 X 2 m—2+ — — — + …+ (—1) m—1 + 4! 6! (2m — 2)!g + 2m -；72m)!―g在0与X之间，—8< X <+8 ;X 2 X3 X 4 /八 Xn (—1) nXn+14 ) ln(1 + x) — x — + — + ... + (—1)n—1 + 2 3 4 n (n +1)(1 + g )〃+1g在0与X之间，TvXv1兀~2X 2 m+1(1+xk -1+ax+a(a—1)X2 +竺一1y X3 + ..・+她-1)…(a-〃+1),〃 2^ 3!n!a (a — 1) (a — n)(1 + g)«-n-1+ ( 1)! xn+1 ,&在0与x之间，—1 V x V 1(四) 单调性及极1、单调性判别法：f⑴e C[a,b] , f (x) e D(a,b),则若 f X x) > 0，则f (x)单调增加；则若f X x) v 0，则f (x)单2、极值及其判定定理：a)必要条件：f(x)在x0可导，若x0为f (x)的极值点，则f(x0) = 0.b) 第一充分条件：f (x)在x0的邻域内可导，且f <(x0) = 0，则 ①若当 x V x0 时，f (x) > 0，当 x > x0 时，f' (x) V 0，则 x0 为极大值点；@若当x V x0时，f，(x) v 0，当x > x0时， f( x) > 0，则x0为极小值点；③若在x0的两侧f X x)不变 号，则x0不是极值点。
c) 第二充分条件：f (x)在x0处二阶可导，且f (x0) = 0，f (x0)丰 0，则①若尸(x0) V 0，则x0为极大值点；@若f (x0) > 0，则x0 为极小值点3、凹凸性及其判断，拐点.、 广, 、W I_ x — y» z
五) 不等式证明1、利用微分中值定理;2、利用函数单调性；3、利用极值(最值)(六) 方程根的讨论连续函数的介值定理；2、Rolle定理；3、函数的单调性；4、极值、最5、凹凸性七）渐近线1、 铅直渐近线：lim f （x） = 3，则x = a为一条铅■渐近线;x T a2、 水平渐近线：lim f⑴=b，则y = b为一条水平渐近线;x T3.一 [. f （x）lim[f (x)-kx] = b 存在，则 x s3、 斜渐近线：limp = kx T3 xy = kx+b为一条斜渐近线八）图形描绘步骤:1. 确定函数"f 3）的定义域，并考察其对称性及周期性；2. 求f（x）, f\x）并求出矿3）及f©）为零和不存在的点；3.列表判别函数的增减及曲线的凹向，求出极值和拐点;4.求渐近线;5. 确定某些特殊点，描绘函数图形.第四章不定积分(一)概念和性质1、 原函数：在区间I上，若函数F (x)可导，且F (x) f(x)， 则F (x)称为f (x)的一个原函数2、 不定积分：在区间I上，函数f(x)的带有任意常数的原函数 称为f (x)在区间I上的不定积分3、 基本积分表(P188， 134、 性质(线性性)。
二) 换元积分法1、 第一类换元f[ (x)] (x)dx2、 第二类换元f (x) dx f[ (t)](三) 分部积分法：udv uv个公式)；法(凑微分)： f(u)du u (x)法(变量代换)：(t)dtt *)vdu(四)有理函数积分2,变量代换(三角代换.倒代换«\第五章定积。