广义兔子数列通项公式探究梁辉中学 黄俊淇 摘要：定义并讨论广义斐波那契数列的通项公式，以此可简单的求出各种类兔子数列的 通项公式和各项数值关键词：斐波那契数列、广义、通项公式引言：斐波那契数列(Fibonacci sequence),指的是这样一个数列：0、1、1、2、3、5、8、13、21、34、 其中a二a + a (n±2, n^N*)斐波那契数列的发明者，是n n-1 n-2意大利数学家列昂纳多•斐波那契(Leonardo Fibonacci)o而且当n趋向于无穷大时，前一 项与后一项的比值越来越逼近黄金分割，所以又称黄金分割数列斐波那契数列又因数学家 列昂纳多•斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”兔子数列的通项公1 r 1+J5、 ，1 —75、「式为：a = [( ) n - ( ) n )]具体推算过程这里就不再赘述，那么当数列中n v'5 2 2的a ,a是其他常数而不是1的时候，或者a和a 、a 之间的递推关系并不是简单1 2 n n-1 n-2的1倍之和的时候，数列的通项公式又将是什么样子的呢？所以我们需要将兔子数列的定义范畴扩大来进行探究正文：定义广义斐波那契数列：所有根据前两项导出第三项的通用规则的数列：a二pa + qa ，(n±2, n£N*)称为广义斐波那契数列。
n n-1 n-2现在我们来探究广义斐波那契数列的通项公式设：a — da =卩(a — d )，其中 ex + P = pn n-1 n-1 n -2d0 — — qd,卩为关于x的一兀次方程x2 — px — q — 0的解d, P —设数歹 U b — a —d a ，贝y b — a —d a b — a —d an n n—1 n—1 n—1 n—2 2 2 1•°・数列b为首项为b，公比为P的等比数列I b — b 0 n-2n 2 n 2a —da — (a —da )0n—2 ①n n —1 2 1由于d,卩地位相同，也可以得到a — pa — d (a — 0 )n n—1 n—1 n—2同理可得：a — 0a — (a — 0a )dn-2 ②n n —1 2 1P ± P 2 + 4q2(a — 0a )d n—1 — (a — da ) 0 n —1d—0— 2 1 2 1为广义兔子数列的通项公式数列中的& a 2为已知常数当厶=p2 + 4q >0时，d, 0为不相等的两个实数根当厶=p2 + 4q vo时，a,卩为不相等的两个虚数根不影响通式的计算) 当厶=p2 + 4q =0时，a,卩为相等的两个实数根。
这个时候通项公式的分母等于0会导 致无意义的情况出现，显然通项公式在a二卩时是不成立的当a =卩时，p = 2a、q =-a 2，数列的递推公式为：a = 2aa —a2an n—1 n—21我们这里用先猜想再证明的方法求解通项公式，先假设a二，a = 1,a = 1……2 1 21 3 1 5则a =a — a 可计算a = ,a = ,a — 将它们的分母转化后即可发n n —1 4 n — 2 3 4 4 2 5 16n现规律猜想：a二 ，我们可以用数学归纳法证明，这里就不展开了n 2 n—1以此为依据猜想广义兔子数列a二pa + qa ，(n±2, n^N*),当p2 + 4q =0n n—1 n —2时，即递推公式为：a二2aa —a2a 时，通项公式为：a二(kn + b)・a n—1n n —1 n — 2 n当n二1时，a1 = k + b ；当n - 2时，a 2 = (2k + b)a解这个二元一次方程组可得:a — aa 2aa — ak = 2 1 b = 1 亠•得到 a 二[(a —aa )n + 2aa — a ]an—2a a n 2 1 1 2我们用数学归纳法进行证明：当n二1时，a = a成立。
当n = 2时，a = a 成立1 1 2 2 假设当n二m -1和n = m时，通项公式成立那么当n二m +1时：a = 2aa —a 2 am+1 m m—1=2a [(a —aa )m + 2aa 一 a ]a m-2 — a 2 [(a 一 aa )(m 一 1) + 2aa 一 a ]a m—32 1 1 2 2 1 1 2=[(a —aa )(m+1)+2aa —a ]am—12 1 1 2•当 n = m +1 时，通项公式也成立• a =[(a —aa )n+2aa —a ]an—2 成立 (证毕)n 2 1 1 2我们也可以用代数运算的方法得到通项公式a = 2aa — a 2an—m+2n—m+1n—m{m-1}式a=2aa — a 2a{1}式nn —1n—2a= 2aa—a2a{2}式n —1n—2n—3an—2= 2aan—3—a2an—4{3} 式a 二 2aa —a2an - m +1 n - m n - m -1{m} 式a 二 2aa —a2an-m n-m-1 n-m-2{m+1} 式a = 2aa —a 2 a543{n-4}式a = 2aa - a 2a4 3 2{n-3}式a = 2aa - a 2 a3 2 1{n-2}式其中 2 < m < n - 3 ,当{1}式 X la 0 +{2}式 X 2a 1 +{3}式 X 3a 2 +{m-l}式 X(m - 1)a m-2 +{m}式 X ma m-1+{m+1}式 X (m + 1)a +{n-4}式 X (n - 4)an- +{n-3}式X (n - 3)a n-4 +{n-2}式 X (n - 2)a n-3 时,左边有关a 的项为：(m +1)a man-m n-m右边有关a 的项为：2ma - am-1a - (m - 1)a2 -am-2a = (m + 1)aman-m n-m n-m n-m•°・左边=右边，即a 都合并为0n-m•: a = —(n — 3)an一2 a + 2(n — 2)a n-2 a — (n — 2)an-1 a n 2 2 1=[(a — aa )n + 2aa — a ]a n-2 证毕2 1 1 2结束语：广义斐波那契数列a = pa + qa , (n^2, n^N*)通项公式为:n n-1 n-2S _0a1)a“-1 -(a2 一叫0门其中a,p 二 p土，严当厶=p2 + 4q工0时，通项公式都有意义。
当△二p2 + 4q =0时:通项公式为：a = [(a -aa )n + 2aa -a ]an—2 其中 p = 2a、q =-a 2，特别地，当 n 2 1 1 2a二1时，成为了简单的等差数列当p、q分别取各种不同数值的时候形成各种不同的数 列，包括卢卡斯数列、佩尔—勾股弦数等等参考文献：《普通高中课程标准实验教科书数学必修5》 人民教育出版社 2010 《初等数列》 哈尔滨工业大学出版社 2014版《关于数学归纳法的逻辑基础》 陕西师范大学 罗增儒 2011《广义斐波那契数列》 孔宪明 山东泰山学院 2007。