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1、1中考素养提升专练中考素养提升专练(一一)类型一二次根式1【规律探究】将一组数 3，6，3，2 3，15，87，310 按下面的方式进行排列：3，6，3,2 3，15，3 2，21，2 6，3 3，30，按这样的方式进行下去，将 15 所在的位置记为(1，5)，26 所在的位置记为(2，3)，那么：(1)30 所在的位置应记为 _(2，5)_；(2)在(4，1)的位置上的数是 _4 3 _，62 所在的位置应记为 _(5，4)_；(3)这组数中最大的有理数所在的位置应记为 _(6，2)_2【数学文化】著名数学家斐波那契曾研究一列数，被称为斐波那契数列(按照一定顺序排列的一列数称为数列)，这个数
2、列的第 n 个数为15(1 52)n(1 52)n(n 为正整数)，例如这个数列的第 8 个数可以表示为15(1 52)8(1 52)8.根据以上材料，完成下列计算：(1)求这个数列的第 1 个数；(2)求这个数列的第 2 个数解：(1)第 1 个数为15(1 521 52)15 5 1(2)第 2 个数为15(1 52)2(1 52)215(1 521 52)(1 521 52)151 5 1.类型二勾股定理3【勾股树问题】如图，在ABC 中，ACB90，ACBC43，这个直角三角形三边上分别有一个正方形 执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作直角边长之比为43 的直角三角形，再分别以所得
3、到的直角三角形的直角边为边作正方形图是 1 次操作后的图形，图是 2 次操作后的图形如果图中的直角三角形的周长为 12，那么 10 次操作后的图形中所有正方形的面积之和为 DA225B250C275D30024【赵爽弦图】如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形 ABCD、正方形 EFGH、正方形 MNPQ 的面积分别为 S1、S2、S3.若 S1S2S360，则 S2的值是 CA12B15C20D305【阅读理解】勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理在我国古书周髀算经中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了
4、验证勾股定理，创制了一幅“弦图”(如图)，后人称之为“赵爽弦图”，流传至今【实践操作】(1)请叙述勾股定理；(2)验证勾股定理，请利用图中的数据来验证该定理；【探索发现】(1)如图，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，则这三个图形中面积关系满足 S1S2S3的有 _个；(2)如图所示，分别以直角三角形的三边为直径作半圆，设图中两个月形图案(图中阴影部分)的面积分别为 S1、S2，直角三角形的面积为 S3，请判断 S1，S2，S3之间的关系，并说明理由解：【实践操作】(1)如果直角三角形的两条直角边分别为 a，b，斜边为 c，那么 a2b2c2(或：在直角三角形中
5、，两条直角边的平方和等于斜边的平方)(2)证明：在图中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形的面积之和即 c212ab4(ba)2，化简，得 a2b2c2【探索发现】(1)3(2)结论：S1S2S3，理由如下：S1S212(a2)212(b2)2S312(c2)2，S1S218(a2b2c2)S3.又a2b2c2，S1S2S36【新定义问题】我们新定义一种三角形：两边的平方和等于第三边平方的 4 倍的三角形叫做常态三角形例如：某三角形的三边长分别是 5，6 和 8，因为 6282452100，所以这个三角形是常态三角形3(1)若ABC 的三边长分别是 3，25 和 4，则
6、此三角形 _常态三角形(填“是”或“不是”)；(2)若RtABC 是常态三角形，求此三角形的三边长之比(将三边按从小到大排列)；(3)如图，在RtABC 中，BC4，ADDBDC，若BCD 是常态三角形，求ABC 的面积解：(1)是(2)设RtABC 的两直角边长为 a，b，且 ab，斜边长为 c，则 a2b2c2.又RtABC是常态三角形，b2c24a2，b2a2b24a2，2b23a2，b62a，c a2b2a232a2102a，abca62a102a 2 3 5，此三角形的三边长之比为 2 3 5(3)ADBDCD，AACD，BBCD，ACBACDBCD12(AACDBBCD)1218090.BCD 是常态三角形，当 CD2BD24BC2时，即 CD2BD2442，BDCD4 2，AB8 2，AC AB2BC2（8 2）2424 7，此时 SABC12ACBC124 7 48 7；当 CD2BC24BD2时，即 CD2424BD2，BDCD4 33，AB8 33，AC AB2BC2（8 33）2424 33，此时 SABC12ACBC124 3348 33.综上所述，ABC 的面积为 87 或8 33
