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1、学术讲座论文经过为期两周的学术讲座课程，我感觉自己学到了很多以前 不知道的知识，也或者可以说是更深一步的了解。下面我主要谈 一下对“非线性科学一混沌一分形”这个课题的理解。一、在这篇论文里我真正了解了所谓线性系统是指输出与输 入成正比的系统，而非线性系统是指除线性系统以外的所有系统 （即输出与输入不成正比的系统）。线性与非线性物理现象有着 本质的差异和不同的特征：1、从结构上看，线性系统的基本特 征是可叠加性或可还原性，部分之和等于整体，几个因素对系统 联合作用的总效应，等于各个因素单独作用效应的加和；因而描 述线性系统的方程遵从叠加原理，即方程的不同解加起来仍然是 方程的解；分割、求和、取极
2、限等数学操作，都是处理线性问题 的有效方法；而非线性则指整体不等于部分之和，叠加原理失效。 从运动形式上看，线性现象一般表现为时空中的平滑运动，可以 用性能良好的函数表示，是连续的，可微的；而非线性现象则表 现为从规则运动向不规则运动的转化和跃变，带有明显的间断 性、突变性。2、从系统对扰动和参量变化的响应来看，线性系 统的响应是平缓光滑的，成比例变化；而非线性系统在一些关节 点上，参量的微小变化往往导致运动形式质的变化，出现与外界 激励有本质区别的行为，发生空间规整性有序结构的形成和维 持。正是非线性作用，才形成了物质世界的无限多样性、丰富性、 曲折性、奇异性、复杂性、多变性和演化性。二、所
3、谓混沌，是指发生在确定性系统中的貌似随机的不规 则运动，一个确定性理论描述的系统，其行为却表现为不确定性 的不可重复、不可预测，这就是混沌现象。谈及“蝴蝶效应”， 我想大家肯定不陌生。从科学的角度来看，“蝴蝶效应”反映了 混沌运动的一个重要特征：系统的长期行为对初始条件的敏感依 赖性。经典动力学的传统观点认为：系统的长期行为对初始条件 是不敏感的，即初始条件的微小变化对未来状态所造成的差别也 是很微小的。可混沌理论向传统观点提出了挑战。混沌理论认为 在混沌系统中，初始条件的十分微小的变化经过不断放大，对其 未来状态会造成极其巨大的差别。进一步研究表明，混沌是非线 性动力系统的固有特性，是非线性
4、系统普遍存在的现象。牛顿确 定性理论能够完美处理的多为线性系统，而线性系统大多是由非 线性系统简化来的。因此，在现实生活和实际工程技术问题中， 混沌是无处不在的！混沌有三个主要特征：对初始条件的敏感依赖性（初始条 件的微小差别在最后的现象中产生极大的差别，或者说，起初小 的误差引起灾难性后果），极为有限的可预测性（当系统进入 混沌过程后，系统或表现为整体的不可预言，或表现为局部的不 可预言），混沌的内部存在着超载的有序（混沌内部的有序是 指混沌内部有结构，而且在不同层次上其结构具有相似性，即所 谓的自相似性）。其实混沌有很多重要的应用，比如混沌与经济学、混沌与艺 术、混沌与学习。下面我主要浅谈
5、一下混沌与学习：实际上，学 习活动无论从微观尺度（例如，一次思考）到宏观尺度（例如，学 校教育）都有混沌的潜规则在发挥作用，这些作用甚至可能完全 改变一个人的终身轨迹，可能会有巨大的成功，也可能会陷入不 可避免的怪圈中。我们以前都学过，“不积跬步，无以至千里”，“勿以善小而不为，勿以恶小而为之”，这些所阐明的道理都是 跟混沌学有关的，因为微小的的变化会引起巨大的结果差异。人 类的大脑是最复杂的物体，近十年来的神经生理学的研究已经让 人们更多地认识了大脑。虽然在细节的工作机制上仍然需要不断 探索，但是我们毕竟已经可以将很多成果应用到学习理论的分析 中。除了我们从前所提到的可塑性和阶段性，大脑中神
6、经元的工 作机理也逐步清晰：一些比较底层的神经元从它的数千个树突上 获得外界的信号，然后这些神经元的任务就是做出评判。学习的 混沌法则自然会指向一个学习效率和有效性的问题。所以作为终 身学习者，必须要理解和掌握一些基于混沌法则的学习技能。每 个人都会建立自己的学习模式，这些模式之间是有差别的，不但 包含了智力因素、习惯因素，还有一些情感因素（例如，好奇心、 价值观等）。如果能够在学习活动中把握了这些因素细微之处的 重要性，则必然会达到叠加发展的效果，让自己的轨迹变成优势 曲线。三、下面主要通过分形几何来具体分析分形的含义。普通几 何学研究的对象，一般都具有整数的维数。比如，零维的点、一 维的线
7、、二维的面、三维的立体、乃至四维的时空。最近十几年 的，产生了新兴的分形几何学，空间具有不一定是整数的维，而 存在一个分数维数，这是几何学的新突破。分形几何学的基本思想是：客观事物具有自相似的层次结 构，局部与整体在形态、功能、信息、时间、空间等方面具有统 计意义上的相似性，成为自相似性。例如，一块磁铁中的每一部 分都像整体一样具有南北两极，不断分割下去，每一部分都具有 和整体磁铁相同的磁场。这种自相似的层次结构，适当的放大或 缩小几何尺寸，整个结构不变。维数是几何对象的一个重要特征 量，它是几何对象中一个点的位置所需的独立坐标数目。在欧氏 空间中，人们习惯把空间看成三维的，平面或球面看成二维
8、，而 把直线或曲线看成一维。也可以稍加推广，认为点是零维的，还 可以引入高维空间，对于更抽象或更复杂的对象，只要每个局部 可以和欧氏空间对应，也容易确定维数。但通常人们习惯于整数 的维数。分形理论认为维数也可以是分数，这类维数是物理学家 在研究混沌吸引子等理论时需要引入的重要概念。为了定量地描 述客观事物的“非规则”程度，1919年，数学家从测度的角度 引入了维数概念，将维数从整数扩大到分数，从而突破了一般拓 扑集维数为整数的界限。分形几何学已在自然界与物理学中得到了应用。如在显微镜 下观察落入溶液中的一粒花粉，会看见它不间断地作无规则运动 （布朗运动），这是花粉在大量液体分子的无规则碰撞（每
9、秒钟多 达十亿亿次）下表现的平均行为。布朗粒子的轨迹，由各种尺寸 的折线连成。只要有足够的分辨率，就可以发现原以为是直线段 的部分，其实由大量更小尺度的折线连成。这是一种处处连续， 但又处处无导数的曲线。这种布朗粒子轨迹的分维是2,大大高 于它的拓扑维数1。近几年在流体力学不稳定性、光学双稳定器 件、化学震荡反映等试验中，都实际测得了混沌吸引子，并从实 验数据中计算出它们的分维。学会从实验数据测算分维是最近的 一大进展。分形几何学在物理学、生物学上的应用也正在成为有 充实内容的研究领域。四、总结：对于这次的学术讲座，个人觉得应该算是比较成 功的，因为我们都从中学到了很多知识。非常感谢学校为我们开 设了这门课程，或许我们所学到的知识不会马上显现出效果，但 是我相信这在以后的学习以及生活中一定会发挥其作用的。
