第2讲 等差数列及前n项和考纲展示 命题探究1 等差数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示，定义的表达式为an＋1－an＝d，d为常数．2 等差中项如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项，且A＝.3 等差数列的通项公式及其变形通项公式：an＝a1＋(n－1)d，其中a1是首项，d是公差．通项公式的变形：an＝am＋(n－m)d，m，n∈N*.4 等差数列的前n项和等差数列的前n项和公式：Sn＝＝na1＋d.5 等差数列的单调性当d>0时，数列{an}为递增数列；当d<0时，数列{an}为递减数列；当d＝0时，数列{an}为常数列．注意点 定义法证明等差数列时的注意事项(1)证明等差数列时，切忌只通过计算数列的a2－a1，a3－a2，a4－a3等有限的几个项的差后，发现它们都等于同一个常数，就断言数列{an}为等差数列．(2)用定义法证明等差数列时，常采用an＋1－an＝d，若采用an－an－1＝d，则n≥2，否则n＝1时无意义.1．思维辨析(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．( )(2)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2.( )(3)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的．( )(4)数列{an}为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数．( )(5)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数．( )答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)× (5)×2．等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝6，a3＝4，则公差d等于( )A．1 B.C．2 D．3答案 C解析 因为S3＝＝6，而a3＝4.所以a1＝0，所以d＝＝2.3．等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝2，S3＝12，则a6等于( )A．8 B．10C．12 D．14答案 C解析 ∵S3＝＝3a2＝12，∴a2＝4.∵a1＝2，∴d＝a2－a1＝4－2＝2.∴a6＝a1＋5d＝12.故选C. [考法综述] 等差数列的定义，通项公式及前n项和公式是高考中常考内容，用定义判断或证明等差数列，由n，an，Sn，a1，d五个量之间的关系考查基本运算能力．命题法1 等差数列的基本运算典例1 等差数列{an}的前n项和记为Sn.已知a10＝30，a20＝50.(1)求通项an；(2)若Sn＝242，求n.[解] (1)由an＝a1＋(n－1)d，a10＝30，a20＝50，得方程组解得a1＝12，d＝2.所以an＝2n＋10；(2)由Sn＝na1＋d，Sn＝242，得方程12n＋×2＝242，解得n＝11或n＝－22(舍去)．【解题法】 等差数列计算中的两个技巧(1)等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题．(2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法．命题法2 等差数列的判定与证明典例2 数列{an}满足a1＝1，a2＝2，an＋2＝2an＋1－an＋2.(1)设bn＝an＋1－an，证明{bn}是等差数列；(2)求{an}的通项公式．[解] (1)证明：∵an＋2＝2an＋1－an＋2，∴bn＋1－bn＝an＋2－an＋1－(an＋1－an)＝2an＋1－an＋2－2an＋1＋an＝2.∴{bn}是以1为首项，2为公差的等差数列．(2)由(1)得bn＝1＋2(n－1)，即an＋1－an＝2n－1，∴a2－a1＝1，a3－a2＝3，a4－a3＝5，…，an－an－1＝2n－3，累加法可得an－a1＝1＋3＋5＋…＋(2n－3)＝(n－1)2，∴an＝n2－2n＋2.【解题法】 等差数列的判定方法(1)定义法：对于n≥2的任意自然数，验证an－an－1为同一常数．(2)等差中项法：验证2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N*)成立．(3)通项公式法：验证an＝pn＋q.(4)前n项和公式法：验证Sn＝An2＋Bn.1．在等差数列{an}中，若a2＝4，a4＝2，则a6＝( )A．－1 B．0C．1 D．6答案 B解析 设数列{an}的公差为d，由a4＝a2＋2d，a2＝4，a4＝2，得2＝4＋2d，d＝－1，∴a6＝a4＋2d＝0.故选B.2.已知{an}是等差数列，公差d不为零，前n项和是Sn.若a3，a4，a8成等比数列，则( )A．a1d>0，dS4>0B．a1d<0，dS4<0C．a1d>0，dS4<0D．a1d<0，dS4>0答案 B解析 由a＝a3a8，得(a1＋2d)(a1＋7d)＝(a1＋3d)2，整理得d(5d＋3a1)＝0，又d≠0，∴a1＝－d，则a1d＝－d2<0，又∵S4＝4a1＋6d＝－d，∴dS4＝－d2<0，故选B.3．设{an}是首项为a1，公差为－1的等差数列，Sn为其前n项和．若S1，S2，S4成等比数列，则a1的值为________．答案 －解析 由已知得S1＝a1，S2＝a1＋a2＝2a1－1，S4＝4a1＋×(－1)＝4a1－6，而S1，S2，S4成等比数列，所以(2a1－1)2＝a1(4a1－6)，整理得2a1＋1＝0，解得a1＝－.4.已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an≠0，anan＋1＝λSn－1，其中λ为常数．(1)证明：an＋2－an＝λ；(2)是否存在λ，使得{an}为等差数列？并说明理由．解 (1)证明：由题设，anan＋1＝λSn－1，an＋1an＋2＝λSn＋1－1.两式相减得an＋1(an＋2－an)＝λan＋1.由于an＋1≠0，所以an＋2－an＝λ.(2)由题设，a1＝1，a1a2＝λS1－1，可得a2＝λ－1.由(1)知，a3＝λ＋1.令2a2＝a1＋a3，解得λ＝4.故an＋2－an＝4，由此可得{a2n－1}是首项为1，公差为4的等差数列，a2n－1＝4n－3；{a2n}是首项为3，公差为4的等差数列，a2n＝4n－1.所以an＝2n－1，an＋1－an＝2.因此存在λ＝4，使得数列{an}为等差数列．等差数列及其前n项和的性质已知{an}为等差数列，d为公差，Sn为该数列的前n项和．(1)有穷等差数列中与首末两项等距离的两项的和相等，即a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝…＝ak＋an－k＋1＝….(2)等差数列{an}中，当m＋n＝p＋q时，am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)．特别地，若m＋n＝2p，则2ap＝am＋an(m，n，p∈N*)．(3)相隔等距离的项组成的数列是等差数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等差数列，公差为md(k，m∈N*)．(4)Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…也成等差数列，公差为n2d.(5)也成等差数列，其首项与{an}首项相同，公差是{an}的公差的.(6)在等差数列{an}中，①若项数为偶数2n，则S2n＝n(a1＋a2n)＝n(an＋an＋1)；S偶－S奇＝nd；＝.②若项数为奇数2n－1，则S2n－1＝(2n－1)an；S奇－S偶＝an；＝.(7)若数列{an}与{bn}均为等差数列，且前n项和分别是Sn和Tn，则＝.(8)若数列{an}，{bn}是公差分别为d1，d2的等差数列，则数列{pan}，{an＋p}，{pan＋qbn}都是等差数列(p，q都是常数)，且公差分别为pd1，d1，pd1＋qd2.注意点 前n项和性质的理解等差数列{an}中，设前n项和为Sn，则Sn，S2n，S3n的关系为2(S2n－Sn)＝Sn＋(S3n－S2n)不要理解为2S2n＝Sn＋S3n.1．思维辨析(1)等差数列{an}中，有a1＋a7＝a2＋a6.( )(2)若已知四个数成等差数列，则这四个数可设为a－2d，a－d，a＋d，a＋2d.( )(3)若三个数成等差数列，则这三个数可设为：a－d，a，a＋d.( )(4)求等差数列的前n项和的最值时，只需将它的前n项和进行配方，即得顶点为其最值处．( )答案 (1)√ (2)× (3)√ (4)×2．若Sn是等差数列{an}的前n项和，a2＋a10＝4，则S11的值为( )A．12 B．18C．22 D．44答案 C解析 由题可知S11＝＝＝＝22，故选C.3．在等差数列{an}中，若a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝90，则a10－a14的值为( )A．12 B．14C．16 D．18答案 A解析 由题意知5a8＝90，a8＝18，a10－a14＝a1＋9d－(a1＋13d)＝a8＝12，选A项． [考法综述] 等差数列的性质是高考中的常考内容，灵活应用由概念推导出的重要性质，在解题过程中可以达到避繁就简的目的．命题法1 等差数列性质的应用典例1 等差数列{an}中，如果a1＋a4＋a7＝39，a3＋a6＋a9＝27，则数列{an}前9项的和为( )A．297 B．144C．99 D．66[解析] 由a1＋a4＋a7＝39，得3a4＝39，a4＝13.由a3＋a6＋a9＝27，得3a6＝27，a6＝9.所以S9＝＝＝＝9×11＝99，故选C.[答案] C【解题法】 应用等差数列性质应注意(1)要注意等差数列通项公式及前n项和公式的灵活应用，如an＝am＋(n－m)d，d＝，S2n－1＝(2n－1)an，Sn＝＝(n，m∈N*)等．(2)如果{an}为等差数列，m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq( m，n，p，q∈N*)．一般地，am＋an≠am＋n，必须是两项相加，当然也可以是am－n＋am＋n＝2am.因此，若出现am－n，am，am＋n等项时，可以利用此性质将已知条件转化为与am(或其他项)有关的条件．命题法2 与等差数列前n项和有关的最值问题典例2 等差数列{an}中，设Sn为其前n项和，且a1>0，S3＝S11，则当n为多少时，Sn最大？[解] 解法一：由S3＝S11得3a1＋d＝11a1＋d，则d＝－a1.从而Sn＝n2＋n＝－(n－7)2＋a1，又a1>0，所以－<0.故当n＝7时，Sn最大．解法二：由于Sn＝an2＋bn是关于n的二次函数，由S3＝S11，可知Sn＝an2＋bn的图象关于n＝＝7对称．由解法一可知a＝－<0，故当n＝7时，Sn最大．解法三：由解法一可知，d＝－a1.要使Sn最大，则有即解得6.5≤n≤7.5，故当n＝7时，Sn最大．解法四：由S3＝S11，可得2a1＋13d＝0，即(a1＋6d)＋(a1＋7d)＝0，故a7＋a8＝0，又由a1>0，S3＝S11可知d<0，所以a7>0，a8<0，所以当n＝7时，Sn最大．【解题法】 求等差数列前n项和的最值的方法 (1)二次函数法：用求二次函数最值的方法(配方法)求其前n项和的最值，但要注意n∈N*.(2)图象法：利用二次函数图象的对称性来确定n的值，使Sn取得最值．(3)项的符号法：当a1>0，d<0时，满足的项数n，使Sn取最大值；当a1<0，d>0时，满足。
