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1、全国各地中考试题压轴题精选讲座抛物线与几何问题【知识纵横】 抛物线的解析式有下列三种形式：1、一般式：(a0)；2、顶点式：y =a(xh) 2k；3、交点式：y=a(xx 1)(xx 2 ) ，这里x 1、x 2 是方程ax 2 +bx+c=0的两个实根。 解函数与几何的综合题，善于求点的坐标，进而求出函数解析式是解题的基础；而充分发挥形的因素，数形互动，把证明与计算相结合是解题的关键。【典型例题】【例1】 (浙江杭州) 在直角坐标系xOy中，设点A（0，t），点Q（t，b）。平移二次函数的图象，得到的抛物线F满足两个条件：顶点为Q；与x轴相交于B，C两点（OBOC），连结A，B。（1）是否
2、存在这样的抛物线F， ？请你作出判断，并说明理由；（2）如果AQBC，且tanABO=，求抛物线F对应的二次函数的解析式。【思路点拨】（1）由关系式来构建关于t、b的方程；(2)讨论t的取值范围，来求抛物线F对应的二次函数的解析式。【例2】(江苏常州)如图,抛物线与x轴分别相交于点B、O,它的顶点为A,连接AB,把AB所的直线沿y轴向上平移,使它经过原点O,得到直线l,设P是直线l上一动点.（1）求点A的坐标;（2）以点A、B、O、P为顶点的四边形中,有菱形、等腰梯形、直角梯形,请分别直接写出这些特殊四边形的顶点P的坐标;（3）设以点A、B、O、P为顶点的四边形的面积为S,点P的横坐标为x,当
3、时,求x的取值范围. 【思路点拨】（3）可求得直线的函数关系式是y=-2x，所以应讨论当点P在第二象限时，x0这二种情况。BOAPM【例3】（浙江丽水）如图，在平面直角坐标系中，已知点坐标为（2，4），直线与轴相交于点，连结，抛物线从点沿方向平移，与直线交于点，顶点到点时停止移动（1）求线段所在直线的函数解析式；（2）设抛物线顶点的横坐标为,用的代数式表示点的坐标；当为何值时，线段最短；（3）当线段最短时，相应的抛物线上是否存在点，使的面积与的面积相等，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由【思路点拨】（2）构建关于的二次函数，求此函数的最小值；（3）分当点落在直线的下方时、当点落在直线
4、的上方时讨论。【例4】（广东省深圳市）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象的顶点为D点，与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点， A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），OBOC ，tanACO（1）求这个二次函数的表达式（2）经过C、D两点的直线，与x轴交于点E，在该抛物线上是否存在这样的点F，使以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由（3）若平行于x轴的直线与该抛物线交于M、N两点，且以MN为直径的圆与x轴相切，求该圆半径的长度（4）如图2，若点G（2，y）是该抛物线上一点，点P是直线AG下方的抛物线上一动点，当点P运动到什么位置时
5、，APG的面积最大？求出此时P点的坐标和APG的最大面积.【思路点拨】（2）可先以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形时，求F点的坐标，再代入抛物线的表达式检验。（3）讨论当直线MN在x轴上方时、当直线MN在x轴下方时二种情况。（4）构建S关于x的二次函数，求它的最大值。【例5】（山东济南）已知：抛物线(a0)，顶点C (1，)，与x轴交于A、B两点，（1）求这条抛物线的解析式（2）如图，以AB为直径作圆，与抛物线交于点D，与抛物线对称轴交于点E，依次连接A、D、B、E，点P为线段AB上一个动点(P与A、B两点不重合)，过点P作PMAE于M，PNDB于N，请判断是否为定值? 若是，请求出此
6、定值；若不是，请说明理由COxADPMEBNy（3）在(2)的条件下，若点S是线段EP上一点，过点S作FGEP ，FG分别与边AE、BE相交于点F、G(F与A、E不重合，G与E、B不重合)，请判断是否成立若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由【思路点拨】（2）证APMABE，同理: （3）证PH=BH且APMPBH再证MEPEGF可得。【学力训练】1、（广东梅州）如图所示，在梯形ABCD中，已知ABCD， ADDB，AD=DC=CB，AB=4以AB所在直线为轴，过D且垂直于AB的直线为轴建立平面直角坐标系（1）求DAB的度数及A、D、C三点的坐标；（2）求过A、D、C三点的抛物线的解析式及其
7、对称轴L（3）若P是抛物线的对称轴L上的点，那么使PDB为等腰三角形的点P有几个?（不必求点P的坐标，只需说明理由） 2、（广东肇庆）已知点A（a，）、B（2a，y）、C（3a，y）都在抛物线上.（1）求抛物线与x轴的交点坐标；（2）当a=1时，求ABC的面积；（3）是否存在含有、y、y，且与a无关的等式？如果存在，试给出一个，并加以证明；如果不存在，说明理由.3、（青海西宁）如图，已知半径为1的与轴交于两点，为的切线，切点为，圆心的坐标为，二次函数的图象经过两点yxOABMO1（1）求二次函数的解析式；（2）求切线的函数解析式；（3）线段上是否存在一点，使得以为顶点的三角形与相似若存在，请求
8、出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由AOxyBFC4、（辽宁12市）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过三点（1）求过三点抛物线的解析式并求出顶点的坐标；（2）在抛物线上是否存在点，使为直角三角形，若存在，直接写出点坐标；若不存在，请说明理由；（3）试探究在直线上是否存在一点，使得的周长最小，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由5、（四川资阳）如图，已知点A的坐标是（1，0），点B的坐标是（9，0），以AB为直径作O，交y轴的负半轴于点C，连接AC、BC，过A、B、C三点作抛物线（1）求抛物线的解析式；（2）点E是AC延长线上一点，BCE的平分线CD
9、交O于点D，连结BD，求直线BD的解析式；（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P，使得PDBCBD?如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由yxODECFAB6、（辽宁沈阳）如图所示，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴的负半轴上，边在轴的正半轴上，且，矩形绕点按顺时针方向旋转后得到矩形点的对应点为点，点的对应点为点，点的对应点为点，抛物线过点（1）判断点是否在轴上，并说明理由；（2）求抛物线的函数表达式；（3）在轴的上方是否存在点，点，使以点为顶点的平行四边形的面积是矩形面积的2倍，且点在抛物线上，若存在，请求出点，点的坐标；若不存在，请说明理由7、（苏州市）如图，抛物线ya(x
10、1)(x5)与x轴的交点为M、N直线ykxb与x轴交于P(2，0)，与y轴交于C若A、B两点在直线ykxb上，且AO=BO=，AOBOD为线段MN的中点，OH为RtOPC斜边上的高(1)OH的长度等于_；k_，b_；(2)是否存在实数a，使得抛物线ya(x1)(x5)上有一点E，满足以D、N、E为顶点的三角形与AOB相似?若不存在，说明理由；若存在，求所有符合条件的抛物线的解析式，同时探索所求得的抛物线上是否还有符合条件的E点(简要说明理由)；并进一步探索对符合条件的每一个E点，直线NE与直线AB的交点G是否总满足PBPG，写出探索过程AHCBy-2MODNxP 抛物线与几何问题的参考答案【典
11、型例题】【例1】 (浙江杭州)（1） 平移的图象得到的抛物线的顶点为, 抛物线对应的解析式为:. 抛物线与x轴有两个交点，. 令, 得，, )( )| ,即, 所以当时, 存在抛物线使得.- 2分(2) , , 得: ,解得. 在中,1) 当时,由 , 得, 当时, 由, 解得, 此时, 二次函数解析式为; 当时, 由, 解得, 此时，二次函数解析式为 + +. 2) 当时, 由 , 将代, 可得, ,（也可由代，代得到）所以二次函数解析式为 + 或. 【例2】(江苏常州) （1）A(-2,-4)（2）四边形ABP1O为菱形时，P1(-2,4)四边形ABOP2为等腰梯形时，P1()四边形ABP
12、3O为直角梯形时，P1()四边形ABOP4为直角梯形时，P1()（3） 由已知条件可求得AB所在直线的函数关系式是y=-2x-8,所以直线的函数关系式是y=-2x当点P在第二象限时，x0,过点A、P分别作x轴的垂线，垂足为A、P则四边形POAA的面积AAB的面积， 即 x的取值范围是BOAPM（第24题）【例3】（浙江丽水）（1）设所在直线的函数解析式为，（2，4），, ,所在直线的函数解析式为（2）顶点M的横坐标为，且在线段上移动， （02）.顶点的坐标为(,).抛物线函数解析式为.当时，（02）.点的坐标是（2，）. =， 又02，当时，PB最短（3）当线段最短时，此时抛物线的解析式为.假
13、设在抛物线上存在点，使. 设点的坐标为（，）.当点落在直线的下方时，过作直线/，交轴于点，DOABPMCE，点的坐标是（0，）.点的坐标是（2，3），直线的函数解析式为.，点落在直线上.=.解得，即点（2，3）.点与点重合.此时抛物线上不存在点，使与的面积相等.当点落在直线的上方时，作点关于点的对称称点，过作直线/，交轴于点，、的坐标分别是（0，1），（2，5），直线函数解析式为.，点落在直线上.=.解得：，.代入，得，.此时抛物线上存在点，使与的面积相等. 综上所述，抛物线上存在点， 使与的面积相等.【例4】（广东省深圳市）（1）方法一：由已知得：C（0，3），A（1，0） 将A、B、C三点的坐标代入得 解得：
