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1、第一节 变化率与导数、导数的计算考纲要求：1.了解导数概念的实际背景2理解导数的几何意义3. 能根据导数定义求函数y=c(c为常数)，y=x, y=x2, y=x3, y=|的导数.x4. 能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数,能求简单复合函数(仅限于形如y=f(ax+b)的复合函数)的导数.基础知识自查自纠 忆教材夯基提能1. 导数的概念(1) 函数y=f(x )在x=x0处的导数设函数y=fx),当自变量x从x0变到X时，函数值从fx0)变到f(x1),函数值y关于x的平均变化率为.Ay 二fxj.fxj 二.fx0+Ax)_fx0) AxX x0Ax当x趋于x
2、0,即Ax趋于0时，如果平均变化率趋于一个固定的值，那么这个值就是函 数y=fx)在x0点的瞬时变化率.在数学中,称瞬时变化率为函数y=fx)在x0点的导数.通 常用符号f (x)表示，记作f (xo)=lix叭=li m 严.00 x x0x x0Ar_04(2) 导数的几何意义函数y =fx)在x0处的导数，是曲线y =fx)在点(x0，fx0)处的切线的斜率.函数y =f(x) 在x0处切线的斜率反映了导数的几何意义.(3) 函数的导函数一般地，如果一个函数fx)在区间(a,b)上的每一点x处都有导数，导数值记为f (x)：f (x)=li mAx0fx+Ax)fx)Ax，则f (x)是
3、关于x的函数，称f (x)为fx)的导函数，通常也简称为导数.2导数公式及运算法则(1)导数公式表原函数导函数f(x) = c(c为常数)f (x) = 0fx)=xn(nWQ )f (x)=nxnfx) = sin xf (x) = cos xfx) = cos xf (x) =sin xfx)=axf (x)=axln afx) = exf (x)=exfx)=logaxf (x) xln afx)=ln xf (x)=x(2)导数的运算法则f(x)g(x) =f (x)gz (x)；fx)g(x) =f (x)g(x)+fx)gz (x)；(g(x)HO).丄 f (x)g(x).fx)
4、g，(x) g(x)2(3)复合函数的导数复合函数y=f(g(x)的导数和函数y=f(u), u=g(x)的导数间的关系为y =y u ,即xuxy对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积. 自我查验 1. 判断下列结论的正误.(正确的打“V”，错误的打“X”)(1) f (x0)与fx0)表示的意义相同.()(2) f (x0)是导函数f (x)在x=x0处的函数值.()(3) 曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点. ()(4) (sin I) = cos ()(5) 若(In x) =!，则 =ln x.()(6) 函数fx) = sin (x)的导数为f (x) = cos x.(
5、)(7) y = cos 3x 由函数 y=cos u, u = 3x 复合而成.()2. 曲线y=sinx+ex在点(0,1)处的切线方程是()Bx 2y2= 0D3x yl= 0A. x3y+3 = 0C. 2xy+l=O3. 求下列函数的导数x3 1(Dy=xnex； (2)y=亦.热点题型：分类突破析考，电强化认知考点一导数的运算1般考点自主练透】I典题 1 求下列函数的导数：(3) y=tanx；(4) y= 3xex 2xeln(2x+3)(5) y= X2+1导数的运算方法(1) 连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导(2) 分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为
6、简单的分式函数，再求导(3) 对数形式：先化为和、差的形式，再求导(4) 根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导(5) 三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导(6) 复合函数：确定复合关系，由外向内逐层求导考点二导数运算的应用1【重难考点师生共胡】I典题2 (1)(2015天津高考)已知函数fx)=axln x, x(0, +-),其中a为实数，f (x) 为fx)的导函数若f (1) = 3,则a的值为(2)已知fx)=2x2+2f (2 016)+2 016lnx,则f (2 016)=.易错警杀 在求导过程中,要仔细分析函数解析式的特点,紧扣法则,记准公式,预防运算错误
7、变式训练1. 若函数fx)=ax4+bx2+c 满足 f (1) = 2,则 f (-1)等于()A1 B2 C2 D02. 在等比数列a中，a, =2, a =4,函数 fx)=x(xaj(xaj 心一a8),则 f (0)n 1 8 1 2 8的值为考点三导数的几何意义K高频考点多维研析】I导数的几何意义是每年高考的必考内容, 考查题型既有选择题、填空题, 也常出现在解 答题的第(1)问中, 难度偏小, 属中低档题, 且主要有以下几个命题角度： 角度一：求切线方程典题3(1)(2016宜春模拟)曲线y=exln x在点(1, e)处的切线方程为()A.(1 e)x y+ 1 = 0B(1
8、e)x y 1 = 0C.(e1)xy+1=0D(e1)xy1=0(2) (2016*铜川模拟)设曲线y = ex+ax在点(0,1)处的切线与直线x+2y 1=0垂直，则实数 a= ()A.3 B1C.2 D0(3) 已知函数 f(x)=x34x2+5x4. 求曲线fx)在点(2, f(2)处的切线方程； 求经过点A(2, 2)的曲线fx)的切线方程.角度二：求切点坐标典题4(2015陕西高考)设曲线y=ex在点(0,1)处的切线与曲线y=注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线.曲线y=f(x)在点P(x0, fx。)处的 切线方程是yf(x0)=f (x0)(xx0)；求过某点的切线
9、方程，需先设出切点坐标，再依据已知 点在切线上求解. (如角度一)(x0)上点P处的x切线垂直，则P的坐标为.角度三：求参数的值典题5(1)若曲线fx)=acosx与曲线g(x)=x已知斜率k,求切点A(x0, f(x0),即解方程f (x0)=k.(如角度二) 根据导数的几何意义求参数的值时，一般是利用切点P(x0，y0)既在曲线上又在切线 上构造方程组求解.+bx+1在交点(0, m)处有公切线，则a+b = ()A1 B0C1D2(2) (2015新课标全国卷I )已知函数fx) = ax3+x+1的图像在点(1, f(1)处的切线过点(2,7),则 a=.(3) (2015新课标全国卷
10、II)已知曲线y=x+ln x在点(1,1)处的切线与曲线y=ax2+(a+2)x+ 1相切，贝y a=.当切线方程中x(或y)的系数含有字母参数时，则切线恒过定点.(如角度三)课堂归纳感悟提升方法技巧1. f (x0)代表函数fx)在x=x0处的导数值；(fx0)是函数值fx0)的导数，而函数值fx0) 是一个常数，其导数一定为0,即fx0M =0.2对于函数求导，一般要遵循先化简再求导的基本原则求导时，不但要重视求导法则 的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的 等价性，避免不必要的运算失误3奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数
11、还是周期函数易错防范1.曲线y=f(x) “在点P(x0, y0)处的切线与“过点P(x0, y0)的切线的区别：前者P(x0，y0)为切点，而后者P(x0，y0)不一定为切点.2利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆3直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定 是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点.4.曲线未必在其切线的同侧，如曲线y=x3在其过(0,0)点的切线y=0的两侧.课后作业提能演练(十四)练技能查漏补缺全盘巩固一、选择题1. 曲线y=ex在点A(0,1)处的切线斜率为()A. 1
12、B. 2 C. e D.1e2. (2016抚州模拟)已知函数fx)=*cosx,则f(n)+f ( =()3131a. n2 B._n2 C.n D一n1 P cos xI n 、3. 设曲线y= sinx在点匕，1丿处的切线与直线xay+1 = 0平行,则实数a等于()A. 1B.2 C.2 D. 24. (2016西安模拟)设直线y=2x+b是曲线y=ln x(x0)的一条切线，则实数b的值为()Aln 21 Bln 22C2ln 21 D2ln 225. (2016上饶模拟)若点P是曲线y=x2ln x上任意一点，则点P到直线y=x2的最 小值为( )A. 1 B.迈 C弩 D.V3二
13、、填空题6. 已知函数 f(x)=xln x,若 f (xQ) = 2,则 x0=.7. 若直线l与幕函数y=xn的图像相切于点A(2,8),贝V直线l的方程为.8. (2016商洛模拟)在平面直角坐标系xOy中，点M在曲线C： y=x3x 上,且在第二 象限内，已知曲线C在点M处的切线的斜率为2,则点M的坐标为.三、解答题9. 已知函数fx)=x3+x16.(1) 求曲线y=f(x)在点(2, 6)处的切线的方程；(2) 直线l为曲线y=f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标.10.设函数y=x22x+2的图像为C1,函数y=x2+ax+b的图像为C2,已知过C1与C2的一个交
14、点的两切线互相垂直，求a+b的值.冲击名校1. 下面四个图像中，有一个是函数fx)=|x3+ax2+(a2l)x+l(aWR)的导函数y=f (x)2. 已知曲线C： fx)=x3ax+a,若过曲线C外一点A(1,0)引曲线C的两条切线，它们的倾斜角互补，则a的值为()2727A.8 B.2 C. 2 D.83. 函数fx) = ex+x2+x+1与g(x)的图像关于直线2xy3 = 0对称，P, Q分别是函数f(x), g(x)图像上的动点，贝yiPQI的最小值为(A.4. 若曲线fx)=ax3+lnx存在垂直于y轴的切线，贝V实数a的取值范围是5.已知函数f(x) =|x32x2+3x(xR)的图像为曲线C.(1) 求过曲线C上任意一点切线斜率的取值范围；(2) 若在曲线C上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标的 取值范围.第二
