圆中辅助线添加技巧1. 辅助线方法：连半径、作垂直、构造直角三角形说明：此方法多用于求半径或弦长，利用勾股定理求长度方法依据：（垂径定理）垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧2. 辅助线方法：连中点说明：在圆中如果出现弦的中点或弧的中点，连接圆心和中点的线段方法依据：（垂径定理推论）①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧②平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧3. 与切线有关的辅助线作法： （1）点已知，连半径，证垂直说明：当直线和圆有一个公共点时，把圆心和这个公共点连接起来,则得到半径，然后证明直线垂直于这条半径 （2）点未知，作垂直，证半径说明：当直线和圆的公共点没有明确时，过圆心作直线的垂线，再证圆心到直线的距离（d）等于半径(r)3）见切线，连半径，得垂直说明：有圆的切线时，常常连接圆心和切点得切线垂直半径方法依据：切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径例题1 ⊙O的弦AB、CD相交于点P，且AC=BD求证：PO平分∠APD解析：由等弦AC=BD可得出弧AC等于弧BD，进一步得出弧AB等于弧CD，从而可证等弦AB=CD，由同圆中等弦上的弦心距相等且分别垂直于它们所对应的弦，因此可作辅助线OE⊥AB，OF⊥CD，易证△OPE≌△OPF，得出PO平分∠APD。
答案：证明：作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F∵AC=BD ∴∴∴AB=CD∴∴∠OPE=∠OPF ∴ PO平分∠APD.点拨：在解决与弦、弧有关的问题时，常常需要作出弦心距、半径等辅助线，以便应用于垂径定理和勾股定理解决问题例题2（鞍山一模）如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，以AC为直径作圆O，与BC交于点E，过点E作ED⊥AB，垂足为点D求证：DE为⊙O的切线解析：连接OE，根据等边对等角，由AB=AC得到∠B=∠C，再由半径OC与OE相等得到∠C=∠CEO，利用等量代换得到∠B=∠CEO，由同位角相等两直线平行，得到AB与EO平行，再根据两直线平行内错角相等，由角BDE为直角得到角DEO为直角，又OE为圆O的半径，根据切线的判断方法得到DE为⊙O的切线答案：证明：连接OE，∵AB=AC，∴∠B=∠C∵OC=OE，∴∠C=∠CEO， ∴∠B=∠CEO，∴AB∥EO，∵DE⊥AB，∴EO⊥DE，∵EO是圆O的半径，∴D为⊙O的切线 点拨：证明切线的方法有两种：有连接圆心与这点，证明夹角为直角；无点作垂线，证明垂线段长等于半径此题属于前一种情况思路点拨】几何证明中添加辅助线，其作用主要在于沟通“条件”和“结论”。
具体来说，就是把分散的条件集中使隐蔽的条件显露将复杂的问题化简，为推证创造条件，促成问题的最终解决圆中的辅助线的画法比较多，具体的题应该选用怎样的辅助线，关键还是要充分地顺推已知和逆推求证，配合恰当的辅助线找到已知和求证的衔接点例题 （合山市模拟）如图，大半圆O与小半圆O1相切于点C，大半圆的弦AB与小半圆相切于点F，且AB∥CD，AB=6cm，CD=12cm，则图中阴影部分的面积是（ ）cm2A. B. C. D. 解析：将⊙O1移动到O1与O重合，则F和F′重合，连接OB，得出阴影部分的面积是：S=（π×OB2－π×OF′2）－（S扇形AOB－S三角形AOB），求出OF′⊥AB，由垂径定理求出AF′=BF′=3cm，代入即可得出答案答案：解：将⊙O1移动到O1与O重合，则F和F′重合，连接OB，AO，∵AB∥CD，AB=6cm，CD=12cm，AB切⊙O1于F，∴O1F⊥AB，∴OF′⊥AB，∴由垂径定理得：AF′=BF′=3cm，在Rt△BOF′中，BF′=3cm，BO=CD=6cm，即BF′=OB，∵∠BOF′=30°，由勾股定理得：OF′= cm，同理∠AOF′=30°，∴∠AOB=60°，∴阴影部分的面积是S=（π×OB2－π×OF′2）－（S扇形AOB－S△AOB）=π×（OB2－OF′2）－ +×6×=π×BF′2－6π+9=π×9－6π+9 =（9－π）cm2。
故选A点拨：本题考查了勾股定理，垂径定理，切线性质等知识点，解此题关键是得出阴影部分的面积S=（π×OB2－π×OF′2）－（S扇形AOB－S三角形AOB）=π×BF′2－（S扇形AOB－S三角形AOB），题目的综合性较强答题时间：30分钟）一、选择题1. （毕节地区）如图，已知⊙O的半径为13，弦AB长为24，则点O到AB的距离是（ ）A. 6 B. 5 C. 4 D. 32. （娄底）如图，⊙O1、⊙O2相交于A、B两点，两圆半径分别为6cm和8cm，两圆的连心线O1O2的长为10cm，则弦AB的长为（ ）A. 4.8cm B. 9.6cm C. 5.6cm D. 9.4cm3. （内江）如图，半圆O的直径AB=10cm，弦AC=6cm，AD平分∠BAC，则AD的长为（ ）A. cm B. cm C. cm D. 4cm**4. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，⊙O为△ABC的外接圆，AC=6cm，BC=8cm，P为BC的中点动点Q从点P出发，沿射线PC方向以2cm/s的速度运动，以P为圆心，PQ长为半径作圆。
设点Q运动的时间为t s若⊙P与⊙O相切，则t的值是（ ）A. t=1 B. t=3 C. t=2或t=3 D. t=1或t=4**5.（日照三模）如图，AB是半圆的直径，点C是弧AB的中点，点E是弧AC的中点，连接EB，CA交于点F，则=（ ）A. B. C. D. 二、填空题6. （南京）如图，在⊙O中，CD是直径，弦AB⊥CD，垂足为E，连接BC，若AB=2cm，∠BCD=22°30′，则⊙O的半径为 cm7. （自贡）一个边长为4cm的等边三角形ABC与⊙O等高，如图放置，⊙O与BC相切于点C，⊙O与AC相交于点E，则CE的长为 cm8. （高淳县一模）如图，半径为2的两个等圆⊙O1与⊙O2外切于点P，过O1作⊙O2的两条切线，切点分别为A、B，与⊙O1分别交于C、D，则弧APB与弧CPD的长度之和为 9. （温州）如图，在矩形ABCD中，AD=8，E是边AB上一点，且AE= AB⊙O经过点E，与边CD所在直线相切于点G（∠GEB为锐角），与边AB所在直线交于另一点F，且EG︰EF=︰2当边AD或BC所在的直线与⊙O相切时，AB的长是 。
三、解答题10. （宜宾）已知：在△ABC中，以AC边为直径的⊙O交BC于点D，在劣弧上取一点E使∠EBC=∠DEC，延长BE依次交AC于点G，交⊙O于H1）求证：AC丄BH；（2）若∠ABC=45°，⊙O的直径等于10，BD=8，求CE的长11. （浦东新区二模）已知：如图，∠PAQ=30°，在边AP上顺次截取AB=3cm，BC=10cm，以BC为直径作⊙O交射线AQ于E、F两点，求：（1）圆心O到AQ的距离；（2）线段EF的长12. （上海）如图1，已知在平行四边形ABCD中，AB=5，BC=8，cosB= ，点P是边BC上的动点，以CP为半径的圆C与边AD交于点E、F（点F在点E的右侧），射线CE与射线BA交于点G1）当圆C经过点A时，求CP的长；（2）连接AP，当AP∥CG时，求弦EF的长；（3）当△AGE是等腰三角形时，求圆C的半径长一、1. B 解：过O作OC⊥AB于C，∴AC=BC= AB=12，在Rt△AOC中，由勾股定理得：OC= =52. B 解：连接AO1，AO2∵⊙O1，⊙O2相交于A、B两点，两圆半径分别为6cm和8cm，两圆的连心线O1O2的长为10cm，∴O1O2⊥AB，∴AC= AB，设O1C=x，则O2C=10－x，∴62－x2=82－（10－x）2，解得：x=3.6，∴AC2=62－x2=36－3.62=23.04，∴AC=4.8cm，∴弦AB的长为9.6cm。
故选B3. A 解：连接OD，OC，作DE⊥AB于E，OF⊥AC于F，∵∠CAD=∠BAD（角平分线的性质），∴=，∴∠DOB=∠OAC=2∠BAD，∴△AOF≌△ODE，∴OE=AF= AC=3（cm），在Rt△DOE中，DE= =4（cm），在Rt△ADE中，AD= =4（cm） 故选A4. D 解：作直线OP交⊙O于M和N，根据相切两圆的连心线过切点可得M、N为切点，①如图1，∵∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，由勾股定理得：AB=10cm，即⊙O的半径是5cm，∵O为AB中点，P为BC中点，∴OP= AC=3cm，∴PM=OM－OP=5cm－3cm=2cm，即PQ=2；时间t=2÷2=1（s）；②如图2，PN=ON+OP=5cm+3cm=8cm，PQ=PN=8cm，时间t=8÷2=4（s）5. D 解：连接OE、BC，OE与AC交于点M∵E为弧AC的中点，易证OE⊥AC，∵∠C=90°，∠AOE=45°，∴OE∥BC， 设OM=1，则AM=1，∴AC=BC=2，OA=，∴OE=，∴EM=－1，∵OE∥BC，∴二、6. 2 解：连接OB，如图，∵∠BCD=22°30′，∴∠BOD=2∠BCD=45°，∵AB⊥CD，∴BE=AE= AB=×2 =，△BOE为等腰直角三角形，∴OB=BE=2（cm）。
7. 3 解：连接OC，并过点O作OF⊥CE于F，且△ABC为等边三角形，边长为4，故高为2，即OC=，又∠ACB=60°，故有∠OCF=30°，在Rt△OFC中，可得FC=OC•cos30°=，OF过圆心，且OF⊥CE，根据垂径定理易知CE=2FC=38. 2π 解：连接O1O2、O2A、O2B∵O1A是切线，∴O2A⊥O1A，又∵O1O2=2O2A，∴∠AO1O2=30°，∴∠AO1B=60°，∠AO2B=120°，CPD的弧长=，APB的弧长=∴APB与CPD的弧长之和为2π9. 12或4 边AB所在的直线不会与⊙O相切；边BC所在的直线与⊙O相切时，如图，过点G作GN⊥AB，垂足为N，∴EN=NF，又∵EG︰EF=︰2，∴EG︰EN=︰1，又∵GN=AD=8，∴设EN=x，则，根据勾股定理得：，解得：x=4，GE=，设⊙O的半径为r，由OE2=EN2+ON2得：r2=16+（8－r）2，∴r=5∴OK=NB=5，∴EB=9，又AE= AB，∴AB=12同理，当边AD所在的直线与⊙O相切时，AB=4三、10. （1）证明：连接AD，∵∠DAC=∠DEC，∠EBC=∠DEC，∴∠DAC=∠EBC，∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC=90°，∴∠DCA+∠DAC=90°，∴∠EBC+∠DCA=90°，∴。