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1、高等数值分析第一次实验第一题构造例子说明CG的数值形态。当步数=阶数时CG的解如何？当A的最大特征值远 大于第二个最大特征值，最小特征值远小于第二个最小特征值时，方法的收敛性如何？解：(1)构造 1000 阶正定对称矩阵： 特征值设为 linspace(1, 1000, 1000)，构造对角阵 D = diag( linspace(1, 1000, 1000) )； 构造Householder阵HH = I -wtw,其中w的2范数为1,1是单位矩阵。根据Householder 矩阵的性质，知，H是对称正交矩阵。 构造对称正定矩阵A。A = HtDH。由于D是对角阵，H是对称的，所以A对称；又
2、因 为A的特征值是linspace(1, 1000, 1000) 0,因此A正交。综上，构造得到正定对称矩阵A。2)计算 Ax = b利用 matlab 编程实现 CG 算法。 b = rand(1000, 1) ， x0 = rand(1000, 1) 。计算每一步迭图1： log(llrk)与步数关系曲线。横坐标是迭代步数，纵坐标是残差的对数值。 如图所示，矩阵A的条件数越小，CG法收敛速度越快。(3)构造特殊特征值分布构造对称正定矩阵A1和A2。A1的特征值分布为linspace(le-4, le4, 1000)。对于A2, 首先为linspace(1, 10, 1000)，然后将其最小
3、特征值换成le-4，最大特征值换成1e4。进行(2)图 2：矩阵特征值分布对 CG 算法收敛性的影响如图2所示，A1和A2的条件数均为1e8，但A2的收敛速度远高于A1。这是因为， 在CG算法中，A的中间特征值分布对CG的收敛速度有巨大的影响。实际上，在经过几步后，CG的收敛因子将是：丄+1而非將-1n企+1 n因此，本题中 A2 矩阵的收敛速度较快。第二题对于同样的例子，比较 CG 和 Lanczos 的计算结果解：（1） 构造1000阶正定对称矩阵：与第一题相同，分别构造条件数为10、100、1000 的三 个对称正定矩阵。（2）利用Lanczos算法计算Ax = b。设置停机准则为残差小
4、于sqrt（eps）。在计算中分别采用CG和Lanczos方法，分别分析条件数为10、100、1000时的结果，如图3。50-10050100160200260迭代次数图 3：CG 法与 Lanczos 法比较如图所示，当矩阵A为对称正定时，两种方法效果相当，收敛速度基本一样。具体的 收敛性情况见表1。条件数CG法Lanczos 法迭代次数时间（秒）迭代次数时间（秒）10002051.64062042.73441001080.89061071.062510350.2656340.3125可以看到，由于Lanczos方法的每一步迭代中都有一个Lanczos过程，其中需要构造Tk 和Qk,以及计算
5、yk,故该方法需要耗费更长的计算时间。第三题当A只有m个不同特征值时，对于大的m和小的m,观察有限精度下Lanczos方法如何 收敛。解：根据前两题的思路与Lanczos算法，分别构建m = 10、50、100、1000四个矩阵A,设m10001005010迭代次数205634310可以看到,如果 A 只有 m 个不同的特征值,则 Lanczos 之多 m 步就可以找到精确解。 实验中，在 m 较大的时候，收到条件数和特征值分布的影响，算法收敛较快，远小于 m。 当m较小时，可能需要接近于m步才能找到准确解。第四题取初始值近似解为零向量,右端项b仅由A的m个不同特征向量的线性组合表示时,Lan
6、czos 方法的收敛性如何？数值计算中方法的收敛性和m的大小关系如何？解：根据前面的思路与Lanczos算法,A的特征值为linspace(l, 1000, 1000),分别构建m = 10、 50、100、1000四个矩阵A,即b分别由10、50、100、1000个A的特征向量线性表示，设m10001005010迭代次数192135214理论上, b 仅由 A 的 m 个不同特征向量的线性组合表示时, Lanczos 方法必然 m 步收 敛。但实际上，当m较大时，由于精度等方面的限制，m个特征向量并不都线性无关，所 以, m = 1000时只需187步迭代。而m = 100时迭代次数增多也是
7、由于数值精度引起的。第五题构造对称不定矩阵，验证 Lanczos 方法的近似中断，观察收敛曲线中的峰点个数和特征值 的分布关系；观测当出现峰点时，MINRES方法的收敛形态怎样。解：根据前面的思路与Lanczos、MINRES算法，分别构建负特征值个数为m = 0、10、100、 500矩阵A （1000维），设置停机准则为残差小于1e-6,分别计算Ax = b的解，如下图所示。少，当正负特征值个数相当时，峰点个数最多Lanczos算法收敛曲线发生了非常大的波动， 存在多个峰点，但相应的MINRES算法的收敛曲线却十分稳定，没有震荡。两种算法所需 的迭代次数相近（注：m = 500时均没有在1000步内达到收敛）。
