六法比较指数幂大小

六法比较指数幂大小“六法”比较指数幂大小 对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法． 1．转化法 例1 比较(3+22)-12与(2-1)的大小． 23解：∵3+22=(2+1)2=(2-1)-2， ∴(3+22)-12=[(2-1)]-2-12=2-1． 又∵0<2-1<1， ∴函数y=(2-1)x在定义域R上是减函数． ∴2-1<(2-1)，即(3+22)23-12<(2-1)． 23评注：在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断． ２．图象法 例2 比较0.7与0.8的大小． 解：设函数y=0.7与y=0.8，则这两个函数的图象关系如图． xxaaaaaa当x=a，且a>0时，0.8>0.7；当x=a，且a<0时，0.8<0.7；当x=a=0aa时，0.8=0.7． 评注：对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确． 3．媒介法 例3 比较4.1，5.6，ç-÷的大小． 34-121-234æ1öè3ø013解：∵5.6>5.6=1=4.1>4.10æ1ö>0>ç-÷， è3ø13∴5.6>4.134-12æ1ö>ç-÷． è3ø13评注：当底数与指数都不相同时，选取适当的“媒介”数，分别与要比较的数比较，从而可间接地比较出要比较的数的大小． ４．作商法 例４ 比较ab与ab的大小． abbaaabbæaö解：∵ba=ç÷abèbø又∵a>b>0，∴aæböæaögç÷=ç÷èaøèbøbaæaöæaög=ç÷ç÷èbøèbø-ba-b， a>1，a-b>0． bæaö∴ç÷èbøa-baabb>1，即ba>1．∴aabb>abba． ab评注：当底数与指数都不同，中间量又不好找时，可采用作商比较法，即对两值作商，根据其值与1的大小关系，从而确定所比值的大小．当然一般情况下，这两个值最好都是正数． 5．作差法 m-mn-n例5 设m>n>0，a>0，且a¹1，试比较a+a与a+a的大小． 解：(am+a-m)-(an+a-n)=am+a-m-an-a-n=(am-an)+(a-m-a-n) =an(am-n-1)+a-m(1-am-n)=(am-n-1)(an-a-m)． m-n-1>0． 当a>1时，∵m-n>0，∴a 又∵a>1，a∴(am-nn-m<1，从而an-a-m>0． -1)(an-a-m)>0．∴am+a-m>an+a-n． m-n当0n>0，∴a<1，a∴(am-n>1，故an-am<0． -1)(an-a-m)>0．∴am+a-m>an+a-n． m-m综上所述，a+a>an+a-n． 评注：作差比较法是比较两个数值大小的最常用的方法，即对两值作差，看其值是正还是负，从而确定所比值的大小． 6．分类讨论法 例6 比较a2x2+1与ax2+2的大小． 分析：解答此题既要讨论幂指数2x+1与x+2的大小关系，又要讨论底数a与１的大小关系． 解：令2x+1>x+2，得x>1，或x<-1． ①当a>1时，由2x+1>x+2， 从而有a2x2+1222222>ax2+2； 2 ②当01时，由2x+1ax2+2． 评注：分类讨论是一种重要的数学方法，运用分类讨论法时，首先要确定分类的标准，涉及到指数函数问题时，通常将底数与1的大小关系作为分类标准． 。