《2024年新高考数学二轮专题复习 导数大题证明不等式归类（原卷版+解析版）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2024年新高考数学二轮专题复习 导数大题证明不等式归类（原卷版+解析版）（112页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1导数大题证明不等式归类目录目录题型01不等式证明方法题型02 单变量构造：利用第一问结论题型03 单变量构造：数列型题型04 数列不等式：无限和裂项型题型05 数列不等式：累积相消型题型06 数列不等式：取对数型题型07 虚设根型证不等式题型08 利用函数“凸凹反转性”证明不等式题型09 同构型不等式证明题型10双变量型构造题型11 极值点偏移型：和型证明题型12 极值点偏移型：积型证明题型13 极值点偏移型：平方型证明题型14 三角函数型不等式证明题型15 韦达定理代换型题型16 切线放缩型证明高考练场题型01不等式证明方法【解题攻略】【解题攻略】利用导数证明不等式问题，基本思维方法如下：
2、(1)直接构造函数法：证明不等式f xg x(或f x0(或f x-g x0)，进而构造辅助函数h x=f x-g x；(2)适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；(3)构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.利用导数证明不等式的基本步骤(1)作差或变形；(2)构造新的函数h x；(3)利用导数研究h x的单调性或最值；(4)根据单调性及最值，得到所证不等式特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题21 1(陕西省澄城县20121-2022学年高三试数学(理)试题)设函数 f
3、(x)=lnx-x+1(1)讨论 f(x)的单调性；(2)证明：当x(1,+)时，12时，f(x)3x-4.3【变式训练】【变式训练】1(湖南省三湘名校教育联盟2021-2022学年高三数学试题)已知函数 f x=ex+ax+b，曲线y=f x在点 0,f 0处的切线方程为y=a-b(1)求a，b的值；(2)证明：f x02(湖北省华中师范大学潜江附属中学2021-2022学年高三4月数学试题)已知函数 f(x)=ax3-3lnx.(1)若a=1，证明：f(x)1；(2)讨论 f(x)的单调性.3(2022云南昆明统考模拟预测)已知函数 f(x)=x-sinx，x(0,+)(1)求曲线y=f(
4、x)在点2,f2处的切线方程；(2)证明：2ex f(x)+cosxex14题型02 单变量构造：利用第一问结论【解题攻略】【解题攻略】一些试题，可以通过对第一问分类讨论，得出一些不等式放缩式子或者放缩方向1.可以利用第一问单调性提炼出不等式2.可以利用第一问极值或者最值提炼出常数不等式3.可以利用题干和第一问结论构造新函数(新不等式)1 1(2023吉林长春长春吉大附中实验学校校考模拟预测)已知函数 f(x)=12x2-1-lnx.(1)求 f x的最小值；(2)证明：ln43732.2 2(2021下北京丰台高三统考)已知函数 f(x)=aex+bx+1在x=0处有极值2()求a，b的值；
5、()证明：f(x)ex-x5【变式训练】【变式训练】1(2021四川四川省绵阳南山中学校考模拟预测)设函数 f x=x2-2xex+aex-e2lnx，其中e为自然对数的底数，曲线y=f x在 2,f 2处切线的倾斜角的正切值为32e2+2e(1)求a的值；(2)证明：f x02(2022下山东聊城高三练习)已知函数 f(x)=xlnx.(1)讨论y=f(x)的单调性并求极值；(2)证明：当x1时，ln2(x+1)lnxln(x+2).3(20122安徽马鞍山统考模拟)已知函数 f x=ex-ax,aR.(1)若 f x在定义域内无极值点，求实数a的取值范围；(2)求证：当0a0时，f x1恒
6、成立.6题型03 单变量构造：数列型【解题攻略】【解题攻略】数列型不等式证明1.对于nN型数列不等式证明，可以转化为定义域为X1,在实数范围内证明不等式。2.一些特殊形式的数列不等式，可以通过选择合适的换元，构造新函数，注意因为n的正整数属性，注意对应换元的取值范围3.数列型不等式的证明，一般需要联系前面第一问的结论，对要证明的不等式进行适当的拆分凑配来证明1 1(2023吉林通化梅河口市第五中学校考模拟预测)已知函数 f x=1+1xx(x0)(1)证明：f xe；(2)讨论 f x的单调性，并证明：当nN N*时，2n+1ln n+11n2-1n3都成立7【变式训练】【变式训练】12023
7、吉林长春长春吉大附中实验学校校考模拟预测)设函数 f x=1-axln x+1-bx，其中a和b是实数，曲线y=f x恒与x轴相切于坐标原点1求常数b的值；2当0 x1时，关于x的不等式 f x0恒成立，求实数a的取值范围；3求证：100011000010000.4en2.3(2017下黑龙江大庆高三大庆中学校已知函数 f(x)=1-xax+lnx；(1)若函数 f(x)在1,+)上为增函数，求正实数a的取值范围；(2)当a=1时，求函数 f(x)在12,2上的最值；(3)当a=1时，对大于1的任意正整数n，试比较lnnn-1与1n的大小关系8题型04 数列不等式：无限和裂项型【解题攻略】【解
8、题攻略】证明不等式f 1+f 2+f n g n，该不等式左边是求和式，右边只有单独的一项，但可以通过变形将右边也转化为求和式，即g n=g n-g n-1+g n-1-g n-2+g n-2-g n-3+g 2-g 1+g 1-g 0这样一来，设bn=g n-g n-1nN*，则只需证f 1+f 2+f nb1+b2+bn，而要证明这个式子，可以证明左右两侧对应项的大小关系，即如果能够证出f nln2 nN*2 2(2023全国高三专题练习)已知函数 f(x)=2alnx-x2+a，aR(1)讨论函数 f x的单调性；(2)证明:2ln n+112+13+14+1n+1(nN N*)9【变式
9、训练】【变式训练】1(2023上浙江高三浙江省富阳中学校联考阶段练习)已知函数 f x=axlnx-x,(aR).(1)讨论 f x的单调性；(2)若x1时，f x-1，求实数a的取值范围；(3)对任意nN*，证明：12+23+34+nn+1+ln n+1 n.2(2023上福建厦门高三厦门市湖滨中学校考期中)已知函数 f x=kx,g x=lnxx.(1)若不等式 f xg x在区间 0,+内恒成立，求实数k的取值范围；(2)求证：ln224+ln334+.+lnnn41，g x=lnx+mf lnx，求证：g x0；(3)证明：ln51n+1n+1+15nnN N*10题型05 数列不等式
10、：累积相消型【解题攻略】【解题攻略】累加列项相消证明法证明不等式f 1 f 2 f n g n为例，该不等式左边是求积式，右边只有单独的一项，但可以通过变形将右边也转化为求和式，如转化为 累积相消型g n=g ng n-1g n-1g n-2g2g 1g 1这样一来，设bn=g ng n-1nN*，则只需证f 1 f 2 f nb1+b2+bn，而要证明这个式子，可以证明左右两侧对应项的大小关系，即如果能够证出f nbn恒成立，则原不等式也就成立.1 1(2022贵州铜仁高三贵州省铜仁第一中学阶段练习)已知函数 f(x)=aln x-ax-3(aR)(1)若a=-1，求函数 f(x)的单调区间
11、；(2)若函数y=f(x)的图象在点(2，f(2)处的切线的倾斜角为45，对于任意的t1,2，函数g(x)=x3+x2f(x)+mn(f(x)是 f(x)的导函数)在区间(t,3)上总不是单调函数，求m的取值范围；(3)求证：ln22ln33ln44lnnn1n(n2，nN*)2 2(2023全国高三专题练习)已知函数 f x=alnx+1-x(1)若 f x0，求a的值；(2)证明：当nN N+且n2时，ln222ln332ln442lnnn22nn(n+1)n2,nN N+.2(2023全国高三专题练习)设整数p1，nN*，x-1且x0，函数 f x=1+xp-px-1(1)求证：f x0
12、；(2)求证：1+111+131+15 1+12n-12n+13(2022全国高三专题练习)已知函数 f x=xlnx，g x=a x2-x2.(1)若 f xg x在 1,+上恒成立，求实数a的取值范围；(2)求证：1+1n+121+2n+12 1+nn+12e.12题型06 数列不等式：取对数型【解题攻略】【解题攻略】取对数型证明不等式f 1 f 2 f nt为例，该不等式左边是求积式，右边只有单独的一项常数，但可以通过取对数，把左边的积转化为对数和型，如转化为 累加或者累积相消型ln f 1 f 2 f nlntln f 1+ln f 2+ln f 3+ln f 2lnt1 1(2023
13、全国高三专题练习)已知函数 f x=ln 1+x(1)求证：当x 0,+时，x1+x f xx；(2)已知e为自然对数的底数，求证：nN*，e 1+1n21+2n2 1+nn2e2 2(2023全国高三专题练习)已知函数 f(x)=sinx-xcosx(x0)(1)求函数 f(x)的图象在2,1处的切线方程；(2)若任意x(0,+)，不等式 f(x)ax3恒成立，求实数a的取值范围；(3)设g(x)=3x2f(x)，证明：1+g131+g132 1+g13ne13【变式训练】【变式训练】1(2023上江苏淮安高三金湖中学校联考)已知函数 f x=ax-a-lnx(1)求曲线y=f x在点 1,
14、f 1处的切线方程；(2)证明：当a=1时，f x0；(3)设m为整数，若对于nN N*,1+131+2321+2233 1+2n-13nm成立，求m的最小值2(2023全国高三专题练习)已知关于x的函数 f x=ax-lnx-1+ln2.(1)讨论 f x的单调性；(2)证明：当nN*时，ln 123n0，f(x)+exx2+x+22 2(20122浙江模拟预测)已知函数 f(x)=x2-(a-2)x-alnx(aR)(1)求函数y=f(x)的单调区间；(2)当a=1时，证明：对任意的x0，f(x)+exx2+x+215【变式训练】【变式训练】1(2023上福建福州高三校联考)设函数 f(x
15、)=e2x-alnx(1)求a=e时，f(x)的单调区间；(2)求证：当a0时，f(x)2a+aln2a2(2024上陕西安康高三校联考阶段练习)已知函数 f x=x-alnx-4,aR R.(1)讨论函数 f x的单调性；(2)当a=1时，令F x=x-2ex-f x，若x=x0为F x的极大值点，证明：0F x01.3(2023上重庆沙坪坝高三重庆一中校考阶段练习)已知函数 f x=ax+xlnx,aR.(1)判断 f x的单调性;(2)若a=1,0 0，若可将不等式左端 f(x)拆成 g(x)h(x)，且 gmin(x)hmax(x)的话，就可证明原不等式成立.通常情况，我们一般选取 g
16、(x)为上凸型函数，h(x)为下凹型函数来完成证明.1 1(2023上黑龙江哈尔滨高三哈尔滨市第十三中学校校考)已知函数 f x=mx+lnx,mR.(1)讨论 f x的单调性；(2)证明：当m0时，mf x2m-1.2 2已知函数 f(x)=ex-x-m(mR)(1)当x0时，f(x)0恒成立，求m的取值范围；(2)当m=-1时，证明：x-lnxexf(x)1-1e217【变式训练】【变式训练】1(2021上全国高三校联考阶段练习)已知 f(x)=lnx+ax，aR R()讨论 f(x)的单调性；()若a-1，证明：f(x)1ex-2ex3已知函数 f(x)=ax2-xlnx(I)若 f(x)在区间(0，+)内单调递增，求a的取值范围；()若a=e(e为自然对数的底数)，证明：当x0时，f(x)h(x)恒成立.2已知 f x=ex+1-2x，g x=a+x+lnxx，aR(1)当x 1,+时，求函数g x的极值；(2)当a=0时，求证：f xg x21题型10双变量型构造1 1(2022贵州黔东南统考一模)已知函数 f(x)=lnxmx(m0).(1)试讨论函数 f(x)的单调性；(
