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1、 数学试题卷 第 1 页（共 4 页）学科网（北京）股份有限公司 2024 年年新高考改革适应性练习新高考改革适应性练习（九省联考题型）（九省联考题型）数学数学试题卷试题卷（名师教研团队命制 2024.2.3）考试须知：考试须知：1.本卷共 4 页，四大题 19 小题，满分 150 分，答题时间 120 分钟；2.答题时须在答题卡上填涂所选答案（选择题），或用黑色字迹的签字笔规范书写答案与步骤（非选择题），答在本试题卷上或草稿纸上的答案均属无效；3.考试结束时，考生须一并上交本试题卷，答题卡与草稿纸 一、一、单项单项选择题选择题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个
2、选项中，只有一项是符合题目要求的）1.共同富裕是消除两极分化和贫穷基础上的普遍富裕下列关于个人收入的统计量中，最能体现共同富裕要求的是 A平均数小、方差大 B平均数小、方差小 C平均数大、方差大 D平均数大、方差小 2.已知复数 满足|=1 且 =i ，则 可被表示为 Acos4+isin34 Bcos34+isin4 Ccos34+isin34 Dcos4+isin4 3.1949 年 10 月 1 日，开国大典结束后，新成立的中央人民政府在北京饭店举行了有 600 余位宾客参加的新中国第一次国庆招待会，史称“开国第一宴”该宴的主要菜品有：鲍鱼浓汁四宝、东坡肉方、蟹粉狮子头、鸡汁煮干丝、清炒
3、翡翠虾仁和全家福若这六道菜要求依次而上，其中“东坡肉方”和“鸡汁煮干丝”不能接连相邻上菜，则不同的上菜顺序种数为 A240 B480 C384 D1440 4.抛物线 2=4 的焦点为 ，已知抛物线上的三个点 ，满足+=0，则 +=A4 B5 C6 D7 5.遗忘曲线（又称作“艾宾浩斯记忆曲线”）由德国心理学家艾宾浩斯（H.Ebbinghaus）研究发现，数学试题卷 第 2 页（共 4 页）学科网（北京）股份有限公司 描述了人类大脑对新事物遗忘的规律人体大脑对新事物遗忘的循序渐进的直观描述，人们可以从遗忘曲线中掌握遗忘规律并加以利用，从而提升自我记忆能力该曲线对人类记忆认知研究产生了重大影响陈
4、同学利用信息技术拟合了“艾宾浩斯遗忘曲线”，得到记忆率 与初次记忆经过的时间（小时）的大致关系：=1 0.60.06 若陈同学需要在明天 15 时考语文考试时拥有复习背诵记忆的 50%，则他复习背诵时间需大约在 A14：30 B14：00 C13：30 D13：00 6.已知数列 满足+1=+2()，12=4 且 1,2 0，则 1+2+2024的最小值是 A4 B3 C2 D1 7.已知函数()=4+43+2(+2)2+图像上的一极大值点为(2,0)，则实数 的取值范围为 A(2,+)B(4,2 C(,2 D(,2)8.在正三棱锥 中，侧棱 与底面 所成的角为 60，且 =3，则三棱锥 外接
5、球的表面积为 A8 B12 C16 D18 二、多项选择题二、多项选择题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得 6 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分）9.已知 =sin(sin2024)，=sin(cos2024)，=cos(sin2024)，=cos(cos2024)，则 A B C D 0)的上运动（4 分）分）（2）因为 与 12 平行，所以四边形 12 是梯形，其上底为 =12=120，下底为 12=1222=2 1=1，高为=0，所以其面积 =02120+1，又 02=20，所以 =02024+1=1803+0
6、2(0 0)（8 分）分）令(0)=1803+02(0 0)，则(0)=3802+12 0，所以(0)即 关于 0 单调递增，数学参考答案 第 2 页（共 6 页）学科网（北京）股份有限公司 （10 分）分）又当 0 0 时，0；0+时，+，所以 在 0(0,+)上没有最值（13 分）分）16.（15 分）（1）如答图，取 中点 ，连接 ，因为 ，分别为 ，的中点，所以/，=12 因为/，=2，所以/，=，所以四边形 为平行四边形，/，因为 平面 ，平面 ，所以/平面 （6 分）分）（2）过点 作 于点 ，连接 因为/，所以直线 与平面 所成角和直线 与平面 所成角相等，因为 平面 ，平面 ，
7、所以 ，因为 =，,平面 ，所以 平面 ，所以 为直线 与平面 所成角，（11 分）分）=22+12=5，=22+12=5，=125=255，所以 sin=2555=25 故直线 与平面 所成角的正弦值为 25 （15 分）分）17.（15 分）（1）若 5、7 在所抽取的数里，由于其是质数，且无法找到其他被其整除的数，故 5、7 不能被抽取到 若抽取的数有 1，（I）若抽取三个数，设其他两个数为,()，则 2=，符合条件的(,)只能为(2,4)和(3,9)两组，此时所抽取的数为(1,2,4)和(1,3,9)，共两组；（II）若所抽取的数的个数大于 3，记此等比数列的公比为 ，则 2 若 =2
8、，则所抽取的数为(1,2,4,8)；若 3，则该等比数列的最大一项大于等于 33=27，明显不符合题意，故该情况仅有(1,2,4,8)1 组符合条件 若抽取的数无 1，则抽取的数应在 2,3,4,6,8,9 中 该等比数列公比 2，因此若最小的一项为 3，则最大一项 3 22=12，矛盾，所以最小的一项应为 2易知符合条件的仅有(2,4,8)1 组 数学参考答案 第 3 页（共 6 页）学科网（北京）股份有限公司 综合上述情况，仅有(1,2,4)，(1,3,9)，(1,2,4,8)，(2,4,8)共 4 组符合条件（4 分）分）而抽取的所有结果共有 29 1=511 种，故概率 =4511 （
9、6 分）分）（2）当抽取的数有 3 项时，（I）若该等差数列的公差 =1，则有(1,2,3)，(2,3,4)，(7,8,9)共7 组符合条件（II）若该等差数列的公差 =2，则有(1,3,5)，(2,4,6)，(5,7,9)共 5 组符合条件（III）若该等差数列的公差 =3，则有(1,4,7)，(2,5,8)，(3,6,9)共 3 组符合条件（IV）若该等差数列的公差 =4，则仅有(1,5,9)1 组符合条件（V）若该等差数列的公差 5，则没有满足条件的选取组合 故此情况共有 7+5+3+1=16 组符合条件 （8 分）分）当抽取的数有 4 项时，（I）若该等差数列的公差 =1，则有(1,2
10、,3,4)，(2,3,4,5)，(6,7,8,9)共6 组符合条件（II）若该等差数列的公差 =2，则有(1,3,5,7)，(2,4,6,8)，(3,5,7,9)共 3 组符合条件（III）若该等差数列的公差 3，则没有满足条件的选取组合 故此情况共有 6+3=9 组符合条件 （10 分）分）当抽取的数有 5 项时，（I）若该等差数列的公差 =1，则有(1,2,3,4,5)，(2,3,4,5,6)，(5,6,7,8,9)共 5 组符合条件（II）若该等差数列的公差 =2，则仅有(1,3,5,7,9)1 组符合条件（III）若该等差数列的公差 3，则没有满足条件的选取组合 故此情况共有 5+1=
11、6 组符合条件 （12 分）分）以此类推，当抽取 6、7、8、9 项时，都当且仅当公差为 1 时有符合条件的选取组合，分别有 4、3、2、1 组，综上所述，满足条件的选取组合共有 16+9+6+4+3+2+1=41 组，（14 分）分）由（1），抽取的所有结果共有 29 1=511 种，故概率 2=41511 （15 分）分）18.（17 分）（1）()=(+2)ln(+1)，(1,+)，（2 分）分）观察得(0)=0，即 =0 为其零点，（4 分）分）()=1 1+1 ln(+1)所以(0)=2=0，即 =2 故 的值为 2 （6 分）分）（2）由（1）得 =()必经过原点，若需使 =()经
12、过四个象限，则()需在区间(1,0)和(0,+)上均至少存在一个零点，数学参考答案 第 4 页（共 6 页）学科网（北京）股份有限公司 令()=(+2)ln(+1)=0 =(+2)ln(+1)(0)在(1,0)和(0,+)上均有根 设函数()=(+2)ln(+1)，()=2+2 2(+1)ln(+1)(+1)2，令()=2+2 2(+1)ln(+1)，()=2 ln(+1)，令()=ln(+1)，()=+1，当 (1,0)时，()0，()单调递增所以 =0 是()的极小值点，()min=(0)=0 所以()0 恒成立，即()0，故()单调递增又(0)=0，所以当 (1,0)时，()(0)=0，
13、即()(0)=0，即()0，所以()单调递增 又当 0 时，()2，所以要使得()=在(1,0)和(0,+)上均有根，需满足 (2,+)综上所述，若()的图像经过四个象限，则 (2,+)（17 分）分）（方法不唯一，若考生（方法不唯一，若考生从从极值点等其他角度入手，依据实际情况酌情赋分）极值点等其他角度入手，依据实际情况酌情赋分）19.（17 分）（1）我们需证 在普通加法下可构成一个群，由题意，需从以下四个方面进行验证：封闭性：对,，则 +，封闭性成立 （1 分）分）结合律：对,，+(+)=(+)+，结合律成立 （2 分）分）恒等元：取 =0 ，则对任意 ，0+=符合恒等元要求（3 分）分
14、）逆：对任意 ，=，且 +=+()=0=，满足逆的存在性（4 分）分）综上所述，所有实数在普通加法运算下可构成群+（2）首先提出，的“”运算可以是复数的乘法：12(1,2)，理由如下（6 分）分）即证明 在普通乘法下可构成一个群，同（1），需从四方面进行验证：封闭性：设 1=+i，2=+i，其中 1,2 ，即 2+2=2+2=1 则 12=(+i)(+i)=()+(+)i，所以|12|=()2+(+)2=22+22+22+22=2(2+2)+2(2+2)=2+2=1，即 12 ，封闭性成立（7 分）分）结合律：设 1=+i，2=+i，3=+i，其中 1,2,3 ，数学参考答案 第 5 页（共
15、6 页）学科网（北京）股份有限公司 1(23)=(+i)()+(+)i=()(+)+(+)+()i(12)3=()+(+)i(+i)=()(+)+()+(+)对比后容易发现，1(23)和(12)3 实部和虚部分别对应相等，即 1(23)=(12)3，结合律成立 （8 分）分）恒等元：取 =1 ，则对任意 ，1 =，符合恒等元要求 （9 分）分）逆的存在性：对任意 =+i ，取其共轭 =i，则 =2+2=1=，满足逆的存在性 （10 分）分）综上所述，在复数的乘法运算下构成一个群 （构造不唯一，证明方法也不唯一，本题较为开放，（构造不唯一，证明方法也不唯一，本题较为开放，不同的方法不同的方法应据
16、实际情况酌情赋分）应据实际情况酌情赋分）（3）所有阶数小于等于四的群 都是阿贝尔群，理由如下 （11 分）分）若群 的阶数为 0，则 为空集，与定义矛盾所以 的阶数为 1,2,3,4下逐一证明 若群 的阶数为 1，则其唯一的元素为其恒等元，明显符合交换律，故此时 是阿贝尔群 （12 分）分）若群 的阶数为 2，设其元素为,，其中 是恒等元，则 =，符合交换律，故此时 是阿贝尔群 （13 分）分）若群 的阶数为 3，设其元素为,，其中 是恒等元，由群的封闭性，若 =，又 =，推出 =，则集合 有两个相同的元素，不满足集合的唯一性，矛盾 所以 =现要验证交换律，即 =事实上，若 ，有前知，且 ，所以 ，与群的封闭性矛盾所以 =，交换律成立，故此时 是阿贝尔群 （15 分）分）若群 的阶数为 4，设其元素为,，其中 是恒等元，由群的封闭性，由的分析可知，且 ，所以 =或 =若 =由群中逆的存在性，群 中存在一个元素 使得 =，很明显 ，所以 =或 =假设 =，即 =，又 =，推出 =则集合 有两个相同的元素，不满足集合的唯一性，矛盾故只能 =先证交换律对,成立，即 =事实上，若 =，则由 ，
