《新人教版高中数学选择性必修第一册第二章圆的标准方程培优练习题》由会员分享，可在线阅读，更多相关《新人教版高中数学选择性必修第一册第二章圆的标准方程培优练习题（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2.4圆的方程2.4.1圆的标准方程 必 备 知 坐 三 圈 国I学习指导核心素养回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程.1.直观想象、逻辑推理：利用圆的定义推导圆的标准方程.2.数学运算：求圆的标准方程.知识点一圆的标准方程掰 点 拨-(圆的定义卜一圆是平面上到定点的距离等于轨的点的集合，定点是圆心,定长是圆的半径(几何要素H确定一个圆的基本要素是圆心和半径圆的标准_方程 圆心为C(Q,6),半径为r的圆的标准方程是(*-a)2+(y-b)2=r2圆的标准方程中含有三个参数a,b,r,只要求出a,b,r,圆的方程就确定了，因此，确定圆的标准方程需要三个独立条件，其中
2、圆心是定位条件，半径是定形条件.播即时训练1 .给定圆：(x 2)2+(y+8)2=(3)2,下列说法正确的是()A.圆心坐标为(2,8),半径为一3B.圆心坐标为(-2,8),半径为3C.圆心坐标为(2,-8),半径为3D.圆心坐标为(一2,8),半径为一3解析：选C.对照圆的标准方程(工一。)2 +。一份2=/，知圆心坐标是(2,-8),半径不可能是负数，所以为3.故选C.2.写出下列各圆的标准方程.圆心为(一2,3),半径为2；(2)圆心为点(1,0),经过点(一1,0)；(3)以点A(3,1)和8(5,5)为直径端点的圆.解：(1)因为圆心为(-2,3),半 径 为2,故圆的标准方程为
3、(8+2)2 +。-3)2=4.(2)圆的半径r=，(1 +1)2+(0 0)2 =2,圆心为(1,0),故圆的标准方程是(x l)2+y 2=4.(3)由题意可得，圆心为线段A3的中点(1,2),半径r=2-82+62=5,故所求的圆的标准方程为(x l)2+(y 2=2 5.周 题 技 巧-用直接法求圆的标准方程的策略确定圆的标准方程只需确定圆心坐标和半径，因此用直接法求圆的标准方程时，要首先求出圆心坐标和半径，然后直接写出圆的标准方程.知识点二点与圆的位置关系圆 C：(%a)2+(y Z?)2=r2(r 0),其圆心为 C(a,b),半径为 r,点 P(xo,y o)，设 d|PC|=y
4、j(x o a)2+Cyo-b)2位置关系利用距离判断利用方程判断点在圆外dr(x o a)2+(y o b)2 P点在圆上d=r(x o-a)2+(y o b)1=r2点在圆内dr(x o+(jo m 已知圆心是点a3,-4),且经过原点，求该圆的标准方程，并判断 点 (一1,0),P2(l,-1),P3(3,4)和圆的位置关系.【解】因为圆心是C(3,-4),且经过原点，所以圆的半径(3 0)2+(4 0)2 =5,所以圆的标准方程是(x+3)2 +(y+4)2 =2 5.因为|PiC l=M (-1+3)2+(0+4)2 =2小 5,所以 3(3,一4)在圆外.感题技巧-判断点与圆的位置
5、关系的方法(1)只需计算该点与圆心的距离，与半径作比较即可.(2)把点的坐标代入圆的标准方程，判断式子两边的符号，并作出判断.跟踪训练 已知点A(l,2)不在圆C：(x a)2+(y+a)2 =2/的内部，求实数。的取值范围.解：由题意，圆心C(a,-a),半 径&a,点A在圆C上或圆C外部，所以4(1 a)2+(2 +a)2 2 啦 同，所以2 a +5 2 0,所以因为a#0,所以a的取值范围为一|,0)U(0,+8).,(关 键 能 力 三 强E3)考点求圆的标准方程E I 2 求经过点P(l,1)和坐标原点，并且圆心在直线2 x+3 y+l=0 上的圆的标准方程.【解】方法一(待定系数
6、法)：设圆的标准方程为(x a)2 +(y 勿2=户，f a2+Z?2=r2,则 =0对称D.关于直线x+y=0对称解析：选D.易得圆心C(a,a),即圆心在直线y=-x上，所以该圆关于直线x+y=0对称，故选D.2 .已知圆C的标准方程为(x l)2+(y+2)2=4,则 与 圆。有相同的圆心，且经过点(一2,2)的圆的方程为()A.(x l +(y+2)2=5B.(L1)2+S+2)2=25C.(x+1)2+5 2)2=5D.(x+l)2+(y 2)2=2 5解析：选B.根据题意设所求圆的方程为(x-1)2 +&+2)2 =户，代入点(-2,2),得户=2 5,所以所求圆的方程为(无-1)
7、2 +0+2)2=25.故选B.3.(2022 重庆高二检测)圆(x+2)2+y 2 =5关于原点0(0,0)对称的圆的方程为()A.(x+2)2+(y+2)2=5 B.+(y-2)2=5C.(x-2)2+y2=5 D.尤2+(y+2)2=5解析：选C.根据已知条件，圆(x+2)2+y 2 =5的圆心为(-2,0),那么点(一2,0)关于原点的对称点(2,0)即为所求的圆的圆心.因为半径不变，所以所求圆的方程为(x 2+y2=5.4.(多选)已知圆C过点A(l,4),8(3,2),且圆心C在直线y=0上，则()A.点Mi(2,3)在圆内 B.点Mi(2,3)在圆外C.点%(2,4)在圆内 D.
8、点%(2,4)在圆外解析：选AD.因为圆过A,B两点，所以圆心在线段AB的垂直平分线上.直线4?的斜率为一 1,线段A 8的中点坐标为(2,3),故线段A 3的垂直平分线的方程为y3=x2,即xy+l=0,又圆心在直线y=0上，因此圆心坐标是方xy+1=0,程组彳 的 解，即 圆 心 坐 标 为C(1 ,0),半 径 长r=y=0l(-1-1)2+(0-4)2=回，故所求圆的标准方程为(x+l)2+2 =20.点Mi(2,3)到圆心的距离为、(2+1)2+(3 0)2 =18 r,所 以 点 赫 在圆外，故选AD.5.(2022江西高三月考)已知两点A(-2,2),B(0,4),则以线段A 3
9、为直径的 圆 的 标 准 方 程 是.解析：圆 心 为 线 段 的 中 点，可求得其坐标为(-1,3),圆的半径=粤Xyl(-2-0)2+(2-4)2=6，所以以线段A 8为直径的圆的标准方程是(x+l)2 +(y-3=2.答案：(x+l)2+(y 3=26.与y轴相切，且圆心坐标为(一5,一3)的 圆 的 标 准 方 程 为.解析：因为圆心坐标为(-5,-3),又与y轴相切，所以该圆的半径为5,所以该圆的标准方程为(x+5)2+(y+3)2=2 5.答案：(x+5)2+(y+3)2=257.已知某圆圆心在x轴上，半径长为5,且截y轴所得线段长为8,求该圆的标准方程.解：由题意设所求圆的方程为
10、(x a)2+y2=2 5.因为圆截y轴线段长为8,所以圆过点A(0,4).代入方程得4+16=25,所以a=3.所以所求圆的标准方程为(x+3)2+y2=25或(x 3)2+y=25.B能力提升8.圆(x 3)2+。一4)2=1关于直线x+y=0对称的圆的方程是()A.(x+3)2+(y-4)2=lB.(x+4)2+(y+3)2=lC.(x+4)2+(y-3)2=lD.(x-3)2+(-4)2=1解析：选B.圆(x 3)2 +(y 4)2=l的圆心为(3,4),圆心关于直线x+y=0对称的点的坐标为(一4,3),圆(x 3)2 +(y 4)2=l关于直线x+y=0对称的圆的半径不变，所以圆(
11、x 3)2 +(y 4)2=1关于直线%+丫=0对称的圆的方程是(无+4)2 +0+3)2=1.9.设点 P(x,y)为圆(x 2+(y 1)2=1 上任一点，点 A(1,5),则|AP|的最 小 值 是()A.由B.4C.6D.3解析：选B.点A(l,5)与圆(x-2)2 +6-1)2=1的圆心(2,1)的距离为yl(-1-2)2+(5-1)2=5,则点A在圆外，所以依尸扁1 1=5-1=4.故选8.10.直角三角形A B C的顶点A(2,0),直角 顶 点8(0,一2陋),顶 点C在x轴 上.圆/是 三 角 形A B C的外接圆，则圆M的标准方程为解析：由于点。在x轴上，设 点C(x,0)
12、.又N A 8 C为直角，所以kAB-kBC=-1,0+2 7 2 0+2也即x =-1,解得尤=4,即。(4,0).z u xU由于 ABC是以N 4 9 C为直角的直角三角形，则该三角形的外接圆圆心为线段A C的中点，则M(l,0),所以圆M的半径为|MA|=3,因此圆M的 标 准 方 程 为1)2+/=9.答案：(x l)2+y 2=91 1 .方程M一1=留3 (,2)2所 表 示 的 曲 线 的 长 度 是.解析：因为仗|一1=可3 (x 2)2 ,所以恻一 1 2 0,所以或y W -l.将原式变形可得(-2)2 +(仅|-1)2 =3,所以曲线为两个半圆，半 径 为 小，所以曲线
13、的长度为2兀*5=2 57 i.答案：2小 兀1 2 .已知圆C经过点4(一1，0)和3(3,4),且圆心C在直线x+3 y 1 5=0上.(1)求 圆C的标准方程；(2)设 点。(一 1,加)(机0)在 圆C上，求 0A3的面积.解：(1)依题意知所求圆的圆心。为 的 垂 直 平 分 线 和 直 线x+3 y 1 5=0的交点.因为A 3的中点为(1,2),直线A B的斜率为1,所以A B的垂直平分线的方程为y 2=(x 1),即y=-x+3.y=x+3,x 3,由 得 x+3 y 1 5=0,y=6,即圆心C(-3,6).所以半径 r 4+3 6 =2 7 6 .故所求圆C的标准方程为(x+3)2+0-6)2=4 0.因 为 点。(-1 ,2)(加0)在 圆C上，所以加=1 2或机=0(舍去)，所 以。(-1,1 2),易求得|AQ=1 2,点8到直线A。的距离为4,所以Q A8 的面积 S=：X|AQ|X 4 =；X 1 2 X 4 =2 4.
