奇妙的图形密铺仅供参阅，不得转载摘要】一次偶尔的机会我理解了图形密铺并对之发生了爱好，这篇论文里我思考了什么样的正多边形能密铺，并进一步去探究多种正多边形组合的密铺问题核心词】正多边形、组合、密铺【研究措施】查询法、画图法，测量法、列表归纳法、实验法、计算法 一、问题提出近来同窗们间流行养乌龟，我也买了几只在家养着有一天我和妹妹在观测完乌龟后来，爸爸问妹妹，小涡你懂得乌龟背上是什么图案吗？妹妹说是诸多五边形爸爸又问我，我说是六边形爸爸说我说得对爸爸还说，乌龟背上的图案是许多种正六边形，尚有像蜂巢也是正六边形构成的，正六边形可以密铺一种平面，而如果是正五边形就不能了，会有空隙爸爸又叫我去想想，哪些正多边形能单独密铺一种平面于是我就带着这个问题去研究了二、初步研究——研究4个正多边形的密铺问题我先上网用百度搜索了“密铺”是什么意思，在百度百科里我看到了“密铺”的定义：用形状、大小完全相似的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这就是平面图形的密铺，又称做平面图形的镶嵌我想从最简朴的正多边形开始，于是在爸爸的指引下，用直尺和圆规画了下面这些图：图1 图2 图3 图4 图5 通过画画，我发现6个正三边形拼在一起，中间没有空隙也不重叠，刚好可以铺满一种平面，4个正四边形和3个正六边形也同样（见图1、图2、图3），但是正五边形却不可以。
如果画上三个正五边形，中间会留下空隙，而如果画上四个正五边形，就会有两个正五边形重叠起来这是怎么回事呢？爸爸叫我分别去量一下正三边形、正四边形、正五边形、正六边形的内角，想想有什么规律正三角形我是学过的，我懂得它的每个内角是60°，正四边形也是一目了然，每个内角是直角90°我用量角器去量了一下正六边形的内角，等于120°，而正五边形内角的度数是108°爸爸说，从她们内角的度数，你能发现什么规律吗？我认真想了一下，6个正三边形可以密铺，而6个60°刚好是360°，4个正四边形可以密铺，而4个90°刚好是360°，三个正六边形可以密铺，是由于三个120°也刚好是360°也就是说，拼接处只有360°才可以密铺，而360°除以60°、90°、120°刚好可以整除而五边形的内角度数是108°，360°除以108°则等于3余36°因此三个正五边形拼起来就有了一种36°的空隙而4个108°则等于108°×4＝432°，因此会有重叠结论1：正多边形能不能密铺，是看它的内角度数能不能整除360°我恍然大悟，感觉心里布满获取知识的乐趣爸爸又问我，那么如果正七边形、正八边形乃至边更多的正多边形呢？她们能不能密铺？我说这怎么能计算，难道一种一种去画，一种一种去测？爸爸说，仔细想想，还是有措施的。
于是我开始了进一步的研究三、进一步研究——研究更多正多边形的密铺问题爸爸给了我一种提示，说刚刚正五边形和正六边形的内角，我都是用量角器量出来的，那么有无措施不用量角器就得知正多边形的内角，然后通过内角的规律去求证边长不小于六的正多边形能不能密铺我用已经研究过的4种正多边形的度数去寻找规律，可是愣没发现于是我去问数学教师，数学教师告诉了我一种公式，正N边形内角的度数＝(N-2) ×180°÷N，譬如正三边形的内角度数是（3－2）×180°÷3＝60°，正四边形的内角度数是（4－2）×180°÷4＝90°爸爸叫我列个表格找下规律于是我列了下面这个表格（表格1）正多边形名称内角度数能否整除360°能否单独密铺正三边形（3－2）×180°÷3＝60°360°÷60°＝6√正四边形（4－2）×180°÷4＝90°360°÷90°＝6√正五边形（5－2）×180°÷5＝108°360°÷108°＝3……36°×正六边形（6－2）×180°÷6＝120°360°÷120°＝3√正七边形（7－2）×180°÷7≈128.5°360°÷128.5°＝2……103°×正八边形（8－2）×180°÷8＝135°360°÷135°＝2……90°×正九边形（9－2）×180°÷9＝140°360°÷140°＝2……80°×正十边形（10－2）×180°÷10＝144°360°÷144°＝2……72°×正十一边形（11－2）×180°÷11≈147°360°÷147°＝2……66°×正十二边形（12－2）×180°÷12＝150°360°÷150°＝2……60°×……………………正N边形(N>2)(N-2) ×180°÷N360÷〔(N-2)×180°÷N〕＝2N/N-22N/N-2是整数时能；否则不能。
我认真地在这个表格里找起规律来我发现正多边形边越多，每个内角就越大，从正七边形开始，每个正多边形的内角都不小于120°，而前面我已经懂得了一种正多边形如果要密铺，它的内角度数应当可以整除360°那么，尚有哪个数字不小于120°，并且360°可以被它整除？360°除以3是120°，除以2就是180°，除以1就是它自身，因此不小于120°，并且360°可以被它整除的数除了360°就只有一种180°了那么有无正多边形的内角是180°呢？显然这是不也许的，由于内角如果是180°，相邻的两条边就构成一条直线了，那么就不也许构成一种正多边形了我把我的想法告诉爸爸，爸爸夸我想得很有道理爸爸说也可以从另一方面去考虑这个问题爸爸说，正多边形的内角肯定不不小于180°，因此不管这个正多边形是几条边的，两个正多边形肯定不能密铺，由于两个不不小于180°的内角相加不也许等于360°，因此，不管是什么正多边形，肯定得3个或3个以上才干密铺而正六边形的内角已经等于120°，从正七边形开始，内角都不小于120°，那么3个不小于120°的内角相加就已经不小于360°，阐明边长多于正六边形的正多边形，三个摆在一起，就必然会有重叠。
结论2：可以进行单独密铺的正多边形只有三种：(1)正三边形；(2)正四边形；图6(3)正六边形到些为止，对密铺问题的研究就临时告了一段落直到有一天，我在一种地方看到下面这幅图6的图案我忽然发现，这幅图也是密铺的图，但是这幅图里却浮现了正八边形，我想，正八边形不是不能密辅吗？我再仔细看了一下，这幅图里不单单是一种正八边形，尚有一种是正四边形本来，正多边形还可以通过这种组合方式进行密辅我立即又去问爸爸，我说是不是所有正多边形组合在一起都可以密铺呢？爸爸说，那你再去研究研究吧图7四、更进一步的研究——研究多种正多边形组合的密铺问题1、两种正多边形组合的密铺问题我去仔细看了看图6不同正多边形的接合处，发现接合处是两个正八边形加一种正四边形我又对照了表格1的内角度数我发现正八边形的内角度数是135°，两个135°是270°，再加上一种正四边形内角是90°，270°+90°＝360°本来，不同的正多边形的组合要可以密铺，它们的内角之和也要能刚好达到360°我就做了一种实验来验证一下我想，如果密铺图案要用到正三边形和正四边形，两个正四边形内角的度数之和是90°+90°＝180°，三个正三边形的内角度数之和是60°×3＝180°，180°+180°＝360°，因此三个正三边形和两个正四边形就能密铺了。
我试了画了一下果然可以（如图7）那是不是任意两种正多边形的组合都能密铺呢？我又用正四边形和正五边形来试了一下：90°+90°+108°+108°=396°，因此这两者一起不能密铺我把这个成果告诉爸爸，爸爸夸奖了我，爸爸叫我再去看看表格1对照之前的结论2，问我能不能再归纳出什么规律来我回忆了结论2的得出过程：想到边长多于6的正多边形，它的内角的度数是不小于120°不不小于180°，它们不能进行单独密铺，同样的道理，它们的组合肯定也不能密铺由于任意两个这样的度数之和会不不小于360°，任意三个这样的度数之和会不小于360°于是我得出了结论3结论3：两种正多边形组合如果能密铺，里面肯定有一种是正三边形、正四边形、正五边形中的一种那么，三种及三种以上正多边形的组合又能不能密铺呢？2、三种及三种以上正多边形组合的密铺问题同样道理，只要三种正多边形内角之和能刚好达到360°，它们的组合就能密铺我尝试着用正三边形、正四边形和正六边形也作了一种图（图8）如图所示一种正三边形加两个正四边形加一种正六边形为60°+90°+90°+120°＝360°，因此可以密铺图8那么，三种以上的正多边形能否进行密铺呢？通过这段时间的摸索我对正多边形的内角度数已经非常清晰，因此我不久得出了结论：不能。
由于拿内角度数最小的正三边形、正四边形、正五边形、正六边形的四个内角度数来算，它们的内角之和为：60°+90°+108°+120°=378°，不小于密铺图形的内角度数规定之和360°，因此不能密铺结论4：四种或四种以上的正多边形不能进行密铺研究到这里，我问爸爸，既然密铺有这样多的措施，为什么家家户户的地板瓷砖基本上都是边长为1米或0.8米的正四边形？爸爸说，这个要考虑到成本问题由于房屋的地面基本上都是正方形或长方形，用正四边形的瓷砖去铺设，挥霍较少如果用其她的正多边形瓷砖去铺的话，在边沿处挥霍会诸多我把餐厅的饭桌当作地板，用自己剪好的多种正多边形试着去铺，果然，在边沿处会有诸多突出需要裁剪掉，导致了材料挥霍那么几种正多边形的组合密铺在生活中又有什么用处呢？爸爸说，在一起特别追求艺术美感而不大考虑成本的地方，就会用到几种正多边形的组合密铺了五、研究感悟我原本始终在数字方面对数学特别感爱好，通过这次的研究学习，对于数学的图案方面，我也产生了浓厚的爱好我也发现了数学这门学科本来与生活也是密切有关的在研究过程中，我还得到了探究知识的乐趣我会更爱数学，更爱研究摸索！。