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1、2021年高考数学考前30天大题冲刺练习十三在ABC中,角A,B,C所对的边为a,b,c,已知sin A=sin(B-C)+2sin 2B,B.(1)求证:c=2b;(2)若ABC的面积S=5b2-a2,求tan A的值.某学校为鼓励家校互动,与某手机通讯商合作,为教师办理流量套餐为了解该校教师手机流量使用情况,通过抽样,得到100位教师近2年每人手机月平均使用流量L(单位:M)的数据,其频率分布直方图如下:若将每位教师的手机月平均使用流量分别视为其手机月使用流量,并将频率视为概率,回答以下问题(1)从该校教师中随机抽取3人,求这3人中至多有1人手机月使用流量不超过300 M的概率;(2)现该
2、通讯商推出三款流量套餐,详情如下:这三款套餐都有如下附加条款:套餐费月初一次性收取,手机使用流量一旦超出套餐流量,系统就自动帮用户充值200 M流量,资费20元;如果又超出充值流量,系统就再次自动帮用户充值200 M流量,资费20元,以此类推,如果当月流量有剩余,系统将自动清零,无法转入次月使用学校欲订购其中一款流量套餐,为教师支付月套餐费,并承担系统自动充值的流量资费的75%,其余部分由教师个人承担,问学校订购哪一款套餐最经济?说明理由如图1所示,正ABC的边长为4,CD是AB边上的高,E,F分别是AC和BC边的中点,现将ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B,如图2所示.(1)试判断直线A
3、B与平面DEF的位置关系,并说明理由;(2)求二面角E-DF-C的余弦值;(3)在线段BC上是否存在一点P,使APDE?证明你的结论.已知椭圆C的离心率为,长轴的左、右端点分别为A1(-2,0),A2(2,0).(1)求椭圆C的方程;(2)设直线x=my+1与椭圆C交于P,Q两点,直线A1P,A2Q交于S,试问:当m变化时,点S是否恒在一条定直线上?若是,请写出这条直线的方程,并证明你的结论;若不是,请说明理由.若xD,总有f(x)F(x)在x(-1,0)恒成立,求M的值.(e=2.718是自然对数的底数,1.414,1.260)参考答案 (1)证明:ABC中,由sin A=sin(B-C)+
4、2sin 2B,得sin(B+C)=sin(B-C)+4sin Bcos B,展开化简得,cos Bsin C=2sin Bcos B,又因为B,所以cos B0,所以sin C=2sin B,由正弦定理得,c=2b.(2)解:因为ABC的面积为S=5b2-a2,所以有bcsin A=5b2-a2,由(1)知c=2b,代入上式得b2sin A=5b2-a2,又由余弦定理有a2=b2+c2-2bccos A=5b2-4b2cos A,代入得b2sin A=4b2cos A,所以tan A=4.解:(1)记“从该校随机抽取1位教师,该教师手机月使用流量不超过300 M”为事件D.依题意,P(D)=
5、(0.000 80.002 2)100=0.3.从该校教师中随机抽取3人,设这3人中手机月使用流量不超过300 M的人数为X,则XB(3,0.3),所以从该校教师中随机抽取3人,至多有1人手机月使用流量不超过300 M的概率为P(X=0)P(X=1)=C0.30(10.3)3C0.3(10.3)2=0.3430.441=0.784.(2)依题意,从该校随机抽取1位教师,该教师手机月使用流量L(300,500的概率为(0.002 50.003 5)100=0.6,L(500,700的概率为(0.000 80.000 2)100=0.1.当学校订购A套餐时,设学校为1位教师承担的月费用为X1元,则
6、X1的所有可能取值为20,35,50,且P(X1=20)=0.3,P(X1=35)=0.6,P(X1=50)=0.1,所以X1的分布列为所以E(X1)=200.3350.6500.1=32(元)当学校订购B套餐时,设学校为1位教师承担的月费用为X2元,则X2的所有可能取值为30,45,且P(X2=30)=0.30.6=0.9,P(X2=45)=0.1,所以X2的分布列为所以E(X2)=300.9450.1=31.5(元)当学校订购C套餐时,设学校为1位教师承担的月费用为X3元,则X3的所有可能取值为38,且P(X3=38)=1,所以E(X3)=381=38(元)因为E(X2)E(X1)E(X3
7、),所以学校订购B套餐最经济解:(1)AB平面DEF,理由如下:在ABC中,由E,F分别是AC,BC中点,得EFAB.又AB平面DEF,EF平面DEF,AB平面DEF.(2)以D为原点,分别以DB,DC,DA所在直线为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,2),B(2,0,0),C(0,2,0),E(0,1),F(1,0),易知平面CDF的法向量为=(0,0,2),设平面EDF的法向量为n=(x,y,z),则即取n=(3,3),则cos,n=,二面角E-DF-C的余弦值为.(3)存在.证明如下:设P(x,y,0),则=y2=0,y=.又=(x2,y,0),=(x,2y,
8、0),(x2)(2y)=xy,xy=2.把y=代入上式得x=,P,=,点P在线段BC上.在线段BC上存在点P,使APDE.解:(1)设椭圆C的方程为,椭圆C的方程为;(2)取,得,直线的方程是,直线的方程是,交点为.若,由对称性可知,若点S在同一条直线上,则直线只能为l:.以下证明对于任意的m,直线与的交点S均在直线l:上,事实上,由,得,记,则,记与l交于点,由,得,设与交于点,由,得,即与重合,这说明,当m变化时,点S恒在定直线l:上. (1)证明:令(x)=ex-1-x,则(x)=ex-1.当x0时,(x)(0)=0,故对x(-1,0)都有ex1+x.再令t(x)=ex-1-x-,当x0
9、,故t(x)在(-1,0)上为增函数.因此t(x)t(0)=0,所以对x(-1,0)都有ex2(1+x)+-22-20.828.又h(x)=2ex+-22(1+x+)+-2=x2+2x+,令m(x)=x2+2x+=(x+1)2+-1,m(x)=2(x+1)-,令m(x)=0,解得x=-1+(),易得m(x)在(-1,-1+()上单调递减,在(-1+(),0)上单调递增,则m(x)min=m(-1+()=()+-1=-10.890.又h(x)=2ex-在x(-1,0)存在x0使得h(x0)=0,故h(x)在x(-1,0)上先减后增,则有h(x)minh(-1+()m(-1+()0.890,则0.828h(x)min,则M=8.