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1、2021年高考数学考前30天大题冲刺练习十三在ABC中,角A,B,C所对的边为a,b,c,已知sin A=sin(B-C)+2sin 2B,B.(1)求证:c=2b;(2)若ABC的面积S=5b2-a2,求tan A的值.某学校为鼓励家校互动，与某手机通讯商合作，为教师办理流量套餐为了解该校教师手机流量使用情况，通过抽样，得到100位教师近2年每人手机月平均使用流量L(单位：M)的数据，其频率分布直方图如下：若将每位教师的手机月平均使用流量分别视为其手机月使用流量，并将频率视为概率，回答以下问题(1)从该校教师中随机抽取3人，求这3人中至多有1人手机月使用流量不超过300 M的概率；(2)现该
2、通讯商推出三款流量套餐，详情如下：这三款套餐都有如下附加条款：套餐费月初一次性收取，手机使用流量一旦超出套餐流量，系统就自动帮用户充值200 M流量，资费20元；如果又超出充值流量，系统就再次自动帮用户充值200 M流量，资费20元，以此类推，如果当月流量有剩余，系统将自动清零，无法转入次月使用学校欲订购其中一款流量套餐，为教师支付月套餐费，并承担系统自动充值的流量资费的75%，其余部分由教师个人承担，问学校订购哪一款套餐最经济？说明理由如图1所示，正ABC的边长为4，CD是AB边上的高，E，F分别是AC和BC边的中点，现将ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B，如图2所示.(1)试判断直线A
3、B与平面DEF的位置关系，并说明理由；(2)求二面角E-DF-C的余弦值；(3)在线段BC上是否存在一点P，使APDE？证明你的结论.已知椭圆C的离心率为，长轴的左、右端点分别为A1(-2,0),A2(2,0).（1）求椭圆C的方程；（2）设直线x=my+1与椭圆C交于P，Q两点，直线A1P，A2Q交于S，试问：当m变化时，点S是否恒在一条定直线上？若是，请写出这条直线的方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由.若xD,总有f(x)F(x)在x(-1,0)恒成立,求M的值.(e=2.718是自然对数的底数,1.414,1.260)参考答案 (1)证明:ABC中,由sin A=sin(B-C)+
4、2sin 2B,得sin(B+C)=sin(B-C)+4sin Bcos B,展开化简得,cos Bsin C=2sin Bcos B,又因为B,所以cos B0,所以sin C=2sin B,由正弦定理得,c=2b.(2)解:因为ABC的面积为S=5b2-a2,所以有bcsin A=5b2-a2,由(1)知c=2b,代入上式得b2sin A=5b2-a2,又由余弦定理有a2=b2+c2-2bccos A=5b2-4b2cos A,代入得b2sin A=4b2cos A,所以tan A=4.解：(1)记“从该校随机抽取1位教师，该教师手机月使用流量不超过300 M”为事件D.依题意，P(D)=
5、(0.000 80.002 2)100=0.3.从该校教师中随机抽取3人，设这3人中手机月使用流量不超过300 M的人数为X，则XB(3,0.3)，所以从该校教师中随机抽取3人，至多有1人手机月使用流量不超过300 M的概率为P(X=0)P(X=1)=C0.30(10.3)3C0.3(10.3)2=0.3430.441=0.784.(2)依题意，从该校随机抽取1位教师，该教师手机月使用流量L(300,500的概率为(0.002 50.003 5)100=0.6，L(500,700的概率为(0.000 80.000 2)100=0.1.当学校订购A套餐时，设学校为1位教师承担的月费用为X1元，则
6、X1的所有可能取值为20,35,50，且P(X1=20)=0.3，P(X1=35)=0.6，P(X1=50)=0.1，所以X1的分布列为所以E(X1)=200.3350.6500.1=32(元)当学校订购B套餐时，设学校为1位教师承担的月费用为X2元，则X2的所有可能取值为30,45，且P(X2=30)=0.30.6=0.9，P(X2=45)=0.1，所以X2的分布列为所以E(X2)=300.9450.1=31.5(元)当学校订购C套餐时，设学校为1位教师承担的月费用为X3元，则X3的所有可能取值为38，且P(X3=38)=1，所以E(X3)=381=38(元)因为E(X2)E(X1)E(X3
7、)，所以学校订购B套餐最经济解：(1)AB平面DEF，理由如下：在ABC中，由E，F分别是AC，BC中点，得EFAB.又AB平面DEF，EF平面DEF，AB平面DEF.(2)以D为原点，分别以DB，DC，DA所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,2)，B(2,0,0)，C(0，2，0)，E(0，1)，F(1，0)，易知平面CDF的法向量为=(0,0,2)，设平面EDF的法向量为n=(x，y，z)，则即取n=(3，3)，则cos，n=，二面角E-DF-C的余弦值为.(3)存在.证明如下：设P(x，y,0)，则=y2=0，y=.又=(x2，y,0)，=(x,2y,
8、0)，(x2)(2y)=xy，xy=2.把y=代入上式得x=，P，=，点P在线段BC上.在线段BC上存在点P，使APDE.解：（1）设椭圆C的方程为，椭圆C的方程为；（2）取，得，直线的方程是，直线的方程是，交点为.若，由对称性可知，若点S在同一条直线上，则直线只能为l：.以下证明对于任意的m，直线与的交点S均在直线l：上，事实上，由，得，记，则，记与l交于点，由，得，设与交于点，由，得，即与重合，这说明，当m变化时，点S恒在定直线l：上. (1)证明:令(x)=ex-1-x,则(x)=ex-1.当x0时,(x)(0)=0,故对x(-1,0)都有ex1+x.再令t(x)=ex-1-x-,当x0
9、,故t(x)在(-1,0)上为增函数.因此t(x)t(0)=0,所以对x(-1,0)都有ex2(1+x)+-22-20.828.又h(x)=2ex+-22(1+x+)+-2=x2+2x+,令m(x)=x2+2x+=(x+1)2+-1,m(x)=2(x+1)-,令m(x)=0,解得x=-1+(),易得m(x)在(-1,-1+()上单调递减,在(-1+(),0)上单调递增,则m(x)min=m(-1+()=()+-1=-10.890.又h(x)=2ex-在x(-1,0)存在x0使得h(x0)=0,故h(x)在x(-1,0)上先减后增,则有h(x)minh(-1+()m(-1+()0.890,则0.828h(x)min,则M=8.
