《高中数学北师大版必修四教学案:第一章 167;7 第1课时 正切函数的定义 正切函数的图像与性质 Word版含答案》由会员分享,可在线阅读,更多相关《高中数学北师大版必修四教学案:第一章 167;7 第1课时 正切函数的定义 正切函数的图像与性质 Word版含答案(12页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、2019版数学精品资料(北师大版)第1课时正切函数的定义正切函数的图像与性质核心必知1正切函数(1)定义:如果角满足:R,k(kZ),那么,角的终边与单位圆交于点P(a,b),唯一确定比值.根据函数的定义,比值是角的函数,我们把它叫作角的正切函数,记作ytan_,其中R,k,kZ.(2)与正弦、余弦函数的关系:tan_x(3)三角函数:正弦、余弦、正切都是以角为自变量,以比值为函数值的函数,它们统称为三角函数(4)正切值在各象限内的符号如图2正切线单位圆与x轴正半轴交于点A,过点A作x轴的垂线AT,与角的终边或其反向延长线交于点T.则称线段AT为角的正切线当角的终边在y轴上时,角的正切线不存在
2、3正切函数的图像和性质函数性质ytan x图像续表函数性质ytan x定义域x|xR且xk,kZ值域R周期性最小正周期为T奇偶性奇函数单调性在(k,k)(kZ)上是增加的对称性图像的对称中心(,0)kZ问题思考1你能描述正切曲线的特征吗?提示:正切曲线是被互相平行的直线xk(kZ)所隔开的无穷多支曲线组成的,是间断的,它没有对称轴,只有对称中心2正切曲线在整个定义域上都是增加的吗?提示:不是正切函数定义域是x|xk,kZ,正切曲线在每一个开区间(k,k)(kZ)上是增加的,它是周期函数,但在整个定义域上不是增加的3函数y|tan x|的周期是吗?提示:不是y|tan x|的周期仍为.讲一讲1已
3、知tan 2,利用三角函数的定义求sin 和cos .尝试解答在的终边上取一点P(a,2a)且a0,则有xa,y2a,r|a|.tan 20,在第一象限或第三象限当在第一象限时,a0,则ra.sin ,cos .当在第三象限时,a0,则ra.sin ,cos .1若P(x,y)是角终边上任一点,则sin ,cos ,tan (x0),其中r.2当角的终边上的点的坐标以参数形式给出时,要根据问题的实际情况及解题的需要对参数进行分类讨论练一练1角的终边经过点P(b,4)且cos ,求tan 的值解:由已知可知点P在第二象限,b0.cos ,解得b3,tan .讲一讲2画出函数y|tan x|的图像
4、,并根据图像写出使y1的x的集合尝试解答y|tan x|画出其图像,如图所示实线部分由图像可知x的集合为x|kxk,kZ1三点两线画图法“三点”是指,(0,0),;“两线”是指x和x.在三点、两线确定的情况下,类似于五点法作图,可大致画出正切函数在上的简图,然后向右、向左扩展即可得到正切曲线2如果由yf(x)的图像得到yf(|x|)及y|f(x)|的图像,可利用图像中的对称变换法完成;即只需作出yf(x)(x0)的图像,令其关于y轴对称便可以得到yf(|x|)(x0)的图像;同理只要作出yf(x)的图像,令图像“上不动下翻上”便可得到y|f(x)|的图像3利用函数的图像可直观地研究函数的性质,
5、如判断奇偶性、周期性、解三角不等式等练一练2多维思考根据讲2中函数y|tan x|的图像,讨论该函数的性质解:(1)定义域:x|xR,xk,kZ(2)值域:0,)(3)周期性:是周期函数,最小正周期为.(4)奇偶性:图像关于y轴对称,函数是偶函数(5)单调性:在每一个区间(k,k(kZ)上是减少的,在每一个区间(kZ)上是增加的(6)对称性:对称轴x,kZ.讲一讲3(1)求函数ytan的单调区间(2)比较tan与tan的大小尝试解答(1)ytan x,在(kZ)上是增加的,kxk,kZ.2kx2k,kZ,即函数ytan的单调递增区间是2k,(kZ)(2)tantantan,tantantan.
6、又函数ytan x在(0,)内单调递增,而0,tantan,即tantan.1正切函数在每一个单调区间内都是增加的,在整个定义域内不是增加的,另外正切函数不存在减区间2对于函数yAtan(x)(A,是常数)的单调区间问题,可先由诱导公式把x的系数化为正值,再利用“整体代换”思想,求得x的范围即可3比较两个正切函数值的大小,要先利用正切函数的周期性将正切值化为区间内两角的正切值,再利用正切函数的单调性比较大小练一练3函数f(x)tan(2x)的单调递增区间为_解析:由k2xk(kZ),得kxk(kZ),所以函数的单调递增区间为(,)(kZ)答案:(,)(kZ)求函数y的定义域错解由1tan x0
7、得tan x1,解得xk,kZ,函数的定义域为x|xk,kZ错因求函数的定义域不仅考虑使函数式有意义,还得考虑正切函数本身固有的xk,kZ这一条件上面的解法只考虑了1tan x0,而没有考虑xk,kZ,因而是错误的正解由得xk且xk,kZ.函数的定义域为.1函数ytan(x)是()A奇函数B偶函数C既是奇函数又是偶函数 D非奇非偶函数解析:选Aytan(x)tan x.此函数是奇函数2函数ytan(x)的定义域是()A.B.C. D.解析:选D由xk,kZ得,xk,kZ,函数的定义域为.3已知角的终边上一点P(2,1),则tan ()A. B2C2 D解析:选Dtan .4函数ytan x,x
8、的值域是_解析:函数ytan x在上为增加的,0tan x1.答案:0,15比较大小:tan 2_tan 9.解析:tan 9tan(29),而229,且ytan x在(,)内是增加的tan 2tan(29),即tan 2tan 9.答案: 6利用正切函数的图像作出ytan x|tan x|的图像,并判断此函数的周期性解:当x(k,k时,ytan x0,当x(k,k)时,ytan x0,ytan x|tan x|图像如图所示由ytan x|tan x|的图像可知,它是周期函数,周期为.一、选择题1已知是第二象限角,则()Atan0 Btan0Ctan0 Dtan的符号不确定解析:选A是第二象限
9、角,是第一或第三象限角,tan0.2函数y2tan(2x)的定义域是()A.B.C.D.解析:选B由2xk,kZ,解得x,kZ.3函数ytan(sin x)的值域是()A. B.Ctan 1,tan 1 D1,1解析:选C1sin x1,1sin x10,函数的增区间为(k,k)(kZ)答案:(kZ)7函数ysin x与ytan x的图像在上交点个数是_解析:在x时,tan xsin x,x时,tan xsin x,所以ysin x与ytan x在上只有一个交点(0,0)答案:18已知函数y2tan ,则函数的对称中心是_解析:y2tan2tan .ytan x的对称中心为,令x,得xk,kZ
10、.y2tan的对称中心为,kZ.答案:(kZ)三、解答题9已知f(x)asin xbtan x1,f()7,求f()解:设g(x)asin xbtan x,因为sin x与tan x都是奇函数,所以g(x)g(x),即g(x)g(x)0,故f(x)f(x)g(x)1g(x)12,又易得fff,ff2,且f7,ff5.10已知函数f(x)x22xtan 1,x1, ,其中.(1)当时,求函数f(x)的最大值与最小值;(2)求的取值范围,使yf(x)在区间1, 上是单调函数解:(1)当时,f(x)x2x1,x1, 当x时,f(x)的最小值为;当x1时,f(x)的最大值为.(2)函数f(x)(xtan )21tan2的图像的对称轴为xtan .yf(x)在区间1,上是单调函数,tan 1或tan ,即tan 1或tan .又,的取值范围是.