高等数学〔二重点知识及解析〔占80分左右Ⅰ、函数、极限一、基本初等函数<又称简单函数>：〔1常值函数： 〔2幂函数：〔3指数函数：<〉0,〔4对数函数：<〉0,〔5三角函数：,,,〔6反三角函数：,,,二、复合函数：要会判断一个复合函数是由哪几个简单函数复合而成的例如：是由,这两个个简单函数复合而成.例如：是由,和这三个简单函数复合而成.该部分是后面求导的关键！三、极限的计算1、利用函数连续性求极限〔代入法：对于一般的极限式〔即非未定式,只要将代入到函数表达式中,函数值即是极限值,即注意：〔1常数极限等于他本身,与自变量的变化趋势无关,即 〔2该方法的使用前提是当的时候,而时则不能用此方法例1：,,,, 例2：例3： 〔非特殊角的三角函数值不用计算出来2、未定式极限的运算法〔1对于未定式：分子、分母提取公因式,然后消去公因式后,将代入后函数值即是极限值例1：计算. ………未定式,提取公因式解：原式=例2：计算. ………未定式,提取公因式解：原式===〔2对于未定式：分子、分母同时除以未知量的最高次幂,然后利用无穷大的倒数是无穷小的这一关系进行计算。
例1：计算………未定式,分子分母同时除以n解：原式………无穷大倒数是无穷小例2：计算. ………未定式,分子分母同除以解：原式==………无穷大倒数是无穷小,因此分子是0分母是23、利用等价无穷小的代换求极限〔1定义：设和是同一变化过程中的两个无穷小,如果=1,称与是等价无穷小,记作～.〔2定理：设、、、均为无穷小,又～,～,且存在则= 或 〔3常用的等价无穷小代换：当时,～, ～例1：当时,～2,～例2：极限===………用2等价代换例3：极限==………用等价代换Ⅱ、一元函数的微分学一、导数的表示符号〔1函数在点处的导数记作：, 或 〔2函数在区间〔a,b内的导数记作：, 或 二、求导公式〔必须熟记〔1 〔C为常数 〔2〔3〔4〔5 〔6〔7 〔8例：1、= 2、 3、=4、 5、6、三、导数的四则运算运算公式〔设U,V是关于X的函数,求解时把已知题目中的函数代入公式中的U和V即可,代入后用导数公式求解.〔1〔2 特别地〔为常数 〔3例1：已知函数,求.解：===例2：已知函数,求和.解：===所以= 〔注意：lne=1,ln1=0 例3：已知函数,求.解：===四、复合函数的求导1、方 法 一：例如求复合函数的导数.〔1首先判断该复合函数是由哪几个简单函数复合而成的.如由和这两个简单函数复合而成〔2用导数公式求出每个简单函数的导数.即=,=2〔3每个简单函数导数的乘积即为复合函数的导数；注意中间变量要用原变量替代回去.∴=2=22、方 法 二〔直接求导法：复合函数的导数 等于 构成该复合函数的简单函数导数的乘积。
如果对导数公式熟悉,对复合函数的过程清楚,可以不必写出中间变量而直接对复合函数从外往里求导.例1：设函数,求.解：==·=·=例2：设函数,求. 解：==·=注意：一个复合函数求几次导,取决于它由几个简单函数复合而成五、高阶导数1、二阶导数记作：,或我们把二阶和二阶以上的导数称为高阶导数.2、求法：〔1二阶导数就是对一阶导数再求一次导 〔2三阶导数就是对一阶导数求两次导,对二阶导求一次导例1：已知,求.解：∵=,∴=例2：已知,求.解：∵==,∴=2=4即=六、微分的求法：〔1求出函数的导数.〔2再乘以即可.即.例1：已知,求.解：∵====∴=例2：设函数,求.解：∵==∴=Ⅲ、二元函数的微分学一、多元函数的定义：由两个或两个以上的自变量所构成的函数,称为多元函数其自变量的变化范围称为定义域,通常记作例如：二元函数通常记作：,二、二元函数的偏导数1、偏导数的表示方法：〔1设二元函数,则函数在区域D内对和对的偏导数记为：,, ； ,,〔2设二元函数,则函数在点处对和对的偏导数记为：,,；,,；2、偏导数的求法〔1对求偏导时,只要将看成是常量,将看成是变量,直接对求导即可.〔2对求偏导时,只要将看成是常量,将看成是变量,直接对求导即可.如果要求函数在点处的偏导数,只要求出上述偏导函数后将和代入即可.例1：已知函数,求和.解：=,=例2：已知函数, 求和.解：=,=三、全微分1、全微分公式：函数在点处全微分公式为：2、全微分求法：〔1、先求出两个一阶偏导数和. 〔2、然后代入上述公式即可.例1：设函数,求.解：∵=,=∴例2：设函数,求.解：∵=,=∴四、二阶偏导的表示方法和求法：〔1===……两次都对求偏导〔2===……先对求偏导,再对求偏导〔3====……先对求偏导,再对求偏导〔4===……两次都对求偏导可见二元函数的二阶偏导共四种,它们都是的函数。
在求二阶偏导的时候一定要注意对变量的求导次序〔写在符号前面的变量先求偏导.例1：设函数,求,,和.解：∵=, =得=,=,=,=例2：设函数,求,.解：∵= 得=,=Ⅳ、一元函数的积分学一、原函数的定义：设是区间I上的一个可导函数,对于区间I上的任意一点, 都有 ,则称是在区间I上的一个原函数.例1：,因此是的一个原函数,是的导数.由于,可见只要函数有一个原函数,那么他的原函数就有无穷多个.例2：设的一个原函数为,求.解：因为是的一个原函数,即=,所以===.得== 〔注：二、不定积分〔一、定义：我们把的所有原函数称为在区间I上的不定积分,记作： 〔其中注意：不定积分是原函数的的全体,因此计算结果常数C勿忘！〔二、不定积分的性质〈1〉〈2〉 〔其中为常数〔三、基本积分公式〔和导数公式一样,必须熟记〈1〉 〈2〉 〔k为常数〈3〉 〈4〉 〈5〉〈6〉〈7〉〈8〉〈9〉例1：例2：〔利用换元法,设又如：〔四、不定积分的计算1、直接积分法：对被积函数进行恒等变形,并用积分性质和积分公式进行积分的方法例1：===例2：2、凑微分法〔1适用前提：如果被积函数是两个函数相乘〔或相除或者被积函数是复合函数〔通常为较为简单的复合函数的情况,此时可以考虑用凑微分法。
〔2凑微分法解法步骤〈1〉凑微分〈2〉换元〈3〉直接积分法〈4〉反换元例1：求不定积分解：原式==……〔1.凑微分将凑成 =……〔2.换 元将换元成=……〔3.直接积分法求出的不定积分=……〔4.反换元再用反换元例2：求不定积分 解：原式=……〔1.凑微分将凑成=……〔2.换 元将换元成=……〔3.直接积分法求出的不定积分=……〔4.反换元再用反换元例3：求不定积分解：原式=……〔1.凑微分将凑成=……〔2.换 元将换元成=……〔3.直接积分法求出的不定积分=……〔4.反换元再用反换元注意：凑微分时要注意凑完微分后前后变量要统一！如果能熟练掌握换元过程,此时就可以不必写出中间变量,而直接进行积分例4：==〔将凑成例5：==〔将凑成3、分部积分法〔考到概率为40℅左右,要了解的可参考重点解析"详细版"三、不定积分〔一、定积分的定义：由曲边梯形的面积引出定义公式 A= 〔A为曲边梯形的面积其中为被积函数,为积分区间,为积分下限,为积分上限用定积分所要注意的事项：1、因为定积分是曲边梯形的面积,因此定积分的值一定是一个常数,所以对定积分求导,导数值必为零。
例：, 2、当a=b时,=0因定积分上限b＞a,当b＜a时,=例：, 〔二、定积分的计算1、变上限积分的计算〔1定义：积分上限为变量时的定积分称为变上限积分,变上限积分是上限的函数, 记作〔2变上限积分的导数：……将代入到即可例1：设,则.例2：2、牛顿—莱布尼茨公式〔1公式：如果是连续函数在上的一个原函数,则有==〔2由公式可知：连续函数在上定积分,就是的一个原函数在上的增量〔上限值减下限值而连续函数的不定积分,就是的全体原函数〔原函数后面加常数C可见定积分和不定积分的计算都是围绕求原函数进行的例1：求定积分解：原式===例2：求定积分〔将凑成解：原式====例3：求定积分 〔将凑成解：原式=====注意：用凑微分法计算定积分时,在换元时,由于引入了新的变量,故原变量的积分限要更换成新变量的积分限;如不想更换积分限,可省略换元步骤3、分部积分法〔考到概率为40℅左右,要了解的可参考重点解析"详细版"附表：几个特殊角的三角函数值 角 度三 角 -不存在不存在不存在不存在不存在不存在. .。