概率论基础知识第一章 随机事件及其概率一 随机事件§1几个概念 1、随机实验:满足下列三个条件的试验称为随机试验；（1）试验可在相同条件下重复进行；（2）试验的可能结果不止一个，且所有可能结果是已知的；（3）每次试验哪个结果出现是未知的；随机试验以后简称为试验，并常记为E 例如：E1：掷一骰子，观察出现的总数；E2：上抛硬币两次，观察正反面出现的情况； E3：观察某交换台在某段时间内接到的呼唤次数2、随机事件：在试验中可能出现也可能不出现的事情称为随机事件：常记为 A，B，C…… 例如，在E1中，A表示“掷出2点”，B表示“掷出偶数点”均为随机事件3、必然事件与不可能事件：每次试验必发生的事情称为必然事件，记为Ω每次试验都不可能发生的事情称为不可能事件，记为Φ 例如，在E1中，“掷出不大于6点”的事件便是必然事件，而“掷出大于6点”的事件便是不可能事件,以后，随机事件，必然事件和不可能事件统称为事件4、基本事件：试验中直接观察到的最简单的结果称为基本事件 例如，在E1中，“掷出1点”，“掷出2点”，……，“掷出6点”均为此试验的基本事件 由基本事件构成的事件称为复合事件，例如，在E1中“掷出偶数点”便是复合事件。
5、样本空间：从集合观点看，称构成基本事件的元素为样本点，常记为e. 例如，在E1中，用数字1，2，……，6表示掷出的点数，而由它们分别构成的单点集{1}，{2}，…{6}便是E1中的基本事件在E2中，用H表示正面，T表示反面，此试验的样本点有（H，H），（H，T），（T，H），（T，T），其基本事件便是{（H，H）}，{（H，T）}，{（T，H）}，{（T，T）}显然，任何事件均为某些样本点构成的集合 例如， 在E1中“掷出偶数点”的事件便可表为{2，4，6}试验中所有样本点构成的集合称为样本空间 例如， 在E1中，Ω={1，2，3，4，5，6} 在E2中，Ω={（H，H），（H，T），（T，H），（T，T）} 在E3中，Ω={0，1，2，……}例1，一条新建铁路共10个车站，从它们所有车票中任取一张，观察取得车票的票种 此试验样本空间所有样本点的个数为NΩ=P 210=90.（排列：和顺序有关，如北京至天津、天津至北京） 若观察的是取得车票的票价，则该试验样本空间中所有样本点的个数为 (组合)例2．随机地将15名新生平均分配到三个班级中去，观察15名新生分配的情况。
此试验的样本空间所有样本点的个数为 第一种方法用组合+乘法原理；第二种方法用排列§2事件间的关系与运算 1、包含:“若事件A的发生必导致事件B发生，则称事件B包含事件A，记为A B或B A 例如，在E1中，令A表示“掷出2点”的事件，即A={2} B表示“掷出偶数”的事件，即B={2，4， 6}则 2、相等：若A B且B A，则称事件A等于事件B，记为A=B 例如，从一付52张的扑克牌中任取4张，令A表示“取得到少有3张红桃”的事件；B表示“取得至多有一张不是红桃”的事件显然A=B 3、和：称事件A与事件B至少有一个发生的事件为A与B的和事件简称为和，记为A B，或A+B 例如，甲，乙两人向目标射击，令A表示“甲击中目标”的事件，B表示“乙击中目标”的事件，则AUB表示“目标被击中”的事件 推广： 有限个 无穷可列个 4、积：称事件A与事件B同时发生的事件为A与B的积事件，简称为积，记为A B或AB 例如，在E3中，即观察某交换台在某时刻接到的呼唤次数中，令A={接到偶数次呼唤}，B={接到奇数次呼唤}，则A B={接到6的倍数次呼唤}推广： 任意有限个 无穷可列个 5、差：称事件A发生但事件B不发生的事件为A减B的差事件简称为差，记为A-B。
例如，测量晶体管的β参数值，令A={测得β值不超过50}，B=｛测得β值不超过100｝，则，A-B=φ，B-A=｛测得β值为50﹤β≤100｝ 6、互不相容：若事件A与事件B不能同时发生，即AB=φ，则称A与B是互不相容的 例如，观察某定义通路口在某时刻的红绿灯：若A={红灯亮}，B={绿灯亮}，则A与B便是互不相容的7、对立：称事件A不发生的事件为A的对立事件，记为 显然 ，A∩ =φ 例如，从有3个次品，7个正品的10个产品中任取3个，若令A={取得的3个产品中至少有一个次品}，则 ={取得的3个产品均为正品} §3事件的运算规律 1、交换律 A∪B=B∪A； A∩B=B∩A2、结合律 （A∪B）∪C=A∪（B∪C） ；（A∩B）∩C=A∩（B∩C）3、分配律 A∩（B∪C）=（A∩B）∪（A∩C）， A∪（B∩C）=（A∪B）∩（A ∪C）4、对偶律 此外，还有一些常用性质，如 A∪ B A，A∪B B（越求和越大）；A∩B A，A∩B B（越求积越小） 若A B，则A∪ B=B, A∩ B=A A-B=A-AB= A 等等例3，从一批产品中每次取一件进行检验，令Ai={第i次取得合格品},i=1,2,3,试用事件的运算符号表示下列事件。
A={三次都取得合格品}Ｂ＝｛三次中至少有一次取得合格品｝Ｃ＝｛三次中恰有两次取得合格品｝Ｄ＝｛三次中最多有一次取得合格品｝解：Ａ＝Ａ１Ａ２Ａ３ 表示方法常常不唯一，如事件Ｂ又可表为 或 例4，一名射手连续向某一目标射击三次，令Ａi={第i次射击击中目标} , i=1,2,3，试用文字叙述下列事件：解： A1A 2A3={三次射击都击中目标} A3-A2={第三次击中目标但第二次未击中目标} 例5，下图所示的电路中，以A表示“信号灯亮”这一事件，以B,C,D分别表示继电器接点，Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，闭合，试写出事件A,B,C,D之间的关系 解，不难看出有如下一些关系： 二 事件的概率§1概率的定义所谓事件A的概率是指事件A发生可能性程度的数值度量，记为P（A）规定P(A)≥0，P（Ω）=11、古典概型中概率的定义古典概型：满足下列两条件的试验模型称为古典概型1）所有基本事件是有限个； （2）各基本事件发生的可能性相同；例如：掷一匀称的骰子，令A={掷出2点}={2}，B={掷出偶数总}={2，4，6}此试验样本空间为Ω={1，2，3，4，5，6}，于是，应有1=P（Ω）=6P（A），即P（A）= 。
而P（B）=3P（A）= 定义1：在古典概型中，设其样本空间Ω所含的样本点总数，即试验的基本事件总数为NΩ而事件A所含的样本数，即有利于事件A发生的基本事件数为NA，则事件A的概率便定义为：例1，将一枚质地均匀的硬币一抛三次，求恰有一次正面向上的概率解：用H表示正面，T表示反面，则该试验的样本空间Ω={（H，H，H）（H，H，T）（H，T，H）（T，H，H）（H，T，T）（T，H，T）（T，T，H）（T，T，T）}可见NΩ=8 令A={恰有一次出现正面}，则A={（H，T，T）（T，H，T）（T，T，H）}可见，令NA=3 故 例2，（取球问题）袋中有5个白球，3个黑球，分别按下列三种取法在袋中取球1）有放回地取球：从袋中取三次球，每次取一个，看后放回袋中，再取下一个球；（2）无放回地取球：从袋中取三次球，每次取一个，看后不再放回袋中，再取下一个球；（3）一次取球：从袋中任取3个球在以上三种取法中均求A={恰好取得2个白球}的概率解：（1）有放回取球 NΩ=8×8×8=83=512 (袋中八个球，不论什么颜色，取到每个球的概率相等)（先从三个球里取两个白球，第一次取白球有五种情况，第二次取白球还有五种情况<注意是有放回>，第三次取黑球只有三种情况） （2）无放回取球 故 （3）一次取球 故 属于取球问题的一个实例： 设有100件产品，其中有5%的次品，今从中随机抽取15件，则其中恰有2件次品的概率便为（属于一次取球模型）例3（分球问题）将n个球放入N个盒子中去，试求恰有n个盒子各有一球的概率（n≤N）。
解： 令A={恰有n个盒子各有一球}，先考虑基本事件的总数先从N个盒子里选n个盒子，然后在n个盒子里n个球全排列故 属于分球问题的一个实例：全班有40名同学，向他们的生日皆不相同的概率为多少？令A={40个同学生日皆不相同}，则有(可以认为有365个盒子，40个球)故 例4（取数问题） 从0，1，……,9共十个数字中随机的不放回的接连取四个数字，并按其出现的先后排成一列，求下列事件的概率：（1） 四个数排成一个偶数；（2） 四个数排成一个四位数；（3） 四个数排成一个四位偶数；解：令A={四个数排成一个偶数}，B={四个数排成一个四位数}，C={四个数排成一个四位偶数} ， ，例5（分组问题）将一幅52张的朴克牌平均地分给四个人，分别求有人手里分得13张黑桃及有人手里有4张A牌的概率各为多少？解：令A={有人手里有13张黑桃}，B={有人手里有4张A牌}于是 ，故 不难证明，古典概型中所定义的概率有以下三条基本性质：1° P（A）≥0 2° P（Ω）=13° 若A1，A2，……，An两两互不相容，则 2、概率的统计定义 频率：在n次重复试验中，设事件A出现了nA次，则称：为事件A的频率。
频率具有一定的稳定性示例见下例表 试验者抛硬币次数 n正面（A）出现次数nA 正面（A）出现的频率 德·摩尔根204810610．5180浦丰404021480．5069皮尔逊1200060190．5016皮尔逊24000120120．5005维尼30000149940．4998定义2：在相同条件下，将试验重复n次，如果随着重复试验次数n的增大，事件A的频率fn(A)越来越稳定地在某一常数p附近摆动，则称常数p为事件A的概率，即P（A）=p不难证明频率有以下基本性质：1° 2° 3° 若A1，A2，……，两两互不相容，则 3、概率的公理化定义 （数学定义）定义3：设某试验的样本空间为Ω，对其中每个事件A定义一个实数P（A），如果它满足下列三条公理：1° P（A） ≥0（非负性） 2° P（Ω）=1（规范性）3° 若A1，A2，……，An……两两互不相容，则 （可列可加性，简称可加性） 则称P（A）为A的概率 4、几何定义定义4：假设Ω是Rn(n=1,2,3)中任何一个可度量的区域，从Ω中随机地选择一点，即Ω中任何一点都有同样的机会被选到，则相应随机试验的样本空间就是Ω，假设事件A是Ω中任何一个可度量的子集，则P(A)==ū(A)/ ū(Ω)§2概率的性质 性质1：若A B, 则P(B-A)=P(B)-P(A) ——差的概率等于概率之差证： 因为：A B 所以：B=A∪(B-A)且A∩(B-A)=φ,由概率可加性 得P（B）=P[A∪（B-A）]=P（A）+P（B-A） 即 P（B-A）=P（B）-P（A） 性质2：若A B， 则P（A）≤P（B） ——概率的单调性证：由性质1及概率的非负性得 0≤P（B-A）=P。