对一维双原子链晶格振动的讨论祖春燕 06 科教一班指导教师：陈敬艳摘要：在固体物理中，一维原子链晶格振动是晶格振动理论的基础本文研究了一维双原子 链晶格振动的色散关系，讨论了一维双原子链晶格振动的特点，并总结了几种不同情况的一 维双原子链振动的色散关系关键词：晶格振动，色散关系，光学模，声学模一维双原子链晶格的振动是研究晶格振动理论的基础 ,它包含了晶格振动的 主要性质，是固体物理教科书中不可缺少的内容但在固体物理教科书中对该现 象的理论分析及总结并不完备 ,本文试图从一维双原子链晶格振动出发总结出各 种讨论的情况，以弥补教科书中的不足为了简化问题，我们选择自由一维双原 子链，并且考虑最近邻原子的相互作用1.一维双原子链的色散关系考虑一般的一维双原子链,即在一条直线上相间地排列着质量为 m、M 的原 子(mvM)，相邻原子之间的平衡距离为a,即原胞的大小为2a,以x2n表示第n个 原胞内质量为m的原子离开平衡位置的位移，以x2n+i表示第n个原胞内质量为M 的原子离开平衡位置位移,M2n-2 2n-1 2n 2n+1 2n+2 2n+3假设只有相邻原子间存在相互作用，力常数为B,则第n原胞内两个原子的运动方程为mx =P(x2 n 2 n+1 2 n-1 2 nMx = p (x + x - 2 x )2 n +1 2 n + 2 2 n 2 n +1其中,n=0,±l,±2, 这是一个无穷多个方程联立的方程组,该方程组有行波解，x = Aei (① t-2 naq)2nx = Bei (① t-(2 n+1) aq)2 n +1代入运动方程得到：—2 A = P (e-iaq + eiaq ) B — 2 PA—2 B = P (e-iaq + eiaq) A — 2PB以 A、B 为未知数的线性齐次方程：-(m®2 一 2p)A - 2p cosaqB = 0 2p cosaqA + (M®2 - 2p)B = 0 若 A 、 B 有非零的解，系数行列式满足m®2 - 2p2p cosaq2p cosaqM®2 - 2p11g ( X )3频率禁区即一维双原子链的色散关系一维双原子链色散关系(3〜q)图示:2.讨论一维双原子链晶格振动特点(1)存在两支 w(q)与单原子链相比，双原子链情况存在着两支3(q)关系。
3+(q)，称光学支(模)，或高频支3-(q)，称声学支(模)，或低频支非零解条件，利用求根公式，可解得如下形式解：M + m L 4Mm .< 1 土 .1 - sm2 aqMm [ (M + m)2(m + M) 4mM .® 2 = p {1 + [1 - sm2 aq]2}+ mM (m + M )2® 2 = P (m + M){1 -[1 - 4mM sin2aq]2}- mM (m + M )2(4)相邻原子振幅比由非零解条件可得：-(m®2 -2p)A-(2pcosaq)B =0-(2P cos aq) A + (2P 一 M® 2)B = 0进一步计算可得到：m3 2-2p=— —+ 2p cos aqm3 2 — 2p2p cos aq2p•/ m3 2 = m - = 2P+min mB m3 2 — 2p（一）=— + <0A + 2 P cos aq表明：其中相邻原子做相对振动，这是光学模的振动特点m3 2 = m -级— max Mm3 2 — 2p2p cos aq表明：其中相邻原子振动方向相同，这是声学模的振动特点2)q 的取值范围相邻原胞之间的位相差(2n+l)aq-(2n-l)aq=2aq令相邻原胞位相差2aq的变化范围为:-n <2aqWn可得到:兀 兀— < q < -2a 2a即为一维双原子的第一布里渊区范围.3)极值情况 q T 0,sin2aq T 0 第一种情况: 此时:M + m L 4Mm .< 1 土 .1 — sin2 aqMm [ （M + m）22 Tp £+1}=2卩（M+m=21+maxMmMm3 2tpM±m£—1}= 0—min Mm其中丄=—+丄第二种情况：q t 土二,sin2aq T12a此时:M + m [ 4Mm i ] 2 卩① 2 T 卩 fl + [1 - ]12 }=-+min Mm [ (M + m)2 J mM + m [ " 4 Mm 訂]2 卩① 2 T 卩 fl - [1 - ]12 >=--max Mm [ (M + m)2 J M3.几种不同情况的色散关系一维双原子链的讨论分为如下几种情况3.1 当 m=M, B 1=10c, B 2=c 时体系2n-2 2n-1 2n 2n+1 2n+2 2n+3运动方程：mx - 10c(x - x ) + c(x - x )2n 2n-1 2n 2n+1 2nmx = c(x - x ) + 10c(x - x )2n+1 2n 2n+1 2n 2n+1试探解：ax = Aei g2 n 2q)2nax — Be，(®t-(2 n+1)2 q)2 n +1试探解代入运动方程：1 丄(-m® 2 + 11c) A - c(10e 2aq + e - 2aq) B — 0 1 1-c(e 2aq + 10e - 2aq) A + (-m® 2 + 11c) B — 0非零解条件：由求根公式得到：- m®2 + 11c1 1-c(e 2aq + 10e - 2aq)1 1-c(10e 2aq + e - 2aq)八—0-m® 2 + 11c®2+—土 — .101 + 20cos qa m m22cq = 0,① 2 = (11c 土 11c) T 土 m①2 = S + max m3 2 = 0-min兀 1q = 一,① 2 = 一 (11c 土 9c) T < a 土 m32+ min3220cm2c- max m3・2 ^mi=^^2=^^， B B32 = P 如(1 + .'1 -匹sin2 aq)土 m 2 4m 22 { 2B32 = P (1 ±、：1 一 sin2 aq) = (1 土 cos aq)土 m m原来双原子链的两支格波的色散关系可利用其函数的周期性统一地用一支格波 的色散关系3 2 =如sin2竺表示，这恰好就是单原子链的色散关系，因此就认为当 ± M 2m=M 时双原子链已变成了单原子链，这种结论是不完备的，以下我们从几个方面 进行讨论。
从晶体结果看，当M=m时表示P、Q两原子的质量相同,并不是性质完全相同 的两个原子，它包含两种情况其一,P、Q性质完全相同，此时双原子链转化为单原 子链情形，振动性质与单原子链相同其二,P、Q性质不完全相同,如正负离子交 叉排列，此时为复式格子 ，存在着光学波和声学波只有复式格子才具有的特征 ，尽 管色散关系的形式相同但仍是双原子链4・结 语在固体物理中，一维原子链晶格振动是晶格振动理论的基础本文从几个不同方 面讨论了一维双原子链的性质，分析总结了一维双原子、晶格振动的关系，从而对 晶格振动有了更进一步的认识参考文献徐婉棠，吴英凯固体物理学［M］北京：北京师范大学出版社,1990, 153〜155 黄昆等固体物理学［M］高等教育出版社,2006,92〜97郭威孚等固体物理学讲义［M］北京：高等教育出版社,1987,95〜101杨兵初等固体物理学［M］湖南长沙：中南大学出版社2002,59~65高钦翔，田强•一维非线性双原子链晶格振动的色散关系J ］.西南师范大学学 报,2001 ,26 (6) .王矜奉等.固体物理概念题和习题指导［M］.济南:山东大学出版杜,2001方俊鑫等.固体物理学［M］.上海:上海科技出版社,1980.郭柏灵. 非线性演化方程 ［M］ . 上海: 上海科技教育出版社 , 1995. 23 - 27.K ivshar Yuri S. Sel f2induced G ap S olitons ［J ］ . Phys Rev Lett , 1993 , 70 : 3055.K ivshar Yun S ,Flytzanis N. G ap S olitions in Diatomic Lat2ticcs［J ］ . Phys Rhys A ,1992 ,46 :7972.。